விரைவு கோட்பாடு புதுப்பிப்பு

நிகழ்தகவு என்பது ஒரு நிகழ்வு நிகழ்வதற்கான வாய்ப்பை அளவிடுகிறது. சமமான வாய்ப்புள்ள விளைவுகளுக்கு,
P(E) = (சாதகமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கை) / (மொத்த சாத்தியமான விளைவுகள்).
மதிப்பு எப்போதும் 0 (சாத்தியமற்றது) மற்றும் 1 (நிச்சயம்) ஆகியவற்றுக்கு இடையே இருக்கும். நிரப்பு விதி
P(not E) = 1 – P(E) என்பது நேரடி எண்ணிக்கை குழப்பமாக இருக்கும்போது உதவுகிறது.

இரண்டு நிகழ்வுகள் பரஸ்பரம் பிரத்தியேகமானவை என்றால் இரண்டும் ஒன்றாக நிகழ முடியாது (P(A∩B)=0) மற்றும் சார்பற்றவை என்றால் ஒன்று மற்றொன்றை பாதிக்காது (P(A∩B)=P(A)·P(B)).
கூட்டு நிகழ்வுகளுக்கு:

• கூட்டல்: P(A∪B) = P(A)+P(B)–P(A∩B)
• நிபந்தனை: P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

சராசரி, இடைநிலை & முகடு மையப் போக்கை விவரிக்கிறது, அதேநேரம் மாறுபாடு/திட்ட விலக்கம் பரவலை அளவிடுகிறது.
பிரிவு செய்யப்பட்ட தரவிற்கு, சராசரி = Σ(fx)/Σf மற்றும் மாறுபாடு = [Σf(x–சராசரி)²]/Σf.
நினைவில் கொள்ளுங்கள்: இயல்நிலைப் பரவலில், ≈68 % மதிப்புகள் ±1σ க்குள் மற்றும் ≈95 % ±2σ க்குள் இருக்கும்—இது வரம்பு-அடிப்படையிலான கேள்விகளில் விரைவாக நீக்குவதற்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

பயிற்சி பலதேர்வு கேள்விகள்

1. எளிதானது – ஒரு நியாயமான பகடை ஒருமுறை உருட்டப்படுகிறது. பகா எண் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு
   A) 1/6
   B) 1/3
   C) 1/2
   D) 2/3
   AnswerCorrect: C. பகடையில் பகா எண்கள் = {2,3,5}; 3/6 = 1/2.

2. எளிதானது – பின்வருவனவற்றில் எது ஒரு நிகழ்தகவு மதிப்பாக இருக்க முடியாது?
   A) 0
   B) 0.5
   C) 1
   D) 1.2
   AnswerCorrect: D. நிகழ்தகவு [0,1] இடைவெளியில் இருக்க வேண்டும்.

3. எளிதானது – 7,4,9,7,5,8,6 இன் இடைநிலை
   A) 5
   B) 6
   C) 7
   D) 8
   AnswerCorrect: C. வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தரவு 4,5,6,7,7,8,9 → நடு மதிப்பு 7.

4. எளிதானது – இரண்டு நாணயங்கள் ஒரேநேரத்தில் சுண்டப்படுகின்றன. சரியாக ஒரு தலை கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு
   A) 1/4
   B) 1/2
   C) 3/4
   D) 1
   AnswerCorrect: B. சாதகமானவை = {HT,TH}; 2/4 = 1/2.

5. எளிதானது – P(A)=0.3 எனில், P(not A) சமம்
   A) 0.3
   B) 0.7
   C) 1
   D) 0
   AnswerCorrect: B. நிரப்பு விதி 1–0.3 = 0.7.

6. எளிதானது – 2,3,3,5,5,5,7 இன் முகடு
   A) 2
   B) 3
   C) 5
   D) 7
   AnswerCorrect: C. 5 அதிகமுறை தோன்றுகிறது.

7. இடைநிலை – 52-அட்டை கட்டிலிருந்து ஒரு அட்டை எடுக்கப்படுகிறது. அது ஒரு ராஜா அல்லது ஒரு ஹார்ட் ஆக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு
   A) 16/52
   B) 17/52
   C) 1/13
   D) 4/13
   AnswerCorrect: A. P(ராஜா)+P(ஹார்ட்)–P(ஹார்ட்டின் ராஜா)=4/52+13/52–1/52=16/52.

8. இடைநிலை – இரண்டு பகடைகள் உருட்டப்படுகின்றன. கூட்டுத்தொகை 9 ஆக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு
   A) 1/9
   B) 1/12
   C) 1/6
   D) 4/36
   AnswerCorrect: D. சாதகமான ஜோடிகள் (3,6),(4,5),(5,4),(6,3) → 4/36.

9. இடைநிலை – முதல் 5 இயல் எண்களின் சராசரி
   A) 3
   B) 3.5
   C) 4
   D) 5
   AnswerCorrect: A. (1+2+3+4+5)/5 = 15/5 = 3.

10. இடைநிலை – நிகழ்வுகள் A மற்றும் B சார்பற்றவை மற்றும் P(A)=0.4, P(B)=0.5 எனில், P(A∩B)=
    A) 0.2
    B) 0.4
    C) 0.5
    D) 0.9
    AnswerCorrect: A. 0.4×0.5 = 0.2.

11. இடைநிலை – ஒரு பையில் 4 சிவப்பு, 3 நீலம், 5 பச்சை பந்துகள் உள்ளன. ஒரு பந்து சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்படுகிறது. அது பச்சை அல்ல என்பதற்கான நிகழ்தகவு
    A) 5/12
    B) 7/12
    C) 1/2
    D) 3/4
    AnswerCorrect: B. (4+3)/12 = 7/12.

12. இடைநிலை – 2,4,6,8,10 இன் மாறுபாடு
    A) 6
    B) 8
    C) 10
    D) 12
    AnswerCorrect: B. சராசரி=6; Σ(x–6)²/5 = (16+4+0+4+16)/5 = 40/5 = 8.

13. இடைநிலை – 40 பேர் கொண்ட வகுப்பில், 25 பேர் கணிதத்தில் தேர்ச்சி பெற்றனர், 20 பேர் அறிவியலில் தேர்ச்சி பெற்றனர், 5 பேர் இரண்டிலும் தோல்வியடைந்தனர். இரண்டு பாடங்களிலும் தேர்ச்சி பெற்றவர்களின் எண்ணிக்கை
    A) 10
    B) 15
    C) 20
    D) 25
    AnswerCorrect: A. n(M∪S)=35; 25+20–x=35 → x=10.

14. கடினம் – மூன்று நாணயங்கள் சுண்டப்படுகின்றன. குறைந்தது இரண்டு பூக்கள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு
    A) 1/2
    B) 3/8
    C) 1/4
    D) 5/8
    AnswerCorrect: A. சாதகமானவை {HTT,THT,TTH,TTT} = 4/8 = 1/2.

15. கடினம் – ஒரு பெட்டியில் 2 வெள்ளை, 3 கருப்பு, 4 சிவப்பு பந்துகள் உள்ளன. இரண்டு பந்துகள் மாற்றீடு இல்லாமல் எடுக்கப்படுகின்றன. இரண்டும் கருப்பு நிறமாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு
    A) 1/15
    B) 3/36
    C) 1/12
    D) 2/9
    AnswerCorrect: C. (3/9)×(2/8) = 6/72 = 1/12.

16. கடினம் – 5,5,5,5,5 என்ற தரவின் திட்ட விலக்கம்
    A) 0
    B) 1
    C) 5
    D) 25
    AnswerCorrect: A. பரவல் இல்லை; SD=0.

17. கடினம் – “PROBABILITY” என்ற வார்த்தையிலிருந்து ஒரு எழுத்து சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. அது ஒரு உயிரெழுத்தாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு
    A) 4/11
    B) 3/11
    C) 1/3
    D) 2/11
    AnswerCorrect: A. உயிரெழுத்துகள் O,A,I,I → 11 எழுத்துகளில் 4.

18. கடினம் – 52-அட்டை கட்டிலிருந்து மாற்றீடுடன் இரண்டு அட்டைகள் எடுக்கப்படுகின்றன. இரண்டும் ஏஸ் ஆக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு
    A) 1/221
    B) 1/169
    C) 1/2704
    D) 4/52
    AnswerCorrect: B. (4/52)×(4/52) = 16/2704 = 1/169.

19. கடினம் – 10 உருப்படிகளின் சராசரி 15. ஒரு உருப்படி 25 என்பது 35 ஆல் மாற்றப்பட்டால், புதிய சராசரி
    A) 15
    B) 16
    C) 17
    D) 18
    AnswerCorrect: B. மொத்தத்தில் அதிகரிப்பு = 10; புதிய சராசரி = 15 + 10/10 = 16.

20. கடினம் – ஒரு பகடை இரண்டு முறை உருட்டப்படுகிறது. இரண்டாவது உருட்டல் முதலாவதை விட கண்டிப்பாக அதிகமாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு
    A) 5/12
    B) 1/2
    C) 7/12
    D) 15/36
    AnswerCorrect: A. 15 சாதகமான வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடிகளை எண்ணுங்கள் → 15/36 = 5/12.

