ತ್ವರಿತ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಪುನರಾವರ್ತನೆ

ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಒಂದು ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ. ಸಮಾನ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ,
P(E) = (ಅನುಕೂಲಕರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ) / (ಒಟ್ಟು ಸಾಧ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು).
ಮೌಲ್ಯವು ಯಾವಾಗಲೂ 0 (ಅಸಾಧ್ಯ) ಮತ್ತು 1 (ನಿಶ್ಚಿತ) ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಪೂರಕ ನಿಯಮ
P(not E) = 1 – P(E) ನೇರ ಎಣಿಕೆ ಗೊಂದಲಮಯವಾದಾಗ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ಘಟನೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಅಂತರ್ಗತ ಆಗಿದ್ದರೆ ಎರಡೂ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸಂಭವಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ (P(A∩B)=0) ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಆಗಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಇನ್ನೊಂದರ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ (P(A∩B)=P(A)·P(B)).
ಸಂಯುಕ್ತ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ:

• ಸಂಕಲನ: P(A∪B) = P(A)+P(B)–P(A∩B)
• ಷರತ್ತುಬದ್ಧ: P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

ಸರಾಸರಿ, ಮಧ್ಯಮ ಮತ್ತು ಬಹುಲಕವು ಕೇಂದ್ರೀಯ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ/ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಹರಡುವಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸುತ್ತದೆ.
ವರ್ಗೀಕೃತ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ, ಸರಾಸರಿ = Σ(fx)/Σf ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ = [Σf(x–ಸರಾಸರಿ)²]/Σf.
ನೆನಪಿಡಿ: ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ, ≈68 % ಮೌಲ್ಯಗಳು ±1σ ಒಳಗೆ ಮತ್ತು ≈95 % ±2σ ಒಳಗೆ ಇರುತ್ತವೆ—ಶ್ರೇಣಿ-ಆಧಾರಿತ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ತ್ವರಿತ ನಿರ್ಮೂಲನೆಗೆ ಉಪಯುಕ್ತ.

ಅಭ್ಯಾಸ ಬಹು ಆಯ್ಕೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

1. ಸುಲಭ – ಒಂದು ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ದಾಳವನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಉರುಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ
   A) 1/6
   B) 1/3
   C) 1/2
   D) 2/3
   AnswerCorrect: C. ದಾಳದ ಮೇಲಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು = {2,3,5}; 3/6 = 1/2.

2. ಸುಲಭ – ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮೌಲ್ಯವಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ?
   A) 0
   B) 0.5
   C) 1
   D) 1.2
   AnswerCorrect: D. ಸಂಭವನೀಯತೆಯು [0,1] ನಡುವೆ ಇರಬೇಕು.

3. ಸುಲಭ – 7,4,9,7,5,8,6 ರ ಮಧ್ಯಮ
   A) 5
   B) 6
   C) 7
   D) 8
   AnswerCorrect: C. ಕ್ರಮಬದ್ಧ ದತ್ತಾಂಶ 4,5,6,7,7,8,9 → ಮಧ್ಯದ ಮೌಲ್ಯ 7.

4. ಸುಲಭ – ಎರಡು ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಚಿಮ್ಮಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಹೆಡ್ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ
   A) 1/4
   B) 1/2
   C) 3/4
   D) 1
   AnswerCorrect: B. ಅನುಕೂಲಕರ = {HT,TH}; 2/4 = 1/2.

5. ಸುಲಭ – P(A)=0.3 ಆಗಿದ್ದರೆ, P(not A) ಸಮಾನ
   A) 0.3
   B) 0.7
   C) 1
   D) 0
   AnswerCorrect: B. ಪೂರಕ ನಿಯಮ 1–0.3 = 0.7.

6. ಸುಲಭ – 2,3,3,5,5,5,7 ರ ಬಹುಲಕ
   A) 2
   B) 3
   C) 5
   D) 7
   AnswerCorrect: C. 5 ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

7. ಮಧ್ಯಮ – 52-ಕಾರ್ಡ್ ಡೆಕ್ನಿಂದ ಒಂದು ಕಾರ್ಡ್ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದು ಕಿಂಗ್ ಅಥವಾ ಹಾರ್ಟ್ ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ
   A) 16/52
   B) 17/52
   C) 1/13
   D) 4/13
   AnswerCorrect: A. P(King)+P(Heart)–P(King of Hearts)=4/52+13/52–1/52=16/52.

8. ಮಧ್ಯಮ – ಎರಡು ದಾಳಗಳನ್ನು ಉರುಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊತ್ತ 9 ಆಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ
   A) 1/9
   B) 1/12
   C) 1/6
   D) 4/36
   AnswerCorrect: D. ಅನುಕೂಲಕರ ಜೋಡಿಗಳು (3,6),(4,5),(5,4),(6,3) → 4/36.

