نظریہ کا فوری جائزہ

احتمال یہ بتاتا ہے کہ کوئی واقعہ کتنی امکان کے ساتھ رونما ہوگا۔ یکساں امکان والے نتائج کے لیے،
P(E) = (موزوں نتائج کی تعداد) / (کل ممکنہ نتائج)۔
اس کی قیمت ہمیشہ 0 (ناممکن) اور 1 (یقینی) کے درمیان ہوتی ہے۔ تکملہ کا قاعدہ
P(not E) = 1 – P(E) اس وقت مددگار ہوتا ہے جب براہ راست گنتی مشکل ہو۔

دو واقعات باہمی طور پر مخصوص ہوتے ہیں اگر دونوں ایک ساتھ نہیں ہو سکتے (P(A∩B)=0) اور آزاد ہوتے ہیں اگر ایک دوسرے کو متاثر نہیں کرتا (P(A∩B)=P(A)·P(B))۔
مرکب واقعات کے لیے:

• جمع: P(A∪B) = P(A)+P(B)–P(A∩B)
• مشروط: P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

اوسط، وسطانیہ اور نمائشی قدر مرکزی رجحان کو بیان کرتی ہیں، جبکہ تغیر/معیاری انحراف پھیلاؤ کو ناپتے ہیں۔
گروہ بند ڈیٹا کے لیے، اوسط = Σ(fx)/Σf اور تغیر = [Σf(x–اوسط)²]/Σf۔
یاد رکھیں: معمول تقسیم میں، ≈68 % اقدار ±1σ کے اندر اور ≈95 % اقدار ±2σ کے اندر ہوتی ہیں—یہ حد پر مبنی سوالات میں فوری طور پر غلط اختیارات کو خارج کرنے کے لیے مفید ہے۔

مشق کے متعدد انتخابی سوالات

1. آسان – ایک منصفانہ پانسہ ایک بار پھینکا جاتا ہے۔ ایک مفرد عدد آنے کا احتمال ہے
   A) 1/6
   B) 1/3
   C) 1/2
   D) 2/3
   AnswerCorrect: C. پانسے پر مفرد اعداد = {2,3,5}؛ 3/6 = 1/2۔

2. آسان – مندرجہ ذیل میں سے کون سی قدر احتمال کی قدر نہیں ہو سکتی؟
   A) 0
   B) 0.5
   C) 1
   D) 1.2
   AnswerCorrect: D. احتمال کی قدر [0,1] کے درمیان ہونی چاہیے۔

3. آسان – 7,4,9,7,5,8,6 کا وسطانیہ ہے
   A) 5
   B) 6
   C) 7
   D) 8
   AnswerCorrect: C. ترتیب شدہ ڈیٹا 4,5,6,7,7,8,9 → درمیانی قدر 7۔

4. آسان – دو سکے بیک وقت اچھالے جاتے ہیں۔ صرف ایک سر آنے کا احتمال ہے
   A) 1/4
   B) 1/2
   C) 3/4
   D) 1
   AnswerCorrect: B. موزوں نتائج = {HT,TH}؛ 2/4 = 1/2۔

5. آسان – اگر P(A)=0.3، تو P(not A) برابر ہے
   A) 0.3
   B) 0.7
   C) 1
   D) 0
   AnswerCorrect: B. تکملہ کا قاعدہ 1–0.3 = 0.7۔

6. آسان – 2,3,3,5,5,5,7 کی نمائشی قدر ہے
   A) 2
   B) 3
   C) 5
   D) 7
   AnswerCorrect: C. 5 سب سے زیادہ بار آتا ہے۔

7. درمیانہ – 52 کارڈوں کی گڈی سے ایک کارڈ نکالا جاتا ہے۔ اس کے بادشاہ یا دل ہونے کا احتمال ہے
   A) 16/52
   B) 17/52
   C) 1/13
   D) 4/13
   AnswerCorrect: A. P(بادشاہ)+P(دل)–P(دل کا بادشاہ)=4/52+13/52–1/52=16/52۔

8. درمیانہ – دو پانسے پھینکے جاتے ہیں۔ ان کا مجموعہ 9 آنے کا احتمال ہے
   A) 1/9
   B) 1/12
   C) 1/6
   D) 4/36
   AnswerCorrect: D. موزوں جوڑے (3,6),(4,5),(5,4),(6,3) → 4/36۔

