দ্রুত তত্ত্ব পুনর্বিবেচনা

সম্ভাবনা পরিমাপ করে একটি ঘটনা ঘটার কতটা সম্ভাবনা। সমানভাবে সম্ভাব্য ফলাফলের জন্য,
P(E) = (অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা) / (মোট সম্ভাব্য ফলাফল)।
মানটি সর্বদা 0 (অসম্ভব) এবং 1 (নিশ্চিত) এর মধ্যে থাকে। পূরক নিয়ম
P(not E) = 1 – P(E) সরাসরি গণনা জটিল হলে সাহায্য করে।

দুটি ঘটনা পরস্পর ব্যতিরেকী যদি উভয় একসাথে ঘটতে না পারে (P(A∩B)=0) এবং স্বাধীন যদি একটি অন্যটিকে প্রভাবিত না করে (P(A∩B)=P(A)·P(B))।
যৌগিক ঘটনার জন্য:

• যোগ: P(A∪B) = P(A)+P(B)–P(A∩B)
• শর্তাধীন: P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

গড়, মধ্যমা ও প্রচুরক কেন্দ্রীয় প্রবণতা বর্ণনা করে, যখন প্রকরণ/মানক বিচ্যুতি বিস্তার পরিমাপ করে।
শ্রেণীবদ্ধ তথ্যের জন্য, গড় = Σ(fx)/Σf এবং প্রকরণ = [Σf(x–গড়)²]/Σf।
মনে রাখবেন: একটি স্বাভাবিক বন্টনে, ≈68% মান ±1σ এর মধ্যে এবং ≈95% মান ±2σ এর মধ্যে থাকে—পরিসীমা-ভিত্তিক প্রশ্নে দ্রুত অপসারণের জন্য সহায়ক।

অনুশীলন এমসিকিউ

1. সহজ – একটি ন্যায্য ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলো। একটি মৌলিক সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা হল
   A) 1/6
   B) 1/3
   C) 1/2
   D) 2/3
   AnswerCorrect: C. ছক্কায় মৌলিক সংখ্যা = {2,3,5}; 3/6 = 1/2।

2. সহজ – নিচের কোনটি একটি সম্ভাব্যতা মান হতে পারে না?
   A) 0
   B) 0.5
   C) 1
   D) 1.2
   AnswerCorrect: D. সম্ভাব্যতা অবশ্যই [0,1] এর মধ্যে থাকতে হবে।

3. সহজ – 7,4,9,7,5,8,6 এর মধ্যমা হল
   A) 5
   B) 6
   C) 7
   D) 8
   AnswerCorrect: C. ক্রমবিন্যাসিত তথ্য 4,5,6,7,7,8,9 → মধ্যবর্তী মান 7।

4. সহজ – দুটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলো। ঠিক একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা হল
   A) 1/4
   B) 1/2
   C) 3/4
   D) 1
   AnswerCorrect: B. অনুকূল = {HT,TH}; 2/4 = 1/2।

5. সহজ – যদি P(A)=0.3 হয়, তবে P(not A) এর মান
   A) 0.3
   B) 0.7
   C) 1
   D) 0
   AnswerCorrect: B. পূরক নিয়ম 1–0.3 = 0.7।

6. সহজ – 2,3,3,5,5,5,7 এর প্রচুরক হল
   A) 2
   B) 3
   C) 5
   D) 7
   AnswerCorrect: C. 5 সবচেয়ে বেশি বার উপস্থিত হয়েছে।

7. মধ্যম – 52-কার্ডের একটি ডেক থেকে একটি কার্ড টানা হলো। এটি একটি রাজা বা হার্ট হওয়ার সম্ভাবনা হল
   A) 16/52
   B) 17/52
   C) 1/13
   D) 4/13
   AnswerCorrect: A. P(King)+P(Heart)–P(King of Hearts)=4/52+13/52–1/52=16/52।

8. মধ্যম – দুটি ছক্কা নিক্ষেপ করা হলো। যোগফল 9 হওয়ার সম্ভাবনা হল
   A) 1/9
   B) 1/12
   C) 1/6
   D) 4/36
   AnswerCorrect: D. অনুকূল জোড়া (3,6),(4,5),(5,4),(6,3) → 4/36।

9. মধ্যম – প্রথম 5টি স্বাভাবিক সংখ্যার গড় হল
   A) 3
   B) 3.5
   C) 4
   D) 5
   AnswerCorrect: A. (1+2+3+4+5)/5 = 15/5 = 3।

