द्विघात समीकरण
द्विघात समीकरण – त्वरित सिद्धांत
द्विघात समीकरण कोई भी समीकरण होता है जिसे मानक रूप ax² + bx + c = 0 में लिखा जा सके जहाँ a ≠ 0 और a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं। चर की उच्चतम घात 2 होती है, इसलिए इसे “द्विघात” कहा जाता है। ऐसे समीकरण को हल करने का अर्थ है x के उन मानों (जिन्हें मूल कहा जाता है) को खोजना जो समीकरण को संतुष्ट करें। रेलवे इस विषय को पसंद करते हैं क्योंकि वही 10-सेकंड का ट्रिक NTPC, Group-D, JE और यहाँ तक कि RPF के पेपरों में भी आ सकता है।
विचकत्रक D = b² – 4ac मूलों की प्रकृति तय करता है:
- D > 0 → दो वास्तविक और भिन्न मूल
- D = 0 → दो वास्तविक और समान मूल
- D < 0 → दो सम्मिश्र (अवास्तविक) मूल
द्विघात सूत्र मूलों को सीधे देता है:
x = [–b ± √D] / (2a)
सूत्र के अलावा, रेलवे अक्सर गुणनफलन (मध्य पद को विभाजित करना) और मूलों तथा गुणांकों के बीच संबंध भी टेस्ट करते हैं:
- मूