ଦ୍ରୁତ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ସମୀକ୍ଷା

ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଏକ ଘଟଣା ଘଟିବାର ସମ୍ଭାବନାକୁ ମାପ କରେ। ସମାନ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଫଳାଫଳ ପାଇଁ,
P(E) = (ଅନୁକୂଳ ଫଳାଫଳ ସଂଖ୍ୟା) / (ସମ୍ଭାବ୍ୟ ମୋଟ ଫଳାଫଳ)।
ଏହାର ମୂଲ୍ୟ ସର୍ବଦା 0 (ଅସମ୍ଭବ) ଏବଂ 1 (ନିଶ୍ଚିତ) ମଧ୍ୟରେ ରହେ। ପରିପୂରକ ନିୟମ
P(ନୁହେଁ E) = 1 – P(E) ସାହାଯ୍ୟକାରୀ ଯେତେବେଳେ ପ୍ରତ୍ୟକ୍ଷ ଗଣନା ଜଟିଳ ହୁଏ।

ଦୁଇଟି ଘଟଣା ପରସ୍ପର ବର୍ଜିତ ଯଦି ଉଭୟ ଏକସାଙ୍ଗରେ ଘଟିପାରେ ନାହିଁ (P(A∩B)=0) ଏବଂ ସ୍ୱାଧୀନ ଯଦି ଗୋଟିଏ ଅନ୍ୟଟି ଉପରେ ପ୍ରଭାବ ପକାଏ ନାହିଁ (P(A∩B)=P(A)·P(B))।
ଯୌଗିକ ଘଟଣା ପାଇଁ:

• ଯୋଗ: P(A∪B) = P(A)+P(B)–P(A∩B)
• ଶର୍ତ୍ତମୂଳକ: P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

ମାଧ୍ୟମାନ, ମଧ୍ୟମା ଓ ଗରିଷ୍ଠକ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିକୁ ବର୍ଣ୍ଣନା କରେ, ଯେତେବେଳେ ପ୍ରସରଣ/ମାନକ ବିଚ୍ୟୁତି ବିସ୍ତାରକୁ ପରିମାଣ କରେ।
ସମୂହିତ ତଥ୍ୟ ପାଇଁ, ମାଧ୍ୟମାନ = Σ(fx)/Σf ଏବଂ ପ୍ରସରଣ = [Σf(x–ମାଧ୍ୟମାନ)²]/Σf।
ମନେରଖ: ସାଧାରଣ ବିତରଣରେ, ≈68 % ମୂଲ୍ୟ ±1σ ମଧ୍ୟରେ ଏବଂ ≈95 % ±2σ ମଧ୍ୟରେ ରହେ—ପରିସର-ଆଧାରିତ ପ୍ରଶ୍ନରେ ଦ୍ରୁତ ବାଦ ଦେବା ପାଇଁ ସହାୟକ।

ଅଭ୍ୟାସ ବହୁବିକଳ୍ପୀୟ ପ୍ରଶ୍ନ

1. ସହଜ – ଗୋଟିଏ ନ୍ୟାୟ୍ୟ ପାସା ଥରେ ଗଡ଼ାଗଲା। ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ପାଇବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା
   A) 1/6
   B) 1/3
   C) 1/2
   D) 2/3
   AnswerCorrect: C. ପାସାରେ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା = {2,3,5}; 3/6 = 1/2.

2. ସହଜ – ନିମ୍ନଲିଖିତ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ଏକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ମୂଲ୍ୟ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ?
   A) 0
   B) 0.5
   C) 1
   D) 1.2
   AnswerCorrect: D. ସମ୍ଭାବ୍ୟତା [0,1] ମଧ୍ୟରେ ରହିବା ଆବଶ୍ୟକ।

3. ସହଜ – 7,4,9,7,5,8,6 ର ମଧ୍ୟମା
   A) 5
   B) 6
   C) 7
   D) 8
   AnswerCorrect: C. କ୍ରମିକ ତଥ୍ୟ 4,5,6,7,7,8,9 → ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ମୂଲ୍ୟ 7.

4. ସହଜ – ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରା ଏକାସାଙ୍ଗରେ ଟସ କରାଗଲା। ଠିକ୍ ଗୋଟିଏ ମୁଣ୍ଡ ପଡ଼ିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା
   A) 1/4
   B) 1/2
   C) 3/4
   D) 1
   AnswerCorrect: B. ଅନୁକୂଳ = {HT,TH}; 2/4 = 1/2.

5. ସହଜ – ଯଦି P(A)=0.3, ତେବେ P(ନୁହେଁ A) ସମାନ
   A) 0.3
   B) 0.7
   C) 1
   D) 0
   AnswerCorrect: B. ପରିପୂରକ ନିୟମ 1–0.3 = 0.7.

6. ସହଜ – 2,3,3,5,5,5,7 ର ଗରିଷ୍ଠକ
   A) 2
   B) 3
   C) 5
   D) 7
   AnswerCorrect: C. 5 ସବୁଠାରୁ ଅଧିକ ଥର ଦେଖାଯାଏ।

7. ମଧ୍ୟମ – 52-ତାସ ଗୋଟିଏ ଡେକରୁ ଗୋଟିଏ ତାସ ଟାଣାଗଲା। ଏହା ଏକ ରାଜା କିମ୍ବା ହୃଦୟ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା
   A) 16/52
   B) 17/52
   C) 1/13
   D) 4/13
   AnswerCorrect: A. P(ରାଜା)+P(ହୃଦୟ)–P(ହୃଦୟର ରାଜା)=4/52+13/52–1/52=16/52.

8. ମଧ୍ୟମ – ଦୁଇଟି ପାସା ଗଡ଼ାଗଲା। ଯୋଗଫଳ 9 ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା
   A) 1/9
   B) 1/12
   C) 1/6
   D) 4/36
   AnswerCorrect: D. ଅନୁକୂଳ ଯୋଡ଼ି (3,6),(4,5),(5,4),(6,3) → 4/36.

9. ମଧ୍ୟମ – ପ୍ରଥମ 5 ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ
   A) 3
   B) 3.5
   C) 4
   D) 5
   AnswerCorrect: A. (1+2+3+4+5)/5 = 15/5 = 3.

10. ମଧ୍ୟମ – ଯଦି ଘଟଣା A ଏବଂ B ସ୍ୱାଧୀନ ଏବଂ P(A)=0.4, P(B)=0.5, ତେବେ P(A∩B)=
    A) 0.2
    B) 0.4
    C) 0.5
    D) 0.9
    AnswerCorrect: A. 0.4×0.5 = 0.2.

11. ମଧ୍ୟମ – ଗୋଟିଏ ବ୍ୟାଗରେ 4 ନାଲି, 3 ନୀଳ, 5 ସବୁଜ ବଲ୍ ଅଛି। ଗୋଟିଏ ବଲ୍ ଦୈବଚୟନରେ ଟାଣାଗଲା। ଏହା ସବୁଜ ନ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା
    A) 5/12
    B) 7/12
    C) 1/2
    D) 3/4
    AnswerCorrect: B. (4+3)/12 = 7/12.

12. ମଧ୍ୟମ – 2,4,6,8,10 ର ପ୍ରସରଣ
    A) 6
    B) 8
    C) 10
    D) 12
    AnswerCorrect: B. ମାଧ୍ୟମାନ=6; Σ(x–6)²/5 = (16+4+0+4+16)/5 = 40/5 = 8.

13. ମଧ୍ୟମ – 40 ଜଣ ଛାତ୍ରଙ୍କ ଏକ ଶ୍ରେଣୀରେ, 25 ଜଣ ଗଣିତରେ, 20 ଜଣ ବିଜ୍ଞାନରେ ଉତ୍ତୀର୍ଣ୍ଣ ହେଲେ, 5 ଜଣ ଉଭୟରେ ଅନୁତ୍ତୀର୍ଣ୍ଣ ହେଲେ। ଉଭୟ ବିଷୟରେ ଉତ୍ତୀର୍ଣ୍ଣ ହେଉଥିବା ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା
    A) 10
    B) 15
    C) 20
    D) 25
    AnswerCorrect: A. n(M∪S)=35; 25+20–x=35 → x=10.

14. କଠିନ – ତିନୋଟି ମୁଦ୍ରା ଟସ କରାଗଲା। ଅତିକମରେ ଦୁଇଟି ଲାଞ୍ଜ ପଡ଼ିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା
    A) 1/2
    B) 3/8
    C) 1/4
    D) 5/8
    AnswerCorrect: A. ଅନୁକୂଳ {HTT,THT,TTH,TTT} = 4/8 = 1/2.

15. କଠିନ – ଗୋଟିଏ ବାକ୍ସରେ 2 ଧଳା, 3 କଳା, 4 ନାଲି ବଲ୍ ଅଛି। ଦୁଇଟି ବଲ୍ ବଦଳ ବିନା ଟାଣାଗଲା। ଉଭୟ କଳା ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା
    A) 1/15
    B) 3/36
    C) 1/12
    D) 2/9
    AnswerCorrect: C. (3/9)×(2/8) = 6/72 = 1/12.

16. କଠିନ – 5,5,5,5,5 ତଥ୍ୟର ମାନକ ବିଚ୍ୟୁତି
    A) 0
    B) 1
    C) 5
    D) 25
    AnswerCorrect: A. କୌଣସି ବିସ୍ତାର ନାହିଁ; SD=0.

17. କଠିନ – “PROBABILITY” ଶବ୍ଦରୁ ଗୋଟିଏ ଅକ୍ଷର ଦୈବଚୟନରେ ବାଛାଗଲା। ଏହା ସ୍ୱରବର୍ଣ୍ଣ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା
    A) 4/11
    B) 3/11
    C) 1/3
    D) 2/11
    AnswerCorrect: A. ସ୍ୱରବର୍ଣ୍ଣ O,A,I,I → 11 ଟି ଅକ୍ଷର ମଧ୍ୟରୁ 4 ଟି।

18. କଠିନ – 52-ତାସ ଡେକରୁ ଦୁଇଟି ତାସ ବଦଳ ସହିତ ଟାଣାଗଲା। ଉଭୟ ଏକ୍ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା
    A) 1/221
    B) 1/169
    C) 1/2704
    D) 4/52
    AnswerCorrect: B. (4/52)×(4/52) = 16/2704 = 1/169.

19. କଠିନ – 10 ଟି ବସ୍ତୁର ମାଧ୍ୟମାନ 15। ଯଦି ଗୋଟିଏ ବସ୍ତୁ 25 କୁ 35 ଦ୍ୱାରା ବଦଳାଗଲା, ନୂତନ ମାଧ୍ୟମାନ
    A) 15
    B) 16
    C) 17
    D) 18
    AnswerCorrect: B. ମୋଟରେ ବୃଦ୍ଧି = 10; ନୂତନ ମାଧ୍ୟମାନ = 15 + 10/10 = 16.

20. କଠିନ – ଗୋଟିଏ ପାସା ଦୁଇଥର ଗଡ଼ାଗଲା। ଦ୍ୱିତୀୟ ଗଡ଼ ପ୍ରଥମ ଗଡ଼ଠାରୁ କଠୋର ଭାବରେ ବଡ଼ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା
    A) 5/12
    B) 1/2
    C) 7/12
    D) 15/36
    AnswerCorrect: A. 15 ଟି ଅନୁକୂଳ କ୍ରମିକ ଯୋଡ଼ି ଗଣନା → 15/36 = 5/12.

21. କଠିନ – ସାଧାରଣ ବିତରଣରେ, ପ୍ରାୟ କେତେ ଶତକଡ଼ା ମୂଲ୍ୟ μ±1.5σ ମଧ୍ୟରେ ରହେ?
    A) 68 %
    B) 86.6 %
    C) 95 %
    D) 99.7 %
    AnswerCorrect: B. ଆନୁଭବିକ ନିୟମ ପ୍ରାୟ 86.6 % ଦିଏ।

22. କଠିନ – ଗୋଟିଏ ବ୍ୟାଗରେ 5 ଟି ତ୍ରୁଟିପୂର୍ଣ୍ଣ ଏବଂ 15 ଟି ତ୍ରୁଟିହୀନ ବଲ୍ବ ଅଛି। ଦୁଇଟି ବଲ୍ବ ବଦଳ ବିନା ଦୈବଚୟନରେ ଟାଣାଗଲା। ଠିକ୍ ଗୋଟିଏ ତ୍ରୁଟିପୂର୍ଣ୍ଣ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା
    A) 15/76
    B) 35/76
    C) 50/76
    D) 15/38
    AnswerCorrect: B. (5C1×15C1)/(20C2) = 75/190 = 35/76.

23. କଠିନ – ଯଦି A ଗୋଟିଏ ସମସ୍ୟା ସମାଧାନ କରିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା 3/5 ଏବଂ B ପାଇଁ ଏହା 2/3, ଏବଂ ସେମାନେ ସ୍ୱାଧୀନ ଭାବରେ ଚେଷ୍ଟା କଲେ, ସମସ୍ୟାଟି ଉଭୟଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଅତିକମରେ ଜଣଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା
    A) 2/5
    B) 13/15
    C) 3/5
    D) 11/15
    AnswerCorrect: B. 1–(1–3/5)(1–2/3)=1–(2/5)(1/3)=1–2/15=13/15.

24. କଠିନ – ପ୍ରଥମ n ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ 15। ତେବେ n ସମାନ
    A) 15
    B) 29
    C) 30
    D) 31
    AnswerCorrect: B. n(n+1)/2n = (n+1)/2 = 15 → n=29.

25. କଠିନ – ଏକ ରେଳବାଇ ସମୟସାରଣୀ ଦର୍ଶାଏ 90 % ଟ୍ରେନ୍ ସମୟରେ ପହଞ୍ଚେ। ଯଦି 5 ଟି ଟ୍ରେନ୍ ଦୈବଚୟନରେ ବାଛାଗଲା, ଅତିକମରେ ଗୋଟିଏ ବିଳମ୍ବିତ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା
    A) (0.9)^5
    B) 1–(0.1)^5
    C) 1–(0.9)^5
    D) (0.1)^5
    AnswerCorrect: C. ସମସ୍ତ ସମୟରେ ପହଞ୍ଚିବାର ପରିପୂରକ = 1–(0.9)^5.

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପଥ ଓ ଟିପ୍ସ

1. ପରିପୂରକ ଟ୍ରିକ୍: “ଅତିକମରେ ଗୋଟିଏ” ପ୍ରଶ୍ନ → 1 – P(କୌଣସିଟି ନୁହେଁ) ଖୋଜ।
2. ପାସା ଯୋଗଫଳ: ଯୋଡ଼ି ସମମିତିକ ଭାବରେ ଗଣ; 7 ର ସର୍ବାଧିକ ସଂଯୋଜନ (6)।
3. ତାସ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପଥ: ପ୍ରତ୍ୟେକ ସୁଟ୍ରେ 13 ତାସ; ରାଜା, ରାଣୀ ଇତ୍ୟାଦିରେ 4 ଟି ଲେଖାଏଁ।
4. ମାଧ୍ୟମାନ ପରିବର୍ତ୍ତନ: ଯଦି ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରତ୍ୟକ୍ଷଣ k ଦ୍ୱାରା ବୃଦ୍ଧି ପାଏ, ମାଧ୍ୟମାନ k ଦ୍ୱାରା ବୃଦ୍ଧି ପାଏ; ପ୍ରସରଣ ଅପରିବର୍ତ୍ତିତ ରହେ।
5. ଆନୁଭବିକ ନିୟମ: ସାଧାରଣ ବକ୍ର ପାଇଁ 68-95-99.7—ଅସମ୍ଭବ ବିକଳ୍ପ ବାଦ ଦେବା ପାଇଁ ବ୍ୟବହାର କର।
6. “ବଦଳ ବିନା” → ଦ୍ୱିତୀୟ ଟାଣ ପାଇଁ ହର 1 କମିଯାଏ।
7. ସମୂହିତ ତଥ୍ୟରେ ଗରିଷ୍ଠକ: ସୂତ୍ର ଗରିଷ୍ଠକ = L + [(f1–f0)/(2f1–f0–f2)]×h କେବଳ ବ୍ୟବହାର କର ଯଦି ସୀମା ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ନିକଟବର୍ତ୍ତୀ; ନଚେତ୍ ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଆବୃତ୍ତି ବର୍ଗ ପରୀକ୍ଷା କର।
8. ସମୟ ସଂରକ୍ଷକ: ସଂଖ୍ୟା ଛୋଟ ରଖିବା ପାଇଁ ଗୁଣନ କରିବା ପୂର୍ବରୁ ଭଗ୍ନାଂଶ କମାଅ।
9. ଦ୍ୱିତୀୟଥର ଯାଞ୍ଚ: ସର୍ବଦା ଯାଞ୍ଚ କର ଘଟଣାଗୁଡ଼ିକ ପରସ୍ପର ବର୍ଜିତ କିମ୍ବା ସ୍ୱାଧୀନ କି ନୁହେଁ—ଯୋଗ ଓ ଗୁଣନ ନିୟମକୁ ମିଶାଇବ ନାହିଁ।
10. ଖସଡ଼ା ସ୍ତମ୍ଭ: SD ଗଣନା ସମୟରେ, (x–ମାଧ୍ୟମାନ)² ଏକ ପାର୍ଶ୍ୱ ସ୍ତମ୍ଭରେ ଲେଖ; ଗାଣିତିକ ତ୍ରୁଟି ଅଧା କରେ।