9. درمیانہ – پہلے 5 قدرتی اعداد کا اوسط ہے
   A) 3
   B) 3.5
   C) 4
   D) 5
   AnswerCorrect: A. (1+2+3+4+5)/5 = 15/5 = 3۔

10. درمیانہ – اگر واقعات A اور B آزاد ہیں اور P(A)=0.4, P(B)=0.5، تو P(A∩B)=
    A) 0.2
    B) 0.4
    C) 0.5
    D) 0.9
    AnswerCorrect: A. 0.4×0.5 = 0.2۔

11. درمیانہ – ایک تھیلے میں 4 سرخ، 3 نیلے، 5 سبز گیند ہیں۔ ایک گیند بے ترتیب نکالی جاتی ہے۔ اس کے سبز نہ ہونے کا احتمال ہے
    A) 5/12
    B) 7/12
    C) 1/2
    D) 3/4
    AnswerCorrect: B. (4+3)/12 = 7/12۔

12. درمیانہ – 2,4,6,8,10 کا تغیر ہے
    A) 6
    B) 8
    C) 10
    D) 12
    AnswerCorrect: B. اوسط=6؛ Σ(x–6)²/5 = (16+4+0+4+16)/5 = 40/5 = 8۔

13. درمیانہ – 40 طلبہ کی کلاس میں، 25 ریاضی میں پاس، 20 سائنس میں پاس، 5 دونوں میں فیل۔ دونوں مضامین میں پاس ہونے والوں کی تعداد ہے
    A) 10
    B) 15
    C) 20
    D) 25
    AnswerCorrect: A. n(M∪S)=35؛ 25+20–x=35 → x=10۔

14. مشکل – تین سکے اچھالے جاتے ہیں۔ کم از کم دو دُم آنے کا احتمال ہے
    A) 1/2
    B) 3/8
    C) 1/4
    D) 5/8
    AnswerCorrect: A. موزوں نتائج {HTT,THT,TTH,TTT} = 4/8 = 1/2۔

15. مشکل – ایک ڈبے میں 2 سفید، 3 کالے، 4 سرخ گیند ہیں۔ دو گیندیں بغیر واپسی کے نکالی جاتی ہیں۔ دونوں کے کالے ہونے کا احتمال ہے
    A) 1/15
    B) 3/36
    C) 1/12
    D) 2/9
    AnswerCorrect: C. (3/9)×(2/8) = 6/72 = 1/12۔

16. مشکل – ڈیٹا 5,5,5,5,5 کا معیاری انحراف ہے
    A) 0
    B) 1
    C) 5
    D) 25
    AnswerCorrect: A. کوئی پھیلاؤ نہیں؛ معیاری انحراف=0۔

17. مشکل – لفظ “PROBABILITY” سے ایک حرف بے ترتیب چنا جاتا ہے۔ اس کے حرف علت ہونے کا احتمال ہے
    A) 4/11
    B) 3/11
    C) 1/3
    D) 2/11
    AnswerCorrect: A. حروف علت O,A,I,I → 11 حروف میں سے 4۔

18. مشکل – 52 کارڈوں کی گڈی سے دو کارڈ واپسی کے ساتھ نکالے جاتے ہیں۔ دونوں کے اکے ہونے کا احتمال ہے
    A) 1/221
    B) 1/169
    C) 1/2704
    D) 4/52
    AnswerCorrect: B. (4/52)×(4/52) = 16/2704 = 1/169۔

19. مشکل – 10 اشیاء کا اوسط 15 ہے۔ اگر ایک شے 25 کو 35 سے بدل دیا جائے، تو نیا اوسط ہے
    A) 15
    B) 16
    C) 17
    D) 18
    AnswerCorrect: B. کل میں اضافہ = 10؛ نیا اوسط = 15 + 10/10 = 16۔

20. مشکل – ایک پانسہ دو بار پھینکا جاتا ہے۔ دوسرے پھینک کا پہلے پھینک سے قطعاً زیادہ آنے کا احتمال ہے
    A) 5/12
    B) 1/2
    C) 7/12
    D) 15/36
    AnswerCorrect: A. 15 موزوں ترتیب شدہ جوڑے گنیں → 15/36 = 5/12۔

