দ্ৰুত তত্ত্ব পুনৰীক্ষণ

সম্ভাৱনিতাই এটা ঘটনা সংঘটিত হোৱাৰ সম্ভাৱ্যতা জোখে। সমান সম্ভাৱ্য ফলাফলৰ বাবে,
P(E) = (অনুকূল ফলাফলৰ সংখ্যা) / (মুঠ সম্ভাব্য ফলাফল)।
ইয়াৰ মান সদায় 0 (অসম্ভৱ) আৰু 1 (নিশ্চিত)ৰ মাজত থাকে। পূৰক নিয়ম
P(not E) = 1 – P(E)-ই সহায় কৰে যেতিয়া পোনপটীয়াকৈ গণনা কৰাটো জটিল হয়।

দুটা ঘটনা পাৰস্পৰিকভাৱে একচেটীয়া হয় যদি দুয়োটা একেলগে নঘটে (P(A∩B)=0) আৰু স্বাধীন হয় যদি এটাই আনটোৰ ওপৰত প্ৰভাৱ নেপেলায় (P(A∩B)=P(A)·P(B))।
যৌগিক ঘটনাসমূহৰ বাবে:

• যোগ: P(A∪B) = P(A)+P(B)–P(A∩B)
• সাপেক্ষ: P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

গড়, মধ্যমা আৰু বহুলকে কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতা বৰ্ণনা কৰে, আনহাতে প্ৰসৰণ/মানক বিচ্যুতিয়ে বিস্তাৰৰ পৰিমাণ নিৰ্ধাৰণ কৰে।
শ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যৰ বাবে, গড় = Σ(fx)/Σf আৰু প্ৰসৰণ = [Σf(x–গড়)²]/Σf।
মনত ৰাখিব: সাধাৰণ বিতৰণত, ≈68 % মান ±1σৰ ভিতৰত আৰু ≈95 % মান ±2σৰ ভিতৰত থাকে—পৰিসৰ-ভিত্তিক প্ৰশ্নত দ্ৰুত বাদ দিবলৈ ই সহায়ক।

অনুশীলনী MCQসমূহ

1. সহজ – এটা নিৰপেক্ষ দান এবাৰ দলিওৱা হ’ল। মৌলিক সংখ্যা পোৱাৰ সম্ভাৱনিতা হ’ল
   A) 1/6
   B) 1/3
   C) 1/2
   D) 2/3
   AnswerCorrect: C. দানত মৌলিক সংখ্যা = {2,3,5}; 3/6 = 1/2.

2. সহজ – তলৰ কোনটো সম্ভাৱনিতা মান হ’ব নোৱাৰে?
   A) 0
   B) 0.5
   C) 1
   D) 1.2
   AnswerCorrect: D. সম্ভাৱনিতা [0,1]ৰ ভিতৰত থাকিব লাগিব।

3. সহজ – 7,4,9,7,5,8,6 ৰ মধ্যমা হ’ল
   A) 5
   B) 6
   C) 7
   D) 8
   AnswerCorrect: C. ক্ৰমবদ্ধ তথ্য 4,5,6,7,7,8,9 → মধ্যম মান 7.

4. সহজ – দুটা নাণমুৱা একেলগে টছ কৰা হ’ল। ঠিক এটা মুৰ পোৱাৰ সম্ভাৱনিতা হ’ল
   A) 1/4
   B) 1/2
   C) 3/4
   D) 1
   AnswerCorrect: B. অনুকূল = {HT,TH}; 2/4 = 1/2.

5. সহজ – যদি P(A)=0.3, তেন্তে P(not A) সমান হ’ব
   A) 0.3
   B) 0.7
   C) 1
   D) 0
   AnswerCorrect: B. পূৰক নিয়ম 1–0.3 = 0.7.

6. সহজ – 2,3,3,5,5,5,7 ৰ বহুলক হ’ল
   A) 2
   B) 3
   C) 5
   D) 7
   AnswerCorrect: C. 5 সৰ্বাধিক বাৰংবাৰতাৰে ওলায়।

7. মধ্যম – 52-খন তাচৰ পৰা এখন কাৰ্ড টনা হ’ল। ই ৰাজা বা হৃদয় হোৱাৰ সম্ভাৱনিতা হ’ল
   A) 16/52
   B) 17/52
   C) 1/13
   D) 4/13
   AnswerCorrect: A. P(ৰাজা)+P(হৃদয়)–P(হৃদয়ৰ ৰাজা)=4/52+13/52–1/52=16/52.

8. মধ্যম – দুটা দান দলিওৱা হ’ল। যোগফল 9 হোৱাৰ সম্ভাৱনিতা হ’ল
   A) 1/9
   B) 1/12
   C) 1/6
   D) 4/36
   AnswerCorrect: D. অনুকূল যোৰ (3,6),(4,5),(5,4),(6,3) → 4/36.

