ઝડપી સિદ્ધાંત પુનરાવર્તન

સંભાવના એ ઘટના થવાની સંભાવનાને માપે છે. સમાન સંભાવના ધરાવતા પરિણામો માટે,
P(E) = (અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા) / (કુલ સંભવિત પરિણામો).
મૂલ્ય હંમેશા 0 (અશક્ય) અને 1 (નિશ્ચિત) વચ્ચે હોય છે. પૂરક નિયમ
P(નહીં E) = 1 – P(E) ત્યારે મદદરૂપ થાય છે જ્યારે સીધી ગણતરી મુશ્કેલ હોય.

બે ઘટનાઓ પરસ્પર અનન્ય છે જો બંને એકસાથે થઈ શકતી નથી (P(A∩B)=0) અને સ્વતંત્ર છે જો એક બીજાને અસર કરતી નથી (P(A∩B)=P(A)·P(B)).
સંયુક્ત ઘટનાઓ માટે:

• સરવાળો: P(A∪B) = P(A)+P(B)–P(A∩B)
• શરતી: P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

સરેરાશ, મધ્યસ્થ અને બહુલક કેન્દ્રીય વલણનું વર્ણન કરે છે, જ્યારે વિચરણ/માનક વિચલન પ્રસારને માપે છે.
વર્ગીકૃત માહિતી માટે, સરેરાશ = Σ(fx)/Σf અને વિચરણ = [Σf(x–સરેરાશ)²]/Σf.
યાદ રાખો: સામાન્ય વિતરણમાં, ≈68 % મૂલ્યો ±1σ અને ≈95 % ±2σ ની અંદર હોય છે—શ્રેણી-આધારિત પ્રશ્નોમાં ઝડપી નિરાકરણ માટે ઉપયોગી.

અભ્યાસ બહુવિકલ્પ પ્રશ્નો

1. સરળ – એક નિષ્પક્ષ પાસાને એકવાર ફેંકવામાં આવે છે. અવિભાજ્ય સંખ્યા મળવાની સંભાવના છે
   A) 1/6
   B) 1/3
   C) 1/2
   D) 2/3
   AnswerCorrect: C. પાસા પર અવિભાજ્ય = {2,3,5}; 3/6 = 1/2.

2. સરળ – નીચેનામાંથી કયું સંભાવના મૂલ્ય હોઈ શકે નહીં?
   A) 0
   B) 0.5
   C) 1
   D) 1.2
   AnswerCorrect: D. સંભાવના [0,1] માં હોવી જોઈએ.

3. સરળ – 7,4,9,7,5,8,6 નો મધ્યસ્થ છે
   A) 5
   B) 6
   C) 7
   D) 8
   AnswerCorrect: C. ક્રમમાં માહિતી 4,5,6,7,7,8,9 → મધ્યનું મૂલ્ય 7.

4. સરળ – બે સિક્કાઓ એકસાથે ઉછાળવામાં આવે છે. બરાબર એક છાપ મળવાની સંભાવના છે
   A) 1/4
   B) 1/2
   C) 3/4
   D) 1
   AnswerCorrect: B. અનુકૂળ = {HT,TH}; 2/4 = 1/2.

5. સરળ – જો P(A)=0.3, તો P(નહીં A) બરાબર છે
   A) 0.3
   B) 0.7
   C) 1
   D) 0
   AnswerCorrect: B. પૂરક નિયમ 1–0.3 = 0.7.

6. સરળ – 2,3,3,5,5,5,7 નો બહુલક છે
   A) 2
   B) 3
   C) 5
   D) 7
   AnswerCorrect: C. 5 સૌથી વધુ વખત આવે છે.

7. મધ્યમ – 52-કાર્ડના ડેકમાંથી એક કાર્ડ ખેંચવામાં આવે છે. તે રાજા અથવા હૃદય હોવાની સંભાવના છે
   A) 16/52
   B) 17/52
   C) 1/13
   D) 4/13
   AnswerCorrect: A. P(રાજા)+P(હૃદય)–P(હૃદયનો રાજા)=4/52+13/52–1/52=16/52.

8. મધ્યમ – બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે. સરવાળો 9 થવાની સંભાવના છે
   A) 1/9
   B) 1/12
   C) 1/6
   D) 4/36
   AnswerCorrect: D. અનુકૂળ જોડી (3,6),(4,5),(5,4),(6,3) → 4/36.