21. கடினம் – இயல்நிலைப் பரவலில், தோராயமாக எத்தனை சதவீத மதிப்புகள் μ±1.5σ க்குள் இருக்கும்?
    A) 68 %
    B) 86.6 %
    C) 95 %
    D) 99.7 %
    AnswerCorrect: B. அனுபவ விதி ≈86.6 % தருகிறது.

22. கடினம் – ஒரு பையில் 5 குறைபாடுள்ள மற்றும் 15 குறைபாடற்ற விளக்குகள் உள்ளன. இரண்டு விளக்குகள் சீரற்ற முறையில் மாற்றீடு இல்லாமல் எடுக்கப்படுகின்றன. சரியாக ஒன்று குறைபாடுள்ளதாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு
    A) 15/76
    B) 35/76
    C) 50/76
    D) 15/38
    AnswerCorrect: B. (5C1×15C1)/(20C2) = 75/190 = 35/76.

23. கடினம் – A ஒரு பிரச்சனையை தீர்க்கும் நிகழ்தகவு 3/5 மற்றும் B க்கு அது 2/3 எனவும், அவர்கள் சார்பற்ற முறையில் முயற்சிக்கிறார்கள் எனவும் இருந்தால், பிரச்சனை குறைந்தது ஒருவரால் தீர்க்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு
    A) 2/5
    B) 13/15
    C) 3/5
    D) 11/15
    AnswerCorrect: B. 1–(1–3/5)(1–2/3)=1–(2/5)(1/3)=1–2/15=13/15.

24. கடினம் – முதல் n இயல் எண்களின் சராசரி 15. எனில் n சமம்
    A) 15
    B) 29
    C) 30
    D) 31
    AnswerCorrect: B. n(n+1)/2n = (n+1)/2 = 15 → n=29.

25. கடினம் – ஒரு ரயில் நேர அட்டவணை 90 % ரயில்கள் நேரத்தில் வருகின்றன எனக் காட்டுகிறது. 5 ரயில்கள் சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டால், குறைந்தது ஒன்று தாமதமாக வருவதற்கான நிகழ்தகவு
    A) (0.9)^5
    B) 1–(0.1)^5
    C) 1–(0.9)^5
    D) (0.1)^5
    AnswerCorrect: C. அனைத்தும் நேரத்தில் வருவதற்கான நிரப்பு = 1–(0.9)^5.

குறுக்குவழிகள் & உதவிக்குறிப்புகள்

1. நிரப்பு தந்திரம்: “குறைந்தது ஒன்று” கேள்விகள் → 1 – P(எதுவுமில்லை) கண்டறியவும்.
2. பகடை கூட்டுத்தொகைகள்: ஜோடிகளை சமச்சீராக எண்ணுங்கள்; 7 அதிகபட்ச சேர்க்கைகளை கொண்டுள்ளது (6).
3. அட்டை குறுக்குவழிகள்: ஒவ்வொரு சூட்டிற்கும் 13 அட்டைகள்; ராஜாக்கள், ராணிகள் போன்றவை ஒவ்வொன்றும் 4.
4. சராசரி மாற்றம்: ஒவ்வொரு கண்காணிப்பும் k ஆல் அதிகரித்தால், சராசரி k ஆல் அதிகரிக்கும்; மாறுபாடு மாறாது.
5. அனுபவ விதி: இயல்நிலை வளைவுக்கு 68-95-99.7—வேகமான விருப்பங்களை நீக்க இதைப் பயன்படுத்தவும்.
6. “மாற்றீடு இல்லாமல்” → இரண்டாவது எடுப்பிற்கு பகுதி 1 ஆல் குறையும்.
7. பிரிவு செய்யப்பட்ட தரவில் முகடு: எல்லை மதிப்புகள் நெருக்கமாக இருந்தால் மட்டுமே சூத்திரம் முகடு = L + [(f1–f0)/(2f1–f0–f2)]×h பயன்படுத்தவும்; இல்லையெனில் அதிக அதிர்வெண் வகுப்பை ஆய்வு செய்யவும்.
8. நேரம் சேமிப்பு: எண்களை சிறியதாக வைத்திருக்க பெருக்குவதற்கு முன் பின்னங்களைக் குறைக்கவும்.
9. இரட்டை சரிபார்ப்பு: நிகழ்வுகள் பரஸ்பரம் பிரத்தியேகமானவையா அல்லது சார்பற்றவையா என எப்போதும் சரிபார்க்கவும்—கூட்டல் & பெருக்கல் விதிகளை கலக்க வேண்டாம்.
10. கடினமான நெடுவரிசை: SD கணக்கிடும்போது, (x–சராசரி)² ஐ ஒரு பக்க நெடுவரிசையில் எழுதுங்கள்; எண்கணிதப் பிழைகளை பாதியாக்குகிறது.