9. মধ্যম – প্ৰথম 5টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ গড় হ’ল
   A) 3
   B) 3.5
   C) 4
   D) 5
   AnswerCorrect: A. (1+2+3+4+5)/5 = 15/5 = 3.

10. মধ্যম – যদি ঘটনা A আৰু B স্বাধীন হয় আৰু P(A)=0.4, P(B)=0.5, তেন্তে P(A∩B)=
    A) 0.2
    B) 0.4
    C) 0.5
    D) 0.9
    AnswerCorrect: A. 0.4×0.5 = 0.2.

11. মধ্যম – এটা বেগত 4টা ৰঙা, 3টা নীলা, 5টা সেউজীয়া বল আছে। এটা বল দৈৱিকভাৱে টনা হ’ল। ই সেউজীয়া নোহোৱাৰ সম্ভাৱনিতা হ’ল
    A) 5/12
    B) 7/12
    C) 1/2
    D) 3/4
    AnswerCorrect: B. (4+3)/12 = 7/12.

12. মধ্যম – 2,4,6,8,10 ৰ প্ৰসৰণ হ’ল
    A) 6
    B) 8
    C) 10
    D) 12
    AnswerCorrect: B. গড়=6; Σ(x–6)²/5 = (16+4+0+4+16)/5 = 40/5 = 8.

13. মধ্যম – 40 জনীয়া শ্ৰেণীটোত, 25 জনে গণিতত, 20 জনে বিজ্ঞানত উত্তীৰ্ণ হৈছে, 5 জনে দুয়োটাতে অকৃতকাৰ্য হৈছে। দুয়োটা বিষয়ত উত্তীৰ্ণ হোৱাৰ সংখ্যা হ’ল
    A) 10
    B) 15
    C) 20
    D) 25
    AnswerCorrect: A. n(M∪S)=35; 25+20–x=35 → x=10.

14. কঠিন – তিনিটা নাণমুৱা টছ কৰা হ’ল। অন্ততঃ দুটা নেজ পোৱাৰ সম্ভাৱনিতা হ’ল
    A) 1/2
    B) 3/8
    C) 1/4
    D) 5/8
    AnswerCorrect: A. অনুকূল {HTT,THT,TTH,TTT} = 4/8 = 1/2.

15. কঠিন – এটা বাকচত 2টা বগা, 3টা ক’লা, 4টা ৰঙা বল আছে। দুটা বল প্ৰতিষ্ঠাপন নকৰাকৈ টনা হ’ল। দুয়োটা ক’লা হোৱাৰ সম্ভাৱনিতা হ’ল
    A) 1/15
    B) 3/36
    C) 1/12
    D) 2/9
    AnswerCorrect: C. (3/9)×(2/8) = 6/72 = 1/12.

16. কঠিন – তথ্য 5,5,5,5,5 ৰ মানক বিচ্যুতি হ’ল
    A) 0
    B) 1
    C) 5
    D) 25
    AnswerCorrect: A. বিস্তাৰ নাই; SD=0.

17. কঠিন – “PROBABILITY” শব্দটোৰ পৰা এটা আখৰ দৈৱিকভাৱে বাছনি কৰা হ’ল। ই স্বৰবৰ্ণ হোৱাৰ সম্ভাৱনিতা হ’ল
    A) 4/11
    B) 3/11
    C) 1/3
    D) 2/11
    AnswerCorrect: A. স্বৰবৰ্ণ O,A,I,I → 11টা আখৰৰ ভিতৰত 4টা।

18. কঠিন – 52-খন তাচৰ পৰা দুখন কাৰ্ড প্ৰতিষ্ঠাপনসহ টনা হ’ল। দুয়োখন এক্কা হোৱাৰ সম্ভাৱনিতা হ’ল
    A) 1/221
    B) 1/169
    C) 1/2704
    D) 4/52
    AnswerCorrect: B. (4/52)×(4/52) = 16/2704 = 1/169.

19. কঠিন – 10টা পদৰ গড় 15। যদি এটা পদ 25 ক 35 ৰে সলনি কৰা হয়, নতুন গড় হ’ব
    A) 15
    B) 16
    C) 17
    D) 18
    AnswerCorrect: B. মুঠ যোগফলৰ বৃদ্ধি = 10; নতুন গড় = 15 + 10/10 = 16.

20. কঠিন – এটা দান দুবাৰ দলিওৱা হ’ল। দ্বিতীয় দলিয়াটো প্ৰথমটোতকৈ কঠোৰভাৱে ডাঙৰ হোৱাৰ সম্ভাৱনিতা হ’ল
    A) 5/12
    B) 1/2
    C) 7/12
    D) 15/36
    AnswerCorrect: A. 15টা অনুকূল ক্ৰমবদ্ধ যোৰ গণনা কৰক → 15/36 = 5/12.

21. কঠিন – সাধাৰণ বিতৰণত, μ±1.5σৰ ভিতৰত প্ৰায় কিমান শতাংশ মান থাকে?
    A) 68 %
    B) 86.6 %
    C) 95 %
    D) 99.7 %
    AnswerCorrect: B. অভিজ্ঞতামূলক নিয়মে ≈86.6 % দিয়ে।

22. কঠিন – এটা বেগত 5টা ত্ৰুটিপূৰ্ণ আৰু 15টা অ-ত্ৰুটিপূৰ্ণ বাল্ব আছে। দুটা বাল্ব প্ৰতিষ্ঠাপন নকৰাকৈ দৈৱিকভাৱে টনা হ’ল। ঠিক এটা ত্ৰুটিপূৰ্ণ হোৱাৰ সম্ভাৱনিতা হ’ল
    A) 15/76
    B) 35/76
    C) 50/76
    D) 15/38
    AnswerCorrect: B. (5C1×15C1)/(20C2) = 75/190 = 35/76.

23. কঠিন – যদি A-এ এটা সমস্যা সমাধান কৰাৰ সম্ভাৱনিতা 3/5 আৰু B-ৰ বাবে 2/3 হয়, আৰু তেওঁলোকে স্বাধীনভাৱে চেষ্টা কৰে, তেন্তে তেওঁলোকৰ ভিতৰত অন্ততঃ এজনে সমস্যাটো সমাধান কৰাৰ সম্ভাৱনিতা হ’ল
    A) 2/5
    B) 13/15
    C) 3/5
    D) 11/15
    AnswerCorrect: B. 1–(1–3/5)(1–2/3)=1–(2/5)(1/3)=1–2/15=13/15.

24. কঠিন – প্ৰথম nটা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ গড় 15। তেন্তে n সমান হ’ব
    A) 15
    B) 29
    C) 30
    D) 31
    AnswerCorrect: B. n(n+1)/2n = (n+1)/2 = 15 → n=29.

25. কঠিন – ৰেলৱে সময়সূচীয়ে দেখুৱায় যে 90 % ৰেল সময়মতে আহে। যদি 5টা ৰেল দৈৱিকভাৱে বাছনি কৰা হয়, তেন্তে অন্ততঃ এটা পলম হোৱাৰ সম্ভাৱনিতা হ’ল
    A) (0.9)^5
    B) 1–(0.1)^5
    C) 1–(0.9)^5
    D) (0.1)^5
    AnswerCorrect: C. সকলো সময়মতে অহাৰ পূৰক = 1–(0.9)^5.

চুটকাট আৰু টিপছ

1. পূৰক কৌশল: “অন্ততঃ এটা” প্ৰশ্নসমূহ → 1 – P(কোনোটা নহয়) নিৰ্ণয় কৰক।
2. দানৰ যোগফল: যোৰসমূহ সমমিতিকভাৱে গণনা কৰক; 7ৰ সৰ্বাধিক সংমিশ্ৰণ (6) থাকে।
3. তাচৰ চুটকাট: প্ৰতি ৰংত 13খন কাৰ্ড; ৰাজা, ৰাণী আদি প্ৰতিটোৰ 4খন।
4. গড়ৰ সৰণ: যদি প্ৰতিটো পৰ্যবেক্ষণ k ৰে বৃদ্ধি পায়, গড় k ৰে বৃদ্ধি পায়; প্ৰসৰণ অপরিবৰ্তিত থাকে।
5. অভিজ্ঞতামূলক নিয়ম: সাধাৰণ বক্ৰৰ বাবে 68-95-99.7—বন্য বিকল্পবোৰ বাদ দিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰক।
6. “প্ৰতিষ্ঠাপন নকৰাকৈ” → দ্বিতীয় টনৰ বাবে হৰটো 1 ৰে কমি যায়।
7. শ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যত বহুলক: সূত্ৰ বহুলক = L + [(f1–f0)/(2f1–f0–f2)]×h কেৱল তেতিয়াহে ব্যৱহাৰ কৰিব যদি সীমাৰ মানবোৰ ওচৰত থাকে; নহ’লে সৰ্বোচ্চ বাৰংবাৰতাৰ শ্ৰেণীটো পৰীক্ষা কৰক।
8. সময় সাঁচি: সংখ্যাবোৰ সৰু ৰাখিবলৈ পূৰ্বে ভগ্নাংশবোৰ হ্ৰাস কৰক।
9. দ্বিতীয়বাৰ পৰীক্ষা কৰক: সদায় পৰীক্ষা কৰক যে ঘটনাবোৰ পাৰস্পৰিকভাৱে একচেটীয়া নে স্বাধীন—যোগ আৰু পূৰণ নিয়মবোৰ মিহলি নকৰিব।
10. খচৰা স্তম্ভ: SD গণনা কৰোঁতে, (x–গড়)² এটা পাৰ্শ্ব স্তম্ভত লিখক; গাণিতিক ভুল আধা কৰে।