10. মধ্যম – যদি ঘটনা A এবং B স্বাধীন হয় এবং P(A)=0.4, P(B)=0.5 হয়, তবে P(A∩B)=
    A) 0.2
    B) 0.4
    C) 0.5
    D) 0.9
    AnswerCorrect: A. 0.4×0.5 = 0.2।

11. মধ্যম – একটি ব্যাগে 4টি লাল, 3টি নীল, 5টি সবুজ বল আছে। একটি বল দৈবভাবে তোলা হলো। এটি সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা হল
    A) 5/12
    B) 7/12
    C) 1/2
    D) 3/4
    AnswerCorrect: B. (4+3)/12 = 7/12।

12. মধ্যম – 2,4,6,8,10 এর প্রকরণ হল
    A) 6
    B) 8
    C) 10
    D) 12
    AnswerCorrect: B. গড়=6; Σ(x–6)²/5 = (16+4+0+4+16)/5 = 40/5 = 8।

13. মধ্যম – 40 জনের একটি শ্রেণীতে, 25 জন গণিতে, 20 জন বিজ্ঞানে পাস করেছে, 5 জন উভয় বিষয়ে ফেল করেছে। উভয় বিষয়ে পাস করা শিক্ষার্থীর সংখ্যা হল
    A) 10
    B) 15
    C) 20
    D) 25
    AnswerCorrect: A. n(M∪S)=35; 25+20–x=35 → x=10।

14. কঠিন – তিনটি মুদ্রা নিক্ষেপ করা হলো। কমপক্ষে দুটি টেল পাওয়ার সম্ভাবনা হল
    A) 1/2
    B) 3/8
    C) 1/4
    D) 5/8
    AnswerCorrect: A. অনুকূল {HTT,THT,TTH,TTT} = 4/8 = 1/2।

15. কঠিন – একটি বাক্সে 2টি সাদা, 3টি কালো, 4টি লাল বল আছে। প্রতিস্থাপন ছাড়াই দুটি বল তোলা হলো। উভয় বল কালো হওয়ার সম্ভাবনা হল
    A) 1/15
    B) 3/36
    C) 1/12
    D) 2/9
    AnswerCorrect: C. (3/9)×(2/8) = 6/72 = 1/12।

16. কঠিন – 5,5,5,5,5 তথ্যের মানক বিচ্যুতি হল
    A) 0
    B) 1
    C) 5
    D) 25
    AnswerCorrect: A. কোন বিস্তার নেই; SD=0।

17. কঠিন – “PROBABILITY” শব্দ থেকে একটি অক্ষর দৈবভাবে নির্বাচন করা হলো। এটি একটি স্বরবর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা হল
    A) 4/11
    B) 3/11
    C) 1/3
    D) 2/11
    AnswerCorrect: A. স্বরবর্ণ O,A,I,I → 11টি অক্ষরের মধ্যে 4টি।

18. কঠিন – 52-কার্ডের একটি ডেক থেকে প্রতিস্থাপন সহ দুটি কার্ড টানা হলো। উভয় কার্ড ইজ হওয়ার সম্ভাবনা হল
    A) 1/221
    B) 1/169
    C) 1/2704
    D) 4/52
    AnswerCorrect: B. (4/52)×(4/52) = 16/2704 = 1/169।

19. কঠিন – 10টি আইটেমের গড় 15। যদি একটি আইটেম 25 কে 35 দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা হয়, নতুন গড় হল
    A) 15
    B) 16
    C) 17
    D) 18
    AnswerCorrect: B. মোট যোগফলে বৃদ্ধি = 10; নতুন গড় = 15 + 10/10 = 16।

20. কঠিন – একটি ছক্কা দুবার নিক্ষেপ করা হলো। দ্বিতীয় নিক্ষেপটি প্রথম নিক্ষেপের চেয়ে কঠোরভাবে বড় হওয়ার সম্ভাবনা হল
    A) 5/12
    B) 1/2
    C) 7/12
    D) 15/36
    AnswerCorrect: A. 15টি অনুকূল ক্রমবিন্যাসিত জোড়া গণনা করুন → 15/36 = 5/12।