9. ಮಧ್ಯಮ – ಮೊದಲ 5 ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಾಸರಿ
   A) 3
   B) 3.5
   C) 4
   D) 5
   AnswerCorrect: A. (1+2+3+4+5)/5 = 15/5 = 3.

10. ಮಧ್ಯಮ – ಘಟನೆಗಳು A ಮತ್ತು B ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದು P(A)=0.4, P(B)=0.5 ಆಗಿದ್ದರೆ, P(A∩B)=
    A) 0.2
    B) 0.4
    C) 0.5
    D) 0.9
    AnswerCorrect: A. 0.4×0.5 = 0.2.

11. ಮಧ್ಯಮ – ಒಂದು ಬ್ಯಾಗ್ನಲ್ಲಿ 4 ಕೆಂಪು, 3 ನೀಲಿ, 5 ಹಸಿರು ಚೆಂಡುಗಳಿವೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಒಂದು ಚೆಂಡನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದು ಹಸಿರು ಅಲ್ಲದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ
    A) 5/12
    B) 7/12
    C) 1/2
    D) 3/4
    AnswerCorrect: B. (4+3)/12 = 7/12.

12. ಮಧ್ಯಮ – 2,4,6,8,10 ರ ವ್ಯತ್ಯಾಸ
    A) 6
    B) 8
    C) 10
    D) 12
    AnswerCorrect: B. ಸರಾಸರಿ=6; Σ(x–6)²/5 = (16+4+0+4+16)/5 = 40/5 = 8.

13. ಮಧ್ಯಮ – 40 ಜನರ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ, 25 ಜನ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾದರು, 20 ಜನ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ, 5 ಜನ ಎರಡರಲ್ಲೂ ಫೇಲ್ ಆದರು. ಎರಡೂ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾದವರ ಸಂಖ್ಯೆ
    A) 10
    B) 15
    C) 20
    D) 25
    AnswerCorrect: A. n(M∪S)=35; 25+20–x=35 → x=10.

14. ಕಠಿಣ – ಮೂರು ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು ಚಿಮ್ಮಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಟೇಲ್ಸ್ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ
    A) 1/2
    B) 3/8
    C) 1/4
    D) 5/8
    AnswerCorrect: A. ಅನುಕೂಲಕರ {HTT,THT,TTH,TTT} = 4/8 = 1/2.

15. ಕಠಿಣ – ಒಂದು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ 2 ಬಿಳಿ, 3 ಕಪ್ಪು, 4 ಕೆಂಪು ಚೆಂಡುಗಳಿವೆ. ಎರಡು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಬದಲಾವಣೆ ಇಲ್ಲದೆ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ಕಪ್ಪು ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ
    A) 1/15
    B) 3/36
    C) 1/12
    D) 2/9
    AnswerCorrect: C. (3/9)×(2/8) = 6/72 = 1/12.

16. ಕಠಿಣ – ದತ್ತಾಂಶ 5,5,5,5,5 ರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ
    A) 0
    B) 1
    C) 5
    D) 25
    AnswerCorrect: A. ಹರಡುವಿಕೆ ಇಲ್ಲ; SD=0.

17. ಕಠಿಣ – “PROBABILITY” ಎಂಬ ಪದದಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಒಂದು ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದು ಸ್ವರವಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ
    A) 4/11
    B) 3/11
    C) 1/3
    D) 2/11
    AnswerCorrect: A. ಸ್ವರಗಳು O,A,I,I → 11 ಅಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ 4.

18. ಕಠಿಣ – 52-ಕಾರ್ಡ್ ಡೆಕ್ನಿಂದ ಎರಡು ಕಾರ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ಏಸ್ ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ
    A) 1/221
    B) 1/169
    C) 1/2704
    D) 4/52
    AnswerCorrect: B. (4/52)×(4/52) = 16/2704 = 1/169.

19. ಕಠಿಣ – 10 ವಸ್ತುಗಳ ಸರಾಸರಿ 15. ಒಂದು ವಸ್ತು 25 ಅನ್ನು 35 ರಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಹೊಸ ಸರಾಸರಿ
    A) 15
    B) 16
    C) 17
    D) 18
    AnswerCorrect: B. ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳ = 10; ಹೊಸ ಸರಾಸರಿ = 15 + 10/10 = 16.

20. ಕಠಿಣ – ಒಂದು ದಾಳವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಉರುಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಉರುಳಿಸುವಿಕೆಯು ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ
    A) 5/12
    B) 1/2
    C) 7/12
    D) 15/36
    AnswerCorrect: A. 15 ಅನುಕೂಲಕರ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಿ → 15/36 = 5/12.

21. ಕಠಿಣ – ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ, μ±1.5σ ಒಳಗೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಎಷ್ಟು ಶೇಕಡಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಇರುತ್ತವೆ?
    A) 68 %
    B) 86.6 %
    C) 95 %
    D) 99.7 %
    AnswerCorrect: B. ಅನುಭವಜನ್ಯ ನಿಯಮವು ≈86.6 % ನೀಡುತ್ತದೆ.

22. ಕಠಿಣ – ಒಂದು ಬ್ಯಾಗ್ನಲ್ಲಿ 5 ದೋಷಯುಕ್ತ ಮತ್ತು 15 ದೋಷರಹಿತ ಬಲ್ಬ್ಗಳಿವೆ. ಎರಡು ಬಲ್ಬ್ಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಬದಲಾವಣೆ ಇಲ್ಲದೆ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ದೋಷಯುಕ್ತವಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ
    A) 15/76
    B) 35/76
    C) 50/76
    D) 15/38
    AnswerCorrect: B. (5C1×15C1)/(20C2) = 75/190 = 35/76.

23. ಕಠಿಣ – A ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 3/5 ಮತ್ತು B ಗೆ ಅದು 2/3 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಅವರು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯು ಅವರಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಬ್ಬರಿಂದ ಬಿಡಿಸಲ್ಪಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ
    A) 2/5
    B) 13/15
    C) 3/5
    D) 11/15
    AnswerCorrect: B. 1–(1–3/5)(1–2/3)=1–(2/5)(1/3)=1–2/15=13/15.

24. ಕಠಿಣ – ಮೊದಲ n ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಾಸರಿ 15. ಆಗ n ಸಮಾನ
    A) 15
    B) 29
    C) 30
    D) 31
    AnswerCorrect: B. n(n+1)/2n = (n+1)/2 = 15 → n=29.

25. ಕಠಿಣ – ರೈಲ್ವೆ ಸಮಯಪಟ್ಟಿಯು 90 % ರೈಲುಗಳು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. 5 ರೈಲುಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆರಿಸಿದರೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ರೈಲು ತಡವಾಗಿ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ
    A) (0.9)^5
    B) 1–(0.1)^5
    C) 1–(0.9)^5
    D) (0.1)^5
    AnswerCorrect: C. ಎಲ್ಲಾ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಬಂದವುಗಳ ಪೂರಕ = 1–(0.9)^5.

ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಲಹೆಗಳು

1. ಪೂರಕ ತಂತ್ರ: “ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು” ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು → 1 – P(ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
2. ದಾಳ ಮೊತ್ತಗಳು: ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಎಣಿಸಿ; 7 ಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು (6) ಇವೆ.
3. ಕಾರ್ಡ್ ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್ಗಳು: ಪ್ರತಿ ಸೂಟ್ಗೆ 13 ಕಾರ್ಡ್ಗಳು; ಕಿಂಗ್ಸ್, ಕ್ವೀನ್ಸ್, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ 4 ಪ್ರತಿ.
4. ಸರಾಸರಿ ಬದಲಾವಣೆ: ಪ್ರತಿ ನಿರೀಕ್ಷಣೆಯು k ರಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾದರೆ, ಸರಾಸರಿಯು k ರಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ; ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
5. ಅನುಭವಜನ್ಯ ನಿಯಮ: ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ 68-95-99.7—ವಿಪರೀತ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮೂಲನೆ ಮಾಡಲು ಬಳಸಿ.
6. “ಬದಲಾವಣೆ ಇಲ್ಲದೆ” → ಎರಡನೇ ಎಳೆತಕ್ಕೆ ಛೇದಕವು 1 ರಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
7. ವರ್ಗೀಕೃತ ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿ ಬಹುಲಕ: ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸೂತ್ರ ಬಹುಲಕ = L + [(f1–f0)/(2f1–f0–f2)]×h ಬಳಸಿ; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅತ್ಯಧಿಕ ಆವೃತ್ತಿ ವರ್ಗವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.
8. ಸಮಯ ಉಳಿತಾಯ: ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿ ಇರಿಸಲು ಗುಣಿಸುವ ಮೊದಲು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.
9. ದ್ವಿ-ಪರಿಶೀಲನೆ: ಘಟನೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿವೆಯೇ ಅಥವಾ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ—ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬೆರೆಸಬೇಡಿ.
10. ಒರಟು ಕಾಲಮ್: SD ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, (x–ಸರಾಸರಿ)² ಅನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ; ಅಂಕಗಣಿತದ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಅರ್ಧಕ್ಕೆ ಇಳಿಸುತ್ತದೆ.