శీఘ్ర సిద్ధాంత పునరావృతి

సంభావ్యత అనేది ఒక సంఘటన జరిగే సంభావ్యతను కొలుస్తుంది. సమానంగా-సంభవించే ఫలితాల కోసం,
P(E) = (అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య) / (మొత్తం సాధ్యమయ్యే ఫలితాలు).
దీని విలువ ఎల్లప్పుడూ 0 (అసాధ్యం) మరియు 1 (ఖచ్చితం) మధ్య ఉంటుంది. పూరక నియమం
P(not E) = 1 – P(E) ప్రత్యక్ష గణన గందరగోళంగా ఉన్నప్పుడు సహాయపడుతుంది.

రెండు సంఘటనలు పరస్పర వివర్జితమైనవి అయితే రెండూ కలిసి జరగవు (P(A∩B)=0) మరియు స్వతంత్రమైనవి అయితే ఒకటి మరొకదానిని ప్రభావితం చేయదు (P(A∩B)=P(A)·P(B)).
సంయుక్త సంఘటనల కోసం:

• సంకలనం: P(A∪B) = P(A)+P(B)–P(A∩B)
• పరిస్థితిక: P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

సగటు, మధ్యగతం & బహుళకం కేంద్రీయ ధోరణిని వివరిస్తాయి, అయితే విస్తృతి/ప్రామాణిక విచలనం వ్యాప్తిని పరిమాణాత్మకంగా తెలియజేస్తాయి.
వర్గీకృత దత్తాంశం కోసం, సగటు = Σ(fx)/Σf మరియు విస్తృతి = [Σf(x–సగటు)²]/Σf.
గుర్తుంచుకోండి: సాధారణ విభాజనంలో, ≈68 % విలువలు ±1σ లోపల మరియు ≈95 % ±2σ లోపల ఉంటాయి—పరిధి-ఆధారిత ప్రశ్నలలో త్వరిత తొలగింపు కోసం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.

అభ్యాస బహుళైచ్ఛిక ప్రశ్నలు

1. సులభం – ఒక న్యాయమైన పాచికను ఒకసారి దొర్లించారు. ప్రధాన సంఖ్య వచ్చే సంభావ్యత
   A) 1/6
   B) 1/3
   C) 1/2
   D) 2/3
   AnswerCorrect: C. పాచికపై ప్రధాన సంఖ్యలు = {2,3,5}; 3/6 = 1/2.

2. సులభం – కింది వాటిలో ఏది సంభావ్యత విలువ కాదు?
   A) 0
   B) 0.5
   C) 1
   D) 1.2
   AnswerCorrect: D. సంభావ్యత [0,1] మధ్య ఉండాలి.

3. సులభం – 7,4,9,7,5,8,6 యొక్క మధ్యగతం
   A) 5
   B) 6
   C) 7
   D) 8
   AnswerCorrect: C. క్రమబద్ధీకరించిన దత్తాంశం 4,5,6,7,7,8,9 → మధ్య విలువ 7.

4. సులభం – రెండు నాణేలను ఏకకాలంలో ఎగురవేస్తారు. ఖచ్చితంగా ఒక తల వచ్చే సంభావ్యత
   A) 1/4
   B) 1/2
   C) 3/4
   D) 1
   AnswerCorrect: B. అనుకూలమైనవి = {HT,TH}; 2/4 = 1/2.

5. సులభం – P(A)=0.3 అయితే, P(not A) సమానం
   A) 0.3
   B) 0.7
   C) 1
   D) 0
   AnswerCorrect: B. పూరక నియమం 1–0.3 = 0.7.

6. సులభం – 2,3,3,5,5,5,7 యొక్క బహుళకం
   A) 2
   B) 3
   C) 5
   D) 7
   AnswerCorrect: C. 5 చాలాసార్లు కనిపిస్తుంది.

7. మధ్యస్థం – 52-పేకముక్కల డెక్ నుండి ఒక కార్డ్ తీయబడింది. అది రాజు లేదా హృదయం అయ్యే సంభావ్యత
   A) 16/52
   B) 17/52
   C) 1/13
   D) 4/13
   AnswerCorrect: A. P(రాజు)+P(హృదయం)–P(హృదయం రాజు)=4/52+13/52–1/52=16/52.

8. మధ్యస్థం – రెండు పాచికలు దొర్లించబడతాయి. మొత్తం 9 అయ్యే సంభావ్యత
   A) 1/9
   B) 1/12
   C) 1/6
   D) 4/36
   AnswerCorrect: D. అనుకూలమైన జతలు (3,6),(4,5),(5,4),(6,3) → 4/36.