21. مشکل – معمول تقسیم میں، تقریباً کتنے فیصد اقدار μ±1.5σ کے اندر ہوتی ہیں؟
    A) 68 %
    B) 86.6 %
    C) 95 %
    D) 99.7 %
    AnswerCorrect: B. تجرباتی قاعدہ تقریباً 86.6 % دیتا ہے۔

22. مشکل – ایک تھیلے میں 5 خراب اور 15 غیر خراب بلب ہیں۔ دو بلب بے ترتیب بغیر واپسی کے نکالے جاتے ہیں۔ صرف ایک کے خراب ہونے کا احتمال ہے
    A) 15/76
    B) 35/76
    C) 50/76
    D) 15/38
    AnswerCorrect: B. (5C1×15C1)/(20C2) = 75/190 = 35/76۔

23. مشکل – اگر A کے کسی مسئلے کو حل کرنے کا احتمال 3/5 ہے اور B کے لیے 2/3 ہے، اور وہ آزادانہ طور پر کوشش کرتے ہیں، تو مسئلے کے ان میں سے کم از کم ایک کے ذریعے حل ہونے کا احتمال ہے
    A) 2/5
    B) 13/15
    C) 3/5
    D) 11/15
    AnswerCorrect: B. 1–(1–3/5)(1–2/3)=1–(2/5)(1/3)=1–2/15=13/15۔

24. مشکل – پہلے n قدرتی اعداد کا اوسط 15 ہے۔ تو n برابر ہے
    A) 15
    B) 29
    C) 30
    D) 31
    AnswerCorrect: B. n(n+1)/2n = (n+1)/2 = 15 → n=29۔

25. مشکل – ایک ریلوے ٹائم ٹیبل بتاتا ہے کہ 90 % ٹرینیں وقت پر پہنچتی ہیں۔ اگر 5 ٹرینیں بے ترتیب چنی جائیں، تو کم از کم ایک کے دیر سے پہنچنے کا احتمال ہے
    A) (0.9)^5
    B) 1–(0.1)^5
    C) 1–(0.9)^5
    D) (0.1)^5
    AnswerCorrect: C. سب کے وقت پر پہنچنے کے احتمال کا تکملہ = 1–(0.9)^5۔

شارٹ کٹس اور تجاویز

1. تکملہ کی ترکیب: “کم از کم ایک” والے سوالات → 1 – P(کوئی نہیں) نکالیں۔
2. پانسوں کے مجموعے: جوڑوں کو ہم آہنگی سے گنیں؛ 7 کے زیادہ سے زیادہ امتزاج (6) ہوتے ہیں۔
3. کارڈز کے شارٹ کٹ: ہر قسم میں 13 کارڈ؛ بادشاہ، ملکہ وغیرہ ہر ایک کے 4۔
4. اوسط میں تبدیلی: اگر ہر مشاہدہ k سے بڑھ جائے، تو اوسط k سے بڑھ جاتی ہے؛ تغیر تبدیل نہیں ہوتا۔
5. تجرباتی قاعدہ: معمول منحنی کے لیے 68-95-99.7—غیر معقول اختیارات خارج کرنے کے لیے استعمال کریں۔
6. “بغیر واپسی کے” → دوسری ڈرا کے لیے ڈینومینیٹر 1 کم ہو جاتا ہے۔
7. گروہ بند ڈیٹا میں نمائشی قدر: فارمولہ نمائشی قدر = L + [(f1–f0)/(2f1–f0–f2)]×h صرف اس وقت استعمال کریں اگر سرحدی اقدار قریب ہوں؛ ورنہ سب سے زیادہ تعدد والے طبقے کا معائنہ کریں۔
8. وقت بچانے والا: ضرب کرنے سے پہلے کسر کو مختصر کریں تاکہ اعداد چھوٹے رہیں۔
9. دوہری چیک: ہمیشہ تصدیق کریں کہ واقعات باہمی طور پر مخصوص ہیں یا آزاد—جمع اور ضرب کے قواعد کو خلط ملط نہ کریں۔
10. خام کالم: معیاری انحراف حساب کرتے وقت، (x–اوسط)² کو ایک طرف والے کالم میں لکھیں؛ حساب کی غلطیوں کو آدھا کرتا ہے۔