دو درجی مساوات
کلیدی تصورات
| # | تصور | وضاحت |
|---|---|---|
| 1 | معیاری فارم | ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) |
| 2 | جڑوں کا فارمولا | x = [-b ± √(b²–4ac)] / 2a |
| 3 | ممیز (D) | D = b² – 4ac; جڑوں کی نوعیت کا تعین کرتا ہے |
| 4 | جڑوں کا مجموعہ (α+β) | –b / a |
| 5 | جڑوں کا حاصل ضرب (αβ) | c / a |
| 6 | حقیقی اور برابر جڑیں | D = 0 |
| 7 | ناطق جڑیں | D مکمل مربع ہو اور a,b,c ناطق ہوں |
| 8 | لفظی مسئلہ حل کرنے کا طریقہ | مساوات بنائیں → سادہ کریں → حل کریں → ممکنہ حل چیک کریں |
15 مشق کے MCQs
-
x² – 7x + 12 = 0 کی جڑیں ہیں A) 3, 4 B) –3, –4 C) 2, 6 D) 1, 12
جواب: A) 3, 4
حل: x² – 7x + 12 = (x – 3)(x – 4) = 0 ⇒ x = 3 یا 4
شارٹ کٹ: 12 کے ایسے عوامل جن کا مجموعہ 7 ہو → 3 اور 4
ٹیگ: تجزیہ -
اگر 2x² – 5x + k = 0 کی جڑیں برابر ہوں، تو k = ? A) 25/4 B) 25/8 C) 5/2 D) 5
جواب: B) 25/8
حل: D = 0 ⇒ 25 – 8k = 0 ⇒ k = 25/8
ٹیگ: ممیز -
3x² – 12x + 9 = 0 کی جڑوں کا مجموعہ ہے A) 4 B) –4 C) 3 D) –3
جواب: A) 4
حل: –b/a = 12/3 = 4
ٹیگ: جڑوں کا مجموعہ -
5x² + 8x – 3 = 0 کی جڑوں کا حاصل ضرب ہے A) –3/5 B) 8/5 C) 3/5 D) –8/5
جواب: A) –3/5
حل: c/a = –3/5
ٹیگ: جڑوں کا حاصل ضرب -
کس دو درجی مساوات کی جڑیں غیر ناطق ہیں؟ A) x² – 5x + 6 B) x² – 3x + 1 C) x² – 4x + 4 D) x² – 9
جواب: B) x² – 3x + 1
حل: D = 9 – 4 = 5 (مکمل مربع نہیں)
ٹیگ: جڑوں کی نوعیت -
اگر α, β مساوات x² – 6x + 2 = 0 کی جڑیں ہوں، تو α² + β² معلوم کریں A) 32 B) 36 C) 28 D) 30
جواب: A) 32
حل: α²+β² = (α+β)² – 2αβ = 36 – 4 = 32
شارٹ کٹ: شناخت یاد رکھیں
ٹیگ: جڑوں کی متقارن اقدار -
مساوات x² – (k+4)x + 4k = 0 کی ایک جڑ 4 ہے؛ دوسری جڑ ہے A) k B) 4 C) 1 D) 2
جواب: A) k
حل: حاصل ضرب 4k; ایک عامل 4 ⇒ دوسرا = k
ٹیگ: حاصل ضرب کا تعلق -
k کی کس قدر کے لیے (k+1)x² – 4kx + 4 = 0 کی حقیقی جڑیں ہوں گی؟ A) k ≥ 1 B) k ≤ 1 C) k ≥ –1 D) تمام k
جواب: A) k ≥ 1
حل: D ≥ 0 ⇒ 16k² – 16(k+1) ≥ 0 ⇒ k² – k – 1 ≥ 0 ⇒ k ≥ 1
ٹیگ: D کے ساتھ عدم مساوات -
وہ مساوات جس کی جڑیں 2+√3 اور 2–√3 ہیں، ہے A) x² – 4x + 1 = 0 B) x² + 4x + 1 = 0 C) x² – 4x – 1 = 0 D) x² – 1 = 0
جواب: A) x² – 4x + 1 = 0
شارٹ کٹ: مجموعہ 4، حاصل ضرب 1 ⇒ x² – 4x + 1 = 0
ٹیگ: جڑوں سے مساوات بنانا -
ایک ٹرین 180 کلومیٹر کا سفر کرتی ہے۔ اگر اس کی رفتار 5 کلومیٹر/گھنٹہ زیادہ ہوتی، تو سفر کا وقت 1 گھنٹہ کم لگتا۔ اصل رفتار کیا تھی؟ A) 30 کلومیٹر/گھنٹہ B) 36 کلومیٹر/گھنٹہ C) 40 کلومیٹر/گھنٹہ D) 45 کلومیٹر/گھنٹہ
جواب: C) 40 کلومیٹر/گھنٹہ
حل: 180/s – 180/(s+5) = 1 ⇒ s² + 5s – 900 = 0 ⇒ s = 40
ٹیگ: رفتار-وقت مساوات -