9. మధ్యస్థం – మొదటి 5 సహజ సంఖ్యల సగటు
   A) 3
   B) 3.5
   C) 4
   D) 5
   AnswerCorrect: A. (1+2+3+4+5)/5 = 15/5 = 3.

10. మధ్యస్థం – ఒకవేళ సంఘటనలు A మరియు B స్వతంత్రంగా ఉండి P(A)=0.4, P(B)=0.5 అయితే, P(A∩B)=
    A) 0.2
    B) 0.4
    C) 0.5
    D) 0.9
    AnswerCorrect: A. 0.4×0.5 = 0.2.

11. మధ్యస్థం – ఒక సంచిలో 4 ఎరుపు, 3 నీలం, 5 ఆకుపచ్చ బంతులు ఉన్నాయి. యాదృచ్ఛికంగా ఒక బంతి తీయబడుతుంది. అది ఆకుపచ్చ కాకపోవడం యొక్క సంభావ్యత
    A) 5/12
    B) 7/12
    C) 1/2
    D) 3/4
    AnswerCorrect: B. (4+3)/12 = 7/12.

12. మధ్యస్థం – 2,4,6,8,10 యొక్క విస్తృతి
    A) 6
    B) 8
    C) 10
    D) 12
    AnswerCorrect: B. సగటు=6; Σ(x–6)²/5 = (16+4+0+4+16)/5 = 40/5 = 8.

13. మధ్యస్థం – 40 మంది విద్యార్థుల తరగతిలో, 25 గణితంలో, 20 సైన్స్లో ఉత్తీర్ణులయ్యారు, 5 ఇద్దరిలోనూ ఫెయిల్ అయ్యారు. రెండు విషయాలలో ఉత్తీర్ణులైన వారి సంఖ్య
    A) 10
    B) 15
    C) 20
    D) 25
    AnswerCorrect: A. n(M∪S)=35; 25+20–x=35 → x=10.

14. కఠినం – మూడు నాణేలు ఎగురవేయబడతాయి. కనీసం రెండు బొమ్మలు వచ్చే సంభావ్యత
    A) 1/2
    B) 3/8
    C) 1/4
    D) 5/8
    AnswerCorrect: A. అనుకూలమైనవి {HTT,THT,TTH,TTT} = 4/8 = 1/2.

15. కఠినం – ఒక పెట్టెలో 2 తెలుపు, 3 నలుపు, 4 ఎరుపు బంతులు ఉన్నాయి. రెండు బంతులు ప్రతిక్షేపణ లేకుండా తీయబడతాయి. రెండూ నలుపు బంతులు అయ్యే సంభావ్యత
    A) 1/15
    B) 3/36
    C) 1/12
    D) 2/9
    AnswerCorrect: C. (3/9)×(2/8) = 6/72 = 1/12.

16. కఠినం – 5,5,5,5,5 దత్తాంశం యొక్క ప్రామాణిక విచలనం
    A) 0
    B) 1
    C) 5
    D) 25
    AnswerCorrect: A. వ్యాప్తి లేదు; SD=0.

17. కఠినం – “PROBABILITY” అనే పదం నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక అక్షరం ఎంపిక చేయబడుతుంది. అది స్వరాక్షరం అయ్యే సంభావ్యత
    A) 4/11
    B) 3/11
    C) 1/3
    D) 2/11
    AnswerCorrect: A. స్వరాక్షరాలు O,A,I,I → 11 అక్షరాలలో 4.

18. కఠినం – 52-పేకముక్కల డెక్ నుండి ప్రతిక్షేపణతో రెండు కార్డ్లు తీయబడతాయి. రెండూ ఏస్ కార్డ్లు అయ్యే సంభావ్యత
    A) 1/221
    B) 1/169
    C) 1/2704
    D) 4/52
    AnswerCorrect: B. (4/52)×(4/52) = 16/2704 = 1/169.

19. కఠినం – 10 అంశాల సగటు 15. ఒకవేళ ఒక అంశం 25 ను 35 తో భర్తీ చేస్తే, కొత్త సగటు
    A) 15
    B) 16
    C) 17
    D) 18
    AnswerCorrect: B. మొత్తంలో పెరుగుదల = 10; కొత్త సగటు = 15 + 10/10 = 16.

20. కఠినం – ఒక పాచికను రెండుసార్లు దొర్లించారు. రెండవ దొర్లిక మొదటి దానికి ఖచ్చితంగా ఎక్కువగా ఉండే సంభావ్యత
    A) 5/12
    B) 1/2
    C) 7/12
    D) 15/36
    AnswerCorrect: A. 15 అనుకూలమైన క్రమబద్ధ జతలను లెక్కించండి → 15/36 = 5/12.

