द्रुत सिद्धांत पुनरावलोकन

संभाव्यता हे एखादी घटना घडण्याची शक्यता मोजते. समान शक्यता असलेल्या निष्पत्तींसाठी,
P(E) = (अनुकूल निष्पत्तींची संख्या) / (एकूण शक्य निष्पत्ती).
मूल्य नेहमी 0 (अशक्य) आणि 1 (निश्चित) यांच्या दरम्यान असते. पूरक नियम
P(नाही E) = 1 – P(E) हा थेट मोजणी गोंधळात टाकणारी असल्यास मदत करतो.

दोन घटना परस्पर विशेष असतात जर दोन्ही एकाच वेळी घडू शकत नाहीत (P(A∩B)=0) आणि स्वतंत्र असतात जर एकमेकांवर परिणाम करत नाहीत (P(A∩B)=P(A)·P(B)).
संयुक्त घटनांसाठी:

• बेरीज: P(A∪B) = P(A)+P(B)–P(A∩B)
• सशर्त: P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

मध्य, मध्यक आणि बहुलक हे केंद्रीय प्रवृत्तीचे वर्णन करतात, तर प्रसरण/मानक विचलन हे प्रसार मोजतात.
वर्गीकृत डेटासाठी, मध्य = Σ(fx)/Σf आणि प्रसरण = [Σf(x–मध्य)²]/Σf.
लक्षात ठेवा: सामान्य वितरणामध्ये, ≈68 % मूल्ये ±1σ च्या आत आणि ≈95 % ±2σ च्या आत असतात—श्रेणी-आधारित प्रश्नांमध्ये द्रुत निर्मूलनासाठी उपयुक्त.

सराव बहुपर्यायी प्रश्न (MCQs)

1. सोपे – एक न्याय्य फासा एकदा फेकला जातो. मूळ संख्या मिळण्याची संभाव्यता आहे
   A) 1/6
   B) 1/3
   C) 1/2
   D) 2/3
   AnswerCorrect: C. फाशावरील मूळ संख्या = {2,3,5}; 3/6 = 1/2.

2. सोपे – खालीलपैकी कोणते संभाव्यता मूल्य असू शकत नाही?
   A) 0
   B) 0.5
   C) 1
   D) 1.2
   AnswerCorrect: D. संभाव्यता [0,1] मध्ये असली पाहिजे.

3. सोपे – 7,4,9,7,5,8,6 चे मध्यक आहे
   A) 5
   B) 6
   C) 7
   D) 8
   AnswerCorrect: C. क्रमवारी लावलेला डेटा 4,5,6,7,7,8,9 → मधले मूल्य 7.

4. सोपे – दोन नाणी एकाच वेळी फेकली जातात. नक्की एक छाप मिळण्याची संभाव्यता आहे
   A) 1/4
   B) 1/2
   C) 3/4
   D) 1
   AnswerCorrect: B. अनुकूल = {HT,TH}; 2/4 = 1/2.

5. सोपे – जर P(A)=0.3, तर P(नाही A) बरोबर आहे
   A) 0.3
   B) 0.7
   C) 1
   D) 0
   AnswerCorrect: B. पूरक नियम 1–0.3 = 0.7.

6. सोपे – 2,3,3,5,5,5,7 चा बहुलक आहे
   A) 2
   B) 3
   C) 5
   D) 7
   AnswerCorrect: C. 5 सर्वात जास्त वेळा दिसतो.

7. मध्यम – 52-पत्त्यांच्या डेकमधून एक पत्ता काढला जातो. तो राजा किंवा इस्पिकचा पत्ता असण्याची संभाव्यता आहे
   A) 16/52
   B) 17/52
   C) 1/13
   D) 4/13
   AnswerCorrect: A. P(राजा)+P(इस्पिक)–P(इस्पिकचा राजा)=4/52+13/52–1/52=16/52.

8. मध्यम – दोन फासे फेकले जातात. बेरीज 9 असण्याची संभाव्यता आहे
   A) 1/9
   B) 1/12
   C) 1/6
   D) 4/36
   AnswerCorrect: D. अनुकूल जोड्या (3,6),(4,5),(5,4),(6,3) → 4/36.