9. મધ્યમ – પ્રથમ 5 કુદરતી સંખ્યાઓનો સરેરાશ છે
   A) 3
   B) 3.5
   C) 4
   D) 5
   AnswerCorrect: A. (1+2+3+4+5)/5 = 15/5 = 3.

10. મધ્યમ – જો ઘટનાઓ A અને B સ્વતંત્ર હોય અને P(A)=0.4, P(B)=0.5, તો P(A∩B)=
    A) 0.2
    B) 0.4
    C) 0.5
    D) 0.9
    AnswerCorrect: A. 0.4×0.5 = 0.2.

11. મધ્યમ – એક થેલીમાં 4 લાલ, 3 વાદળી, 5 લીલી દડા છે. એક દડો યાદચ્છિક રીતે ખેંચવામાં આવે છે. તે લીલો ન હોય તેની સંભાવના છે
    A) 5/12
    B) 7/12
    C) 1/2
    D) 3/4
    AnswerCorrect: B. (4+3)/12 = 7/12.

12. મધ્યમ – 2,4,6,8,10 નું વિચરણ છે
    A) 6
    B) 8
    C) 10
    D) 12
    AnswerCorrect: B. સરેરાશ=6; Σ(x–6)²/5 = (16+4+0+4+16)/5 = 40/5 = 8.

13. મધ્યમ – 40 ની વર્ગમાં, 25 ગણિતમાં પાસ, 20 વિજ્ઞાનમાં પાસ, 5 બંનેમાં નાપાસ. બંને વિષયોમાં પાસ થનારની સંખ્યા છે
    A) 10
    B) 15
    C) 20
    D) 25
    AnswerCorrect: A. n(M∪S)=35; 25+20–x=35 → x=10.

14. કઠિન – ત્રણ સિક્કાઓ ઉછાળવામાં આવે છે. ઓછામાં ઓછા બે છાપ મળવાની સંભાવના છે
    A) 1/2
    B) 3/8
    C) 1/4
    D) 5/8
    AnswerCorrect: A. અનુકૂળ {HTT,THT,TTH,TTT} = 4/8 = 1/2.

15. કઠિન – એક ડબ્બામાં 2 સફેદ, 3 કાળા, 4 લાલ દડા છે. બે દડા બદલી વગર ખેંચવામાં આવે છે. બંને કાળા હોય તેની સંભાવના છે
    A) 1/15
    B) 3/36
    C) 1/12
    D) 2/9
    AnswerCorrect: C. (3/9)×(2/8) = 6/72 = 1/12.

16. કઠિન – માહિતી 5,5,5,5,5 નું માનક વિચલન છે
    A) 0
    B) 1
    C) 5
    D) 25
    AnswerCorrect: A. કોઈ પ્રસાર નથી; SD=0.

17. કઠિન – “PROBABILITY” શબ્દમાંથી એક અક્ષર યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. તે સ્વર હોય તેની સંભાવના છે
    A) 4/11
    B) 3/11
    C) 1/3
    D) 2/11
    AnswerCorrect: A. સ્વર O,A,I,I → 11 અક્ષરોમાંથી 4.

18. કઠિન – 52-કાર્ડના ડેકમાંથી બદલી સાથે બે કાર્ડ ખેંચવામાં આવે છે. બંને એક્કા હોય તેની સંભાવના છે
    A) 1/221
    B) 1/169
    C) 1/2704
    D) 4/52
    AnswerCorrect: B. (4/52)×(4/52) = 16/2704 = 1/169.

19. કઠિન – 10 વસ્તુઓનો સરેરાશ 15 છે. જો એક વસ્તુ 25 ને 35 વડે બદલવામાં આવે, તો નવો સરેરાશ છે
    A) 15
    B) 16
    C) 17
    D) 18
    AnswerCorrect: B. કુલમાં વધારો = 10; નવો સરેરાશ = 15 + 10/10 = 16.

20. કઠિન – એક પાસાને બે વાર ફેંકવામાં આવે છે. બીજી ફેંક પ્રથમ કરતા સખત મોટી હોય તેની સંભાવના છે
    A) 5/12
    B) 1/2
    C) 7/12
    D) 15/36
    AnswerCorrect: A. 15 અનુકૂળ ક્રમિક જોડી ગણો → 15/36 = 5/12.

21. કઠિન – સામાન્ય વિતરણમાં, લગભગ કેટલા ટકા મૂલ્યો μ±1.5σ ની અંદર હોય છે?
    A) 68 %
    B) 86.6 %
    C) 95 %
    D) 99.7 %
    AnswerCorrect: B. અનુભવજન્ય નિયમ ≈86.6 % આપે છે.

22. કઠિન – એક થેલીમાં 5 ખામીયુક્ત અને 15 બિન-ખામીયુક્ત બલ્બ છે. બે બલ્બ યાદચ્છિક રીતે બદલી વગર ખેંચવામાં આવે છે. બરાબર એક ખામીયુક્ત હોય તેની સંભાવના છે
    A) 15/76
    B) 35/76
    C) 50/76
    D) 15/38
    AnswerCorrect: B. (5C1×15C1)/(20C2) = 75/190 = 35/76.

23. કઠિન – જો A દ્વારા સમસ્યા હલ થવાની સંભાવના 3/5 અને B માટે 2/3 છે, અને તેઓ સ્વતંત્ર રીતે પ્રયત્ન કરે છે, તો સમસ્યા ઓછામાં ઓછા એક દ્વારા હલ થવાની સંભાવના છે
    A) 2/5
    B) 13/15
    C) 3/5
    D) 11/15
    AnswerCorrect: B. 1–(1–3/5)(1–2/3)=1–(2/5)(1/3)=1–2/15=13/15.

24. કઠિન – પ્રથમ n કુદરતી સંખ્યાઓનો સરેરાશ 15 છે. તો n બરાબર છે
    A) 15
    B) 29
    C) 30
    D) 31
    AnswerCorrect: B. n(n+1)/2n = (n+1)/2 = 15 → n=29.

25. કઠિન – રેલવે સમયકોષ્ટક બતાવે છે કે 90 % ટ્રેનો સમયસર આવે છે. જો 5 ટ્રેનો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે, તો ઓછામાં ઓછી એક મોડી આવે તેની સંભાવના છે
    A) (0.9)^5
    B) 1–(0.1)^5
    C) 1–(0.9)^5
    D) (0.1)^5
    AnswerCorrect: C. બધી સમયસરની પૂરક = 1–(0.9)^5.

શૉર્ટકટ અને ટીપ્સ

1. પૂરક યુક્તિ: “ઓછામાં ઓછી એક” પ્રશ્નો → 1 – P(કોઈ નહીં) શોધો.
2. પાસા સરવાળો: જોડી સમપ્રમાણમાં ગણો; 7 માં મહત્તમ જોડ (6) હોય છે.
3. કાર્ડ શૉર્ટકટ: પ્રતિ સુટ 13 કાર્ડ; રાજા, રાણી વગેરે દરેકના 4.
4. સરેરાશ ખસેડવો: જો દરેક અવલોકન k વડે વધે, તો સરેરાશ k વડે વધે; વિચરણ અપરિવર્તિત રહે.
5. અનુભવજન્ય નિયમ: સામાન્ય વક્ર માટે 68-95-99.7—અસંબદ્ધ વિકલ્પો દૂર કરવા માટે ઉપયોગ કરો.
6. “બદલી વગર” → બીજી ખેંચ માટે છેદ 1 થી ઘટે.
7. વર્ગીકૃત માહિતીમાં બહુલક: ફક્ત ત્યારે જ સૂત્ર બહુલક = L + [(f1–f0)/(2f1–f0–f2)]×h વાપરો જો સીમા મૂલ્યો નજીક હોય; નહીં તો સૌથી વધુ આવૃત્તિ વર્ગની તપાસ કરો.
8. સમય બચાવનાર: સંખ્યાઓ નાની રાખવા માટે ગુણાકાર કરતા પહેલા અપૂર્ણાંક ઘટાડો.
9. ડબલ-ચેક: હંમેશા ચકાસો કે ઘટનાઓ પરસ્પર અનન્ય છે કે સ્વતંત્ર—સરવાળો અને ગુણાકારના નિયમો મિશ્રિત કરશો નહીં.
10. રફ કૉલમ: SD ની ગણતરી કરતી વખતે, (x–સરેરાશ)² એક બાજુના કૉલમમાં લખો; અંકગણિત ભૂલો અડધી કરે છે.