21. కఠినం – సాధారణ విభాజనంలో, μ±1.5σ లోపల ఉన్న విలువల శాతం సుమారుగా ఎంత?
    A) 68 %
    B) 86.6 %
    C) 95 %
    D) 99.7 %
    AnswerCorrect: B. అనుభవజ్ఞ నియమం ≈86.6 % ఇస్తుంది.

22. కఠినం – ఒక సంచిలో 5 లోపభూయిష్ట మరియు 15 లోపరహిత బల్బులు ఉన్నాయి. రెండు బల్బులు యాదృచ్ఛికంగా ప్రతిక్షేపణ లేకుండా తీయబడతాయి. ఖచ్చితంగా ఒకటి లోపభూయిష్టంగా ఉండే సంభావ్యత
    A) 15/76
    B) 35/76
    C) 50/76
    D) 15/38
    AnswerCorrect: B. (5C1×15C1)/(20C2) = 75/190 = 35/76.

23. కఠినం – ఒకవేళ A ఒక సమస్యను సాధించే సంభావ్యత 3/5 మరియు B కోసం అది 2/3 అయితే, మరియు వారు స్వతంత్రంగా ప్రయత్నిస్తే, కనీసం ఒకరు సమస్యను సాధించే సంభావ్యత
    A) 2/5
    B) 13/15
    C) 3/5
    D) 11/15
    AnswerCorrect: B. 1–(1–3/5)(1–2/3)=1–(2/5)(1/3)=1–2/15=13/15.

24. కఠినం – మొదటి n సహజ సంఖ్యల సగటు 15. అప్పుడు n సమానం
    A) 15
    B) 29
    C) 30
    D) 31
    AnswerCorrect: B. n(n+1)/2n = (n+1)/2 = 15 → n=29.

25. కఠినం – ఒక రైల్వే టైమ్-టేబుల్ 90 % రైళ్లు సమయానికి చేరుకుంటాయని చూపిస్తుంది. ఒకవేళ 5 రైళ్లు యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడితే, కనీసం ఒకటి ఆలస్యంగా ఉండే సంభావ్యత
    A) (0.9)^5
    B) 1–(0.1)^5
    C) 1–(0.9)^5
    D) (0.1)^5
    AnswerCorrect: C. అన్నీ సమయానికి ఉండే సంభావ్యత యొక్క పూరకం = 1–(0.9)^5.

సత్వరమార్గాలు & చిట్కాలు

1. పూరక ట్రిక్: “కనీసం ఒకటి” ప్రశ్నలు → 1 – P(ఏదీ లేదు) కనుగొనండి.
2. పాచిక మొత్తాలు: జతలను సౌష్ఠవంగా లెక్కించండి; 7కి గరిష్ట కలయికలు ఉంటాయి (6).
3. కార్డ్ సత్వరమార్గాలు: సూట్కు 13 కార్డ్లు; రాజులు, రాణులు మొదలైనవి ఒక్కొక్కటి 4.
4. సగటు మార్పు: ప్రతి పరిశీలన k తో పెరిగితే, సగటు k తో పెరుగుతుంది; విస్తృతి మారదు.
5. అనుభవజ్ఞ నియమం: సాధారణ వక్రరేఖ కోసం 68-95-99.7—విపరీత ఎంపికలను తొలగించడానికి ఉపయోగించండి.
6. “ప్రతిక్షేపణ లేకుండా” → రెండవ డ్రా కోసం హారం 1 తగ్గుతుంది.
7. వర్గీకృత దత్తాంశంలో బహుళకం: ఫార్ములా బహుళకం = L + [(f1–f0)/(2f1–f0–f2)]×h ను ఉపయోగించండి, సరిహద్దు విలువలు దగ్గరగా ఉంటే మాత్రమే; లేకపోతే అత్యధిక పౌనఃపున్య తరగతిని పరిశీలించండి.
8. సమయం-లాభదాయకం: సంఖ్యలను చిన్నగా ఉంచడానికి గుణించే ముందు భిన్నాలను తగ్గించండి.
9. రెండుసార్లు తనిఖీ చేయండి: సంఘటనలు పరస్పర వివర్జితమైనవా లేదా స్వతంత్రమైనవా అని ఎల్లప్పుడు ధృవీకరించండి—సంకలన & గుణకార నియమాలను కలపవద్దు.
10. సుమారు కాలమ్: SD లెక్కించేటప్పుడు, (x–సగటు)² ను ఒక వైపు కాలమ్లో రాయండి; అంకగణిత తప్పులను సగానికి తగ్గిస్తుంది.