9. मध्यम – पहिल्या 5 नैसर्गिक संख्यांचा मध्य आहे
   A) 3
   B) 3.5
   C) 4
   D) 5
   AnswerCorrect: A. (1+2+3+4+5)/5 = 15/5 = 3.

10. मध्यम – जर घटना A आणि B स्वतंत्र असतील आणि P(A)=0.4, P(B)=0.5, तर P(A∩B)=
    A) 0.2
    B) 0.4
    C) 0.5
    D) 0.9
    AnswerCorrect: A. 0.4×0.5 = 0.2.

11. मध्यम – एका पिशवीत 4 लाल, 3 निळे, 5 हिरवे चेंडू आहेत. एक चेंडू यादृच्छिकपणे काढला जातो. तो हिरवा नसण्याची संभाव्यता आहे
    A) 5/12
    B) 7/12
    C) 1/2
    D) 3/4
    AnswerCorrect: B. (4+3)/12 = 7/12.

12. मध्यम – 2,4,6,8,10 चे प्रसरण आहे
    A) 6
    B) 8
    C) 10
    D) 12
    AnswerCorrect: B. मध्य=6; Σ(x–6)²/5 = (16+4+0+4+16)/5 = 40/5 = 8.

13. मध्यम – 40 विद्यार्थ्यांच्या वर्गात, 25 गणितात उत्तीर्ण, 20 विज्ञानात उत्तीर्ण, 5 दोन्हीत अनुत्तीर्ण. दोन्ही विषयात उत्तीर्ण झालेल्यांची संख्या आहे
    A) 10
    B) 15
    C) 20
    D) 25
    AnswerCorrect: A. n(M∪S)=35; 25+20–x=35 → x=10.

14. कठीण – तीन नाणी फेकली जातात. किमान दोन काटे मिळण्याची संभाव्यता आहे
    A) 1/2
    B) 3/8
    C) 1/4
    D) 5/8
    AnswerCorrect: A. अनुकूल {HTT,THT,TTH,TTT} = 4/8 = 1/2.

15. कठीण – एका खोक्यात 2 पांढरे, 3 काळे, 4 लाल चेंडू आहेत. दोन चेंडू बदल न करता काढले जातात. दोन्ही काळे असण्याची संभाव्यता आहे
    A) 1/15
    B) 3/36
    C) 1/12
    D) 2/9
    AnswerCorrect: C. (3/9)×(2/8) = 6/72 = 1/12.

16. कठीण – डेटा 5,5,5,5,5 चे मानक विचलन आहे
    A) 0
    B) 1
    C) 5
    D) 25
    AnswerCorrect: A. प्रसार नाही; SD=0.

17. कठीण – “PROBABILITY” या शब्दातून एक अक्षर यादृच्छिकपणे निवडले जाते. ते स्वर असण्याची संभाव्यता आहे
    A) 4/11
    B) 3/11
    C) 1/3
    D) 2/11
    AnswerCorrect: A. स्वर O,A,I,I → 11 पैकी 4 अक्षरे.

18. कठीण – 52-पत्त्यांच्या डेकमधून दोन पत्ते बदलून काढले जातात. दोन्ही इक्के असण्याची संभाव्यता आहे
    A) 1/221
    B) 1/169
    C) 1/2704
    D) 4/52
    AnswerCorrect: B. (4/52)×(4/52) = 16/2704 = 1/169.

19. कठीण – 10 वस्तूंचा मध्य 15 आहे. जर एक वस्तू 25 ची जागा 35 ने घेतली, तर नवीन मध्य आहे
    A) 15
    B) 16
    C) 17
    D) 18
    AnswerCorrect: B. एकूणमधील वाढ = 10; नवीन मध्य = 15 + 10/10 = 16.

20. कठीण – एक फासा दोनदा फेकला जातो. दुसरी फेक पहिल्यापेक्षा काटेकोरपणे मोठी असण्याची संभाव्यता आहे
    A) 5/12
    B) 1/2
    C) 7/12
    D) 15/36
    AnswerCorrect: A. 15 अनुकूल क्रमवार जोड्या मोजा → 15/36 = 5/12.

