त्वरित सिद्धांत रिफ्रेशर

प्रायिकता मापती है कि कोई घटना घटित होने की कितनी संभावना है। समान संभावित परिणामों के लिए,
P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या) / (कुल संभावित परिणाम)।
मान हमेशा 0 (असंभव) और 1 (निश्चित) के बीच होता है। पूरक नियम
P(नहीं E) = 1 – P(E) तब मदद करता है जब सीधी गिनती जटिल हो।

दो घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं यदि दोनों एक साथ नहीं घट सकतीं (P(A∩B)=0) और स्वतंत्र हैं यदि एक दूसरे को प्रभावित नहीं करती (P(A∩B)=P(A)·P(B))।
संयुक्त घटनाओं के लिए:

• जोड़: P(A∪B) = P(A)+P(B)–P(A∩B)
• प्रतिबंधित: P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

माध्य, माध्यिका और बहुलक केंद्रीय प्रवृत्ति को दर्शाते हैं, जबकि प्रसरण/मानक विचलन फैलाव को मापते हैं।
समूहबद्ध आँकड़ों के लिए, माध्य = Σ(fx)/Σf और प्रसरण = [Σf(x–माध्य)²]/Σf।
याद रखें: एक सामान्य बंटन में ≈68 % मान ±1σ के भीतर और ≈95 % मान ±2σ के भीतर होते हैं—रेंज-आधारित प्रश्नों में त्वरित विलोपन के लिए उपयोगी।

अभ्यास MCQs

1. आसान – एक निष्पास पासा एक बार फेंका गया। अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता है
   A) 1/6
   B) 1/3
   C) 1/2
   D) 2/3

   उत्तर

   सही: C. पासे पर अभाज्य = {2,3,5}; 3/6 = 1/2.

2. आसान – निम्न में से कौन प्रायिकता मान नहीं हो सकता?
   A) 0
   B) 0.5
   C) 1
   D) 1.2

   उत्तर

   सही: D. प्रायिकता [0,1] में होनी चाहिए।

3. आसान – 7,4,9,7,5,8,6 का माध्यिका है
   A) 5
   B) 6
   C) 7
   D) 8

   उत्तर

   सही: C। क्रमबद्ध आँकड़े 4,5,6,7,7,8,9 → मध्य मान 7।

4. आसान – दो सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। ठीक एक चित की प्रायिकता है
   A) 1/4
   B) 1/2
   C) 3/4
   D) 1

   उत्तर

   सही: B। अनुकूल = {HT,TH}; 2/4 = 1/2।

5. आसान – यदि P(A)=0.3, तो P(not A) बराबर है
   A) 0.3
   B) 0.7
   C) 1
   D) 0

   उत्तर

   सही: B। पूरक नियम 1–0.3 = 0.7।

6. आसान – 2,3,3,5,5,5,7 की बहुलक है
   A) 2
   B) 3
   C) 5
   D) 7

   उत्तर

   सही: C। 5 सबसे अधिक बार आता है।

7. मध्यम – 52-पत्ती की गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। प्रायिकता कि वह बादशाह या हृदय हो
   A) 16/52
   B) 17/52
   C) 1/13
   D) 4/13

   उत्तर

   सही: A। P(बादशाह)+P(हृदय)–P(हृदय का बादशाह)=4/52+13/52–1/52=16/52।

8. मध्यम – दो पासे फेंके जाते हैं। प्रायिकता कि योग 9 हो
   A) 1/9
   B) 1/12
   C) 1/6
   D) 4/36

   उत्तर

   सही: D। अनुकूल युग्म (3,6),(4,5),(5,4),(6,3) → 4/36।

9. मध्यम – पहले 5 प्राकृतिक संख्याओं का माध्य है
   A) 3
   B) 3.5
   C) 4
   D) 5

   उत्तर

   सही: A. (1+2+3+4+5)/5 = 15/5 = 3.

10. मध्यम – यदि घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं जिनमें P(A)=0.4, P(B)=0.5, तो P(A∩B)=
    A) 0.2
    B) 0.4
    C) 0.5
    D) 0.9

    उत्तर

    सही: A. 0.4×0.5 = 0.2.

11. मध्यम – एक थैले में 4 लाल, 3 नीली, 5 हरी गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छिक निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता कि वह हरी नहीं है
    A) 5/12
    B) 7/12
    C) 1/2
    D) 3/4

    उत्तर

    सही: B. (4+3)/12 = 7/12.

12. मध्यम – 2,4,6,8,10 का प्रसरण है
    A) 6
    B) 8
    C) 10
    D) 12

    उत्तर

    सही: B. माध्य=6; Σ(x–6)²/5 = (16+4+0+4+16)/5 = 40/5 = 8.

13. मध्यम – 40 विद्यार्थियों की कक्षा में, 25 गणित में उत्तीर्ण, 20 विज्ञान में उत्तीर्ण, दोनों में अनुत्तीर्ण 5 हैं। दोनों विषयों में उत्तीर्ण विद्यार्थियों की संख्या है
    A) 10
    B) 15
    C) 20
    D) 25

    उत्तर

    सही: A. n(M∪S)=35; 25+20–x=35 → x=10.