21. কঠিন – একটি স্বাভাবিক বন্টনে, μ±1.5σ এর মধ্যে আনুমানিক কত শতাংশ মান থাকে?
    A) 68 %
    B) 86.6 %
    C) 95 %
    D) 99.7 %
    AnswerCorrect: B. অভিজ্ঞতামূলক নিয়ম দেয় ≈86.6 %।

22. কঠিন – একটি ব্যাগে 5টি ত্রুটিপূর্ণ এবং 15টি অ-ত্রুটিপূর্ণ বাল্ব আছে। প্রতিস্থাপন ছাড়াই দুটি বাল্ব দৈবভাবে তোলা হলো। ঠিক একটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা হল
    A) 15/76
    B) 35/76
    C) 50/76
    D) 15/38
    AnswerCorrect: B. (5C1×15C1)/(20C2) = 75/190 = 35/76।

23. কঠিন – যদি A এর একটি সমস্যা সমাধানের সম্ভাবনা 3/5 হয় এবং B এর জন্য 2/3 হয়, এবং তারা স্বাধীনভাবে চেষ্টা করে, তাহলে সমস্যাটি তাদের মধ্যে অন্তত একজন দ্বারা সমাধান হওয়ার সম্ভাবনা হল
    A) 2/5
    B) 13/15
    C) 3/5
    D) 11/15
    AnswerCorrect: B. 1–(1–3/5)(1–2/3)=1–(2/5)(1/3)=1–2/15=13/15।

24. কঠিন – প্রথম nটি স্বাভাবিক সংখ্যার গড় 15। তাহলে n এর মান
    A) 15
    B) 29
    C) 30
    D) 31
    AnswerCorrect: B. n(n+1)/2n = (n+1)/2 = 15 → n=29।

25. কঠিন – একটি রেলওয়ে সময়সূচি দেখায় 90% ট্রেন সময়মতো পৌঁছায়। যদি 5টি ট্রেন দৈবভাবে নির্বাচন করা হয়, তাহলে কমপক্ষে একটি ট্রেনের দেরি হওয়ার সম্ভাবনা হল
    A) (0.9)^5
    B) 1–(0.1)^5
    C) 1–(0.9)^5
    D) (0.1)^5
    AnswerCorrect: C. সবগুলো সময়মতো হওয়ার পূরক = 1–(0.9)^5।

শর্টকাট ও টিপস

1. পূরক কৌশল: “কমপক্ষে একটি” প্রশ্ন → 1 – P(কোনোটিই না) নির্ণয় করুন।
2. ছক্কার যোগফল: জোড়াগুলো প্রতিসমভাবে গণনা করুন; 7 এর সর্বাধিক সংমিশ্রণ (6) আছে।
3. কার্ড শর্টকাট: প্রতিটি স্যুটে 13টি কার্ড; রাজা, রানী ইত্যাদি প্রতিটির 4টি করে।
4. গড় স্থানান্তর: যদি প্রতিটি পর্যবেক্ষণ k দ্বারা বৃদ্ধি পায়, গড় k দ্বারা বৃদ্ধি পায়; প্রকরণ অপরিবর্তিত থাকে।
5. অভিজ্ঞতামূলক নিয়ম: স্বাভাবিক বক্ররেখার জন্য 68-95-99.7—বন্য অপশন বাদ দিতে ব্যবহার করুন।
6. “প্রতিস্থাপন ছাড়া” → দ্বিতীয় টানের জন্য হর 1 দ্বারা কমে যায়।
7. শ্রেণীবদ্ধ তথ্যে প্রচুরক: সূত্র প্রচুরক = L + [(f1–f0)/(2f1–f0–f2)]×h শুধুমাত্র ব্যবহার করুন যদি সীমানা মান কাছাকাছি হয়; অন্যথায় সর্বোচ্চ কম্পাঙ্ক শ্রেণী পরিদর্শন করুন।
8. সময়-সাশ্রয়ী: সংখ্যাগুলো ছোট রাখতে গুণ করার আগে ভগ্নাংশগুলো হ্রাস করুন।
9. ডাবল-চেক: সর্বদা যাচাই করুন ঘটনাগুলো পরস্পর ব্যতিরেকী নাকি স্বাধীন—যোগ ও গুণের নিয়ম মিশ্রিত করবেন না।
10. রাফ কলাম: SD গণনা করার সময়, (x–গড়)² একটি পাশের কলামে লিখুন; গাণিতিক ত্রুটি অর্ধেক করে।