ദ്രുത സിദ്ധാന്ത പുനരവലോകനം

ഒരു സംഭവത്തിന് സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യതയെയാണ് പ്രോബബിലിറ്റി അളക്കുന്നത്. തുല്യ സാധ്യതയുള്ള ഫലങ്ങൾക്ക്,
P(E) = (അനുകൂല ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം) / (മൊത്തം സാധ്യമായ ഫലങ്ങൾ).
ഈ മൂല്യം എപ്പോഴും 0 (സാധ്യമല്ലാത്തത്) ഉം 1 (തീർച്ചയായും സംഭവിക്കുന്നത്) ഉം തമ്മിലാണ്. കോംപ്ലിമെന്റ് നിയമം
P(not E) = 1 – P(E) നേരിട്ട് എണ്ണുന്നത് കുഴപ്പമുള്ളപ്പോൾ സഹായിക്കും.

രണ്ട് സംഭവങ്ങൾ പരസ്പരം ഒഴിവാക്കുന്നവ ആണെങ്കിൽ രണ്ടും ഒരുമിച്ച് സംഭവിക്കാൻ കഴിയില്ല (P(A∩B)=0). സ്വതന്ത്രം ആണെങ്കിൽ ഒന്ന് മറ്റൊന്നിനെ ബാധിക്കില്ല (P(A∩B)=P(A)·P(B)).
സംയുക്ത സംഭവങ്ങൾക്ക്:

• സങ്കലനം: P(A∪B) = P(A)+P(B)–P(A∩B)
• കണ്ടീഷണൽ: P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

മീൻ, മീഡിയൻ, മോഡ് എന്നിവ കേന്ദ്ര പ്രവണത വിവരിക്കുന്നു, അതേസമയം വേരിയൻസ്/സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ വ്യാപനത്തിന്റെ അളവാണ്.
ഗ്രൂപ്പുചെയ്ത ഡാറ്റയ്ക്ക്, മീൻ = Σ(fx)/Σf, വേരിയൻസ് = [Σf(x–mean)²]/Σf.
ഓർക്കുക: ഒരു നോർമൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനിൽ, ≈68 % മൂല്യങ്ങൾ ±1σ ഉള്ളിലും ≈95 % ±2σ ഉള്ളിലുമാണ്—പരിധി അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ചോദ്യങ്ങളിൽ വേഗത്തിൽ ഒഴിവാക്കാൻ ഇത് സഹായകമാണ്.

പരിശീലന MCQs

1. എളുപ്പം – ഒരു ന്യായമായ ഡൈ ഒരിക്കൽ ഉരുട്ടുന്നു. ഒരു പ്രൈം നമ്പർ ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത
   A) 1/6
   B) 1/3
   C) 1/2
   D) 2/3
   AnswerCorrect: C. ഡൈയിലെ പ്രൈംസ് = {2,3,5}; 3/6 = 1/2.

2. എളുപ്പം – താഴെ തന്നിരിക്കുന്നവയിൽ ഏതാണ് ഒരു പ്രോബബിലിറ്റി മൂല്യമാകാൻ കഴിയാത്തത്?
   A) 0
   B) 0.5
   C) 1
   D) 1.2
   AnswerCorrect: D. പ്രോബബിലിറ്റി [0,1] എന്ന ഇടവേളയിലായിരിക്കണം.

3. എളുപ്പം – 7,4,9,7,5,8,6 എന്നിവയുടെ മീഡിയൻ
   A) 5
   B) 6
   C) 7
   D) 8
   AnswerCorrect: C. ക്രമീകരിച്ച ഡാറ്റ 4,5,6,7,7,8,9 → മധ്യ മൂല്യം 7.

4. എളുപ്പം – രണ്ട് നാണയങ്ങൾ ഒരേസമയം ടോസ് ചെയ്യുന്നു. കൃത്യമായി ഒരു ഹെഡ് ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത
   A) 1/4
   B) 1/2
   C) 3/4
   D) 1
   AnswerCorrect: B. അനുകൂല ഫലങ്ങൾ = {HT,TH}; 2/4 = 1/2.