21. कठीण – सामान्य वितरणामध्ये, अंदाजे किती टक्के मूल्ये μ±1.5σ च्या आत असतात?
    A) 68 %
    B) 86.6 %
    C) 95 %
    D) 99.7 %
    AnswerCorrect: B. अनुभवजन्य नियम अंदाजे 86.6 % देतो.

22. कठीण – एका पिशवीत 5 दोषयुक्त आणि 15 दोषरहित बल्ब आहेत. दोन बल्ब यादृच्छिकपणे बदल न करता काढले जातात. नक्की एक दोषयुक्त असण्याची संभाव्यता आहे
    A) 15/76
    B) 35/76
    C) 50/76
    D) 15/38
    AnswerCorrect: B. (5C1×15C1)/(20C2) = 75/190 = 35/76.

23. कठीण – जर A ने एक समस्या सोडवण्याची संभाव्यता 3/5 असेल आणि B साठी ती 2/3 असेल, आणि ते स्वतंत्रपणे प्रयत्न करतात, तर समस्या त्यापैकी किमान एकाने सोडवली जाण्याची संभाव्यता आहे
    A) 2/5
    B) 13/15
    C) 3/5
    D) 11/15
    AnswerCorrect: B. 1–(1–3/5)(1–2/3)=1–(2/5)(1/3)=1–2/15=13/15.

24. कठीण – पहिल्या n नैसर्गिक संख्यांचा मध्य 15 आहे. तर n बरोबर आहे
    A) 15
    B) 29
    C) 30
    D) 31
    AnswerCorrect: B. n(n+1)/2n = (n+1)/2 = 15 → n=29.

25. कठीण – एक रेल्वे वेळापत्रक दर्शवते की 90 % गाड्या वेळेवर येतात. जर 5 गाड्या यादृच्छिकपणे निवडल्या, तर किमान एक उशीरा असण्याची संभाव्यता आहे
    A) (0.9)^5
    B) 1–(0.1)^5
    C) 1–(0.9)^5
    D) (0.1)^5
    AnswerCorrect: C. सर्व वेळेवर असण्याची पूरकता = 1–(0.9)^5.

शॉर्टकट आणि टिपा

1. पूरक युक्ती: “किमान एक” प्रश्न → 1 – P(काहीही नाही) काढा.
2. फासा बेरीज: जोड्या सममितीने मोजा; 7 ला कमाल संयोजने (6) असतात.
3. पत्ता शॉर्टकट: प्रत्येक सूटमध्ये 13 पत्ते; राजे, राण्या इत्यादी प्रत्येकी 4.
4. मध्य स्थलांतर: जर प्रत्येक निरीक्षण k ने वाढले, तर मध्य k ने वाढतो; प्रसरण अपरिवर्तित राहते.
5. अनुभवजन्य नियम: सामान्य वक्रासाठी 68-95-99.7—वेड्यावाकड्या पर्यायांना काढून टाकण्यासाठी वापरा.
6. “बदल न करता” → दुसऱ्या काढणीसाठी छेद एकाने कमी होतो.
7. वर्गीकृत डेटामध्ये बहुलक: सूत्र बहुलक = L + [(f1–f0)/(2f1–f0–f2)]×h फक्त जर सीमा मूल्ये जवळ असतील तर वापरा; नाहीतर सर्वोच्च वारंवारता वर्ग तपासा.
8. वेळ वाचवणारे: संख्या लहान ठेवण्यासाठी गुणाकार करण्यापूर्वी अपूर्णांक कमी करा.
9. दुहेरी तपासणी: घटना परस्पर विशेष आहेत की स्वतंत्र आहेत हे नेहमी सत्यापित करा—बेरीज आणि गुणाकार नियम मिसळू नका.
10. उगवीक स्तंभ: SD ची गणना करताना, (x–मध्य)² एका बाजूच्या स्तंभात लिहा; अंकगणितीय चुका अर्ध्यावर येतात.