اگر x = 1 مساوات ax² – 3x + 2 = 0 کی جڑ ہے، تو a = A) 1 B) 2 C) –1 D) 0
جواب: A) 1
حل: x = 1 رکھیں ⇒ a – 3 + 2 = 0 ⇒ a = 1
ٹیگ: متبادل -
وہ دو درجی مساوات جس کے ناطق سرے ہوں اور جس کی ایک جڑ 3+√2 ہو، ہے A) x² – 6x + 7 = 0 B) x² – 6x – 7 = 0 C) x² + 6x + 7 = 0 D) x² – 9 = 0
جواب: A) x² – 6x + 7 = 0
حل: دوسری جڑ 3–√2; مجموعہ 6، حاصل ضرب 9–2=7
ٹیگ: جوڑی دار جڑ -
اگر α, β مساوات 2x² – 3x – 5 = 0 کی جڑیں ہوں، تو 1/α + 1/β معلوم کریں A) –3/5 B) 3/5 C) 5/3 D) –5/3
جواب: A) –3/5
حل: (α+β)/αβ = (3/2)/(–5/2) = –3/5
ٹیگ: متقابل کا مجموعہ -
x² – 4x + 9 کی قدر x = 2 + i√5 پر ہے A) 0 B) 5 C) 10 D) –5
جواب: A) 0
حل: x = 2 + i√5 مساوات x² – 4x + 9 = 0 کو تسلیم کرتا ہے
ٹیگ: مختلط جڑ کی تصدیق -
مساوات x⁴ – 5x² + 4 = 0 کے لیے کتنی حقیقی جڑیں ہیں؟ A) 4 B) 2 C) 1 D) 0
جواب: A) 4
حل: y = x² رکھیں ⇒ y² – 5y + 4 = 0 ⇒ y = 1, 4 ⇒ x = ±1, ±2
ٹیگ: دو درجی مساوات
تیز ترین ترکیبیں
| صورت حال | شارٹ کٹ | مثال |
|---|---|---|
| 1. مجموعہ اور حاصل ضرب معلوم ہوں | براہ راست x² – (مجموعہ)x + حاصل ضرب = 0 لکھیں | جڑیں 7, –3 ⇒ x² – 4x – 21 = 0 |
| 2. D کا اختتام 2,3,7,8 پر ہو | مکمل مربع نہیں ⇒ جڑیں غیر ناطق | D = 47 → غیر ناطق |
| 3. سرے a+b+c = 0 ہوں | ایک جڑ 1 ہوتی ہے، دوسری c/a | 3x² – 5x + 2 = 0 → جڑیں 1, 2/3 |
| 4. bx غائب ہو (b = 0) | x = ±√(–c/a) | 4x² – 9 = 0 → x = ±3/2 |
| 5. x کی جگہ 1/x رکھیں | نئی مساوات: سرے الٹ ترتیب میں | x² – 5x + 6 = 0 → 6x² – 5x + 1 = 0 |
فوری جائزہ
| نقطہ | تفصیل |
|---|---|
| 1 | فارمولا استعمال کرنے سے پہلے ہمیشہ مساوات کو معیاری فارم میں لکھیں۔ |
| 2 | D > 0 → دو مختلف حقیقی جڑیں؛ D = 0 → برابر جڑیں؛ D < 0 → مختلط جڑیں۔ |
| 3 | اگر سوال “ممکنہ قدر” پوچھے، تو فارمولا کے بجائے تجزیہ کو ترجیح دیں تاکہ 30 سیکنڈ بچ سکیں۔ |
| 4 | لفظی مسائل کے لیے، منفی/خیالی حل چیک کریں—اگر رفتار، لمبائی، وقت منفی ہو تو مسترد کریں۔ |
| 5 | شناختیں یاد رکھیں: α²+β² = (α+β)² – 2αβ; α³+β³ = (α+β)³ – 3αβ(α+β)۔ |
| 6 | جوڑی دار گنگ جڑ کا قضیہ: غیر ناطق جڑیں ناطق سرے والی مساوات میں جوڑوں میں آتی ہیں۔ |
| 7 | ax²+bx+c کا گراف اوپر کی طرف کھلتا ہے اگر a > 0، نیچے کی طرف اگر a < 0۔ |
| 8 | راس کا x-مختص = –b/2a; کم سے کم/زیادہ سے زیادہ قدر فوری معلوم کرنے کے لیے استعمال کریں۔ |
| 9 | آپشنز کو ختم کرنے میں، آسان صحیح اعداد (0,1,–1) کو متبادل کے طور پر رکھ کر 2–3 غلط آپشنز فوری طور پر خارج کریں۔ |
| 10 | ریلوے امتحانات میں مختلط جڑیں شاذونادر ہی پوچھی جاتی ہیں؛ حقیقی، ناطق، برابر جڑوں والے معاملات پر توجہ دیں۔ |
BETA