5. എളുപ്പം – P(A)=0.3 ആണെങ്കിൽ, P(not A) എത്രയാണ്
   A) 0.3
   B) 0.7
   C) 1
   D) 0
   AnswerCorrect: B. കോംപ്ലിമെന്റ് നിയമം 1–0.3 = 0.7.

6. എളുപ്പം – 2,3,3,5,5,5,7 എന്നിവയുടെ മോഡ്
   A) 2
   B) 3
   C) 5
   D) 7
   AnswerCorrect: C. 5 ഏറ്റവും കൂടുതൽ തവണ കാണപ്പെടുന്നു.

7. ഇടത്തരം – 52 കാർഡുകളുള്ള ഡെക്കിൽ നിന്ന് ഒരു കാർഡ് എടുക്കുന്നു. അത് ഒരു കിംഗ് അല്ലെങ്കിൽ ഹാർട്ട് ആകാനുള്ള സാധ്യത
   A) 16/52
   B) 17/52
   C) 1/13
   D) 4/13
   AnswerCorrect: A. P(King)+P(Heart)–P(King of Hearts)=4/52+13/52–1/52=16/52.

8. ഇടത്തരം – രണ്ട് ഡൈസ് ഉരുട്ടുന്നു. ആകെത്തുക 9 ആകാനുള്ള സാധ്യത
   A) 1/9
   B) 1/12
   C) 1/6
   D) 4/36
   AnswerCorrect: D. അനുകൂല ജോഡികൾ (3,6),(4,5),(5,4),(6,3) → 4/36.

9. ഇടത്തരം – ആദ്യത്തെ 5 സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ മീൻ
   A) 3
   B) 3.5
   C) 4
   D) 5
   AnswerCorrect: A. (1+2+3+4+5)/5 = 15/5 = 3.

10. ഇടത്തരം – A, B എന്നീ സംഭവങ്ങൾ സ്വതന്ത്രമാണെങ്കിൽ, P(A)=0.4, P(B)=0.5 ആണെങ്കിൽ, P(A∩B)=
    A) 0.2
    B) 0.4
    C) 0.5
    D) 0.9
    AnswerCorrect: A. 0.4×0.5 = 0.2.

11. ഇടത്തരം – ഒരു ബാഗിൽ 4 ചുവപ്പ്, 3 നീല, 5 പച്ച പന്തുകൾ ഉണ്ട്. ക്രമരഹിതമായി ഒരു പന്ത് എടുക്കുന്നു. അത് പച്ചയല്ലാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത
    A) 5/12
    B) 7/12
    C) 1/2
    D) 3/4
    AnswerCorrect: B. (4+3)/12 = 7/12.

12. ഇടത്തരം – 2,4,6,8,10 എന്നിവയുടെ വേരിയൻസ്
    A) 6
    B) 8
    C) 10
    D) 12
    AnswerCorrect: B. മീൻ=6; Σ(x–6)²/5 = (16+4+0+4+16)/5 = 40/5 = 8.

13. ഇടത്തരം – 40 പേരുള്ള ഒരു ക്ലാസ്സിൽ, 25 പേർ മാത്സിൽ, 20 പേർ സയൻസിൽ പാസായി, 5 പേർ രണ്ടിലും പരാജയപ്പെട്ടു. രണ്ട് വിഷയങ്ങളിലും പാസായവരുടെ എണ്ണം
    A) 10
    B) 15
    C) 20
    D) 25
    AnswerCorrect: A. n(M∪S)=35; 25+20–x=35 → x=10.

14. കഠിനം – മൂന്ന് നാണയങ്ങൾ ടോസ് ചെയ്യുന്നു. കുറഞ്ഞത് രണ്ട് ടെയിൽസ് ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത
    A) 1/2
    B) 3/8
    C) 1/4
    D) 5/8
    AnswerCorrect: A. അനുകൂല ഫലങ്ങൾ {HTT,THT,TTH,TTT} = 4/8 = 1/2.