14. कठिन – तीन सिक्के उछाले गए। कम-से-कम दो पूँछ की प्रायिकता है
    A) 1/2
    B) 3/8
    C) 1/4
    D) 5/8

    उत्तर

    सही: A. अनुकूल {HTT,THT,TTH,TTT} = 4/8 = 1/2.

१५. कठिन – एक बॉक्स में 2 सफेद, 3 काले, 4 लाल गेंदें हैं। दो गेंदें बिना प्रतिस्थापन के निकाली जाती हैं। दोनों के काले होने की प्रायिकता है
A) 1/15
B) 3/36
C) 1/12
D) 2/9

१६. कठिन – आँकड़ों 5,5,5,5,5 का मानक विचलन है
A) 0
B) 1
C) 5
D) 25

१७. कठिन – शब्द “PROBABILITY” से एक अक्षर यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इसके स्वर होने की प्रायिकता है
A) 4/11
B) 3/11
C) 1/3
D) 2/11

१८. कठिन – 52-पत्तों की गड्डी से दो पत्ते प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं। दोनों इक्के होने की प्रायिकता है
A) 1/221
B) 1/169
C) 1/2704
D) 4/52

१९. कठिन – 10 वस्तुओं का माध्य 15 है। यदि एक वस्तु 25 को 35 से प्रतिस्थापित कर दिया जाए, तो नया माध्य है
A) 15
B) 16
C) 17
D) 18

20. कठिन – एक पासे को दो बार फेंका जाता है। प्रायिकता कि दूसरी बारिकता पहली से सख्ती से अधिक हो
    A) 5/12
    B) 1/2
    C) 7/12
    D) 15/36

    उत्तर

    सही: A. 15 अनुकूल क्रमित युगलों की गणना → 15/36 = 5/12.

21. कठिन – एक सामान्य वितरण में, लगभग कितने प्रतिशत मान μ±1.5σ के भीतर आते हैं?
    A) 68 %
    B) 86.6 %
    C) 95 %
    D) 99.7 %

    उत्तर

    सही: B. प्रायोगिक नियम ≈86.6 % देता है।

22. कठिन – एक थैले में 5 खराब और 15 सही बल्ब हैं। दो बल्ब यादृच्छिक रूप से प्रतिस्थापन के बिना निकाले जाते हैं। प्रायिकता कि ठीक एक खराब हो
    A) 15/76
    B) 35/76
    C) 50/76
    D) 15/38

    उत्तर

    सही: B. (5C1×15C1)/(20C2) = 75/190 = 35/76।

23. कठिन – यदि प्रायिकता कि A एक समस्या हल करता है 3/5 है और B के लिए यह 2/3 है, और वे स्वतंत्र रूप से प्रयास करते हैं, तो प्रायिकता कि समस्या उनमें से कम से कम एक द्वारा हल हो जाती है
    A) 2/5
    B) 13/15
    C) 3/5
    D) 11/15

    उत्तर

    सही: B. 1–(1–3/5)(1–2/3)=1–(2/5)(1/3)=1–2/15=13/15।

24. कठिन – पहले n प्राकृतिक संख्याओं का औसत 15 है। तब n बराबर है
    A) 15
    B) 29
    C) 30
    D) 31

    उत्तर

    सही: B. n(n+1)/2n = (n+1)/2 = 15 → n=29.

25. कठिन – एक रेलवे समय-सारिणी दिखाती है कि 90 % ट्रेनें समय पर आती हैं। यदि 5 ट्रेनों को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, तो कम-से-कम एक के देर से आने की प्रायिकता है
    A) (0.9)^5
    B) 1–(0.1)^5
    C) 1–(0.9)^5
    D) (0.1)^5

    उत्तर

    सही: C. सभी समय-पर आने की पूरक = 1–(0.9)^5.

शॉर्टकट और टिप्स

1. पूरक चाल: “कम से कम एक” प्रश्नों → 1 – P(कोई नहीं) निकालो।
2. पासे के योग: युगलों को सममित रूप से गिनो; 7 के सबसे ज़्यादा संयोजन (6) हैं।
3. ताश के शॉर्टकट: प्रति सूट 13 पत्ते; राजा, रानी आदि के 4-4 हैं।
4. माध्य शिफ्ट: यदि हर प्रेक्षण k से बढ़े, तो माध्य k से बढ़े; प्रसरण वही रहे।
5. प्रयोगसिद्ध नियम: 68-95-99.7 सामान्य वक्र के लिए—इससे विचित्र विकल्प हटाओ।
6. “बिना प्रतिस्थापना” → दूसरे चयन के लिए हर 1 घटता है।
7. समूहबद्ध आँकड़ों में बहुलक: सूत्र Mode = L + [(f1–f0)/(2f1–f0–f2)]×h तभी प्रयोग करो जब सीमा मान निकट हों; नहीं तो अधिकतम बारंबारता वर्ग देखो।
8. समय-बचत: गुणा से पहले भिन्न छोटे करो ताकि संख्याएँ छोटी रहें।
9. दोबारा जाँच: हमेशा देखो कि घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं या स्वतंत्र—जोड़ और गुणा नियम मत मिलाओ।
10. रफ कॉलम: SD निकालते समय (x–माध्य)² को बगल के कॉलम में लिखो; गणितीय गलतियाँ आधी हो जाती हैं।