15. കഠിനം – ഒരു ബോക്സിൽ 2 വെളുത്ത, 3 കറുത്ത, 4 ചുവപ്പ് പന്തുകൾ ഉണ്ട്. രണ്ട് പന്തുകൾ റീപ്ലേസ്മെന്റ് ഇല്ലാതെ എടുക്കുന്നു. രണ്ടും കറുത്ത പന്ത് ആകാനുള്ള സാധ്യത
    A) 1/15
    B) 3/36
    C) 1/12
    D) 2/9
    AnswerCorrect: C. (3/9)×(2/8) = 6/72 = 1/12.

16. കഠിനം – 5,5,5,5,5 എന്ന ഡാറ്റയുടെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ
    A) 0
    B) 1
    C) 5
    D) 25
    AnswerCorrect: A. വ്യാപനമില്ല; SD=0.

17. കഠിനം – “PROBABILITY” എന്ന വാക്കിൽ നിന്ന് ക്രമരഹിതമായി ഒരു അക്ഷരം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. അത് ഒരു വോവൽ ആകാനുള്ള സാധ്യത
    A) 4/11
    B) 3/11
    C) 1/3
    D) 2/11
    AnswerCorrect: A. വോവലുകൾ O,A,I,I → 11 അക്ഷരങ്ങളിൽ 4.

18. കഠിനം – 52 കാർഡുകളുള്ള ഡെക്കിൽ നിന്ന് രണ്ട് കാർഡുകൾ റീപ്ലേസ്മെന്റിനൊപ്പം എടുക്കുന്നു. രണ്ടും ഏസ് ആകാനുള്ള സാധ്യത
    A) 1/221
    B) 1/169
    C) 1/2704
    D) 4/52
    AnswerCorrect: B. (4/52)×(4/52) = 16/2704 = 1/169.

19. കഠിനം – 10 ഇനങ്ങളുടെ മീൻ 15 ആണ്. ഒരു ഇനം 25 ന് പകരം 35 ആണെങ്കിൽ, പുതിയ മീൻ
    A) 15
    B) 16
    C) 17
    D) 18
    AnswerCorrect: B. മൊത്തത്തിലുള്ള വർദ്ധനവ് = 10; പുതിയ മീൻ = 15 + 10/10 = 16.

20. കഠിനം – ഒരു ഡൈ രണ്ടുതവണ ഉരുട്ടുന്നു. രണ്ടാമത്തെ ഉരുട്ടൽ ആദ്യത്തേതിനേക്കാൾ കർശനമായി വലുതാകാനുള്ള സാധ്യത
    A) 5/12
    B) 1/2
    C) 7/12
    D) 15/36
    AnswerCorrect: A. 15 അനുകൂല ക്രമീകരിച്ച ജോഡികൾ എണ്ണുക → 15/36 = 5/12.

21. കഠിനം – ഒരു നോർമൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനിൽ, ഏകദേശം എത്ര ശതമാനം മൂല്യങ്ങൾ μ±1.5σ ഉള്ളിലാണ്?
    A) 68 %
    B) 86.6 %
    C) 95 %
    D) 99.7 %
    AnswerCorrect: B. എമ്പിറിക്കൽ റൂൾ ≈86.6 % നൽകുന്നു.

22. കഠിനം – ഒരു ബാഗിൽ 5 ഡിഫക്റ്റീവും 15 നോൺ-ഡിഫക്റ്റീവും ബൾബുകൾ ഉണ്ട്. രണ്ട് ബൾബുകൾ ക്രമരഹിതമായി റീപ്ലേസ്മെന്റ് ഇല്ലാതെ എടുക്കുന്നു. കൃത്യമായി ഒന്ന് ഡിഫക്റ്റീവ് ആകാനുള്ള സാധ്യത
    A) 15/76
    B) 35/76
    C) 50/76
    D) 15/38
    AnswerCorrect: B. (5C1×15C1)/(20C2) = 75/190 = 35/76.

23. കഠിനം – A ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാനുള്ള സാധ്യത 3/5 ഉം B യ്ക്ക് അത് 2/3 ഉം ആണെങ്കിൽ, അവർ സ്വതന്ത്രമായി ശ്രമിക്കുകയാണെങ്കിൽ, രണ്ടിൽ ഒരാൾക്കെങ്കിലും പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാനുള്ള സാധ്യത
    A) 2/5
    B) 13/15
    C) 3/5
    D) 11/15
    AnswerCorrect: B. 1–(1–3/5)(1–2/3)=1–(2/5)(1/3)=1–2/15=13/15.

24. കഠിനം – ആദ്യത്തെ n സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ മീൻ 15 ആണ്. അപ്പോൾ n എത്രയാണ്
    A) 15
    B) 29
    C) 30
    D) 31
    AnswerCorrect: B. n(n+1)/2n = (n+1)/2 = 15 → n=29.

25. കഠിനം – ഒരു റെയിൽവേ ടൈം-ടേബിൾ 90 % ട്രെയിനുകൾ സമയത്ത് എത്തുന്നതായി കാണിക്കുന്നു. 5 ട്രെയിനുകൾ ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്താൽ, കുറഞ്ഞത് ഒന്നെങ്കിലും ലേറ്റ് ആകാനുള്ള സാധ്യത
    A) (0.9)^5
    B) 1–(0.1)^5
    C) 1–(0.9)^5
    D) (0.1)^5
    AnswerCorrect: C. എല്ലാം സമയത്ത് എത്തുന്നതിന്റെ കോംപ്ലിമെന്റ് = 1–(0.9)^5.

ഷോർട്ട്കട്ടുകളും ടിപ്പുകളും

1. കോംപ്ലിമെന്റ് ട്രിക്ക്: “കുറഞ്ഞത് ഒന്നെങ്കിലും” എന്ന ചോദ്യങ്ങൾ → 1 – P(ഒന്നുമില്ല) കണ്ടെത്തുക.
2. ഡൈസ് തുകകൾ: ജോഡികൾ സമമിതിയായി എണ്ണുക; 7 ന് പരമാവധി കോമ്പിനേഷനുകൾ (6) ഉണ്ട്.
3. കാർഡ് ഷോർട്ട്കട്ടുകൾ: ഓരോ സ്യൂട്ടിലും 13 കാർഡുകൾ; കിംഗ്സ്, ക്വീൻസ് മുതലായവയിൽ 4 എണ്ണം.
4. മീൻ ഷിഫ്റ്റ്: ഓരോ നിരീക്ഷണവും k കൂട്ടിയാൽ, മീൻ k കൂടും; വേരിയൻസ് മാറില്ല.
5. എമ്പിറിക്കൽ റൂൾ: നോർമൽ കർവിന് 68-95-99.7—വന്യമായ ഓപ്ഷനുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുക.
6. “റീപ്ലേസ്മെന്റ് ഇല്ലാതെ” → രണ്ടാമത്തെ ഡ്രോയ്ക്ക് ഡിനോമിനേറ്റർ 1 കുറയും.
7. ഗ്രൂപ്പുചെയ്ത ഡാറ്റയിലെ മോഡ്: ഫോർമുല Mode = L + [(f1–f0)/(2f1–f0–f2)]×h അതിർത്തി മൂല്യങ്ങൾ അടുത്താണെങ്കിൽ മാത്രം ഉപയോഗിക്കുക; അല്ലെങ്കിൽ ഏറ്റവും ഉയർന്ന ഫ്രീക്വൻസി ക്ലാസ് പരിശോധിക്കുക.
8. സമയം ലാഭിക്കൽ: സംഖ്യകൾ ചെറുതായി സൂക്ഷിക്കാൻ ഗുണിക്കുന്നതിന് മുമ്പ് ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചുരുക്കുക.
9. ഇരട്ട പരിശോധന: സംഭവങ്ങൾ പരസ്പരം ഒഴിവാക്കുന്നവയാണോ അതോ സ്വതന്ത്രമാണോ എന്ന് എപ്പോഴും പരിശോധിക്കുക—സങ്കലനവും ഗുണന നിയമങ്ങളും കലർത്തരുത്.
10. റഫ് കോളം: SD കണക്കാക്കുമ്പോൾ, (x–mean)² ഒരു സൈഡ് കോളത്തിൽ എഴുതുക; ഗണിത പിശകുകൾ പകുതിയാക്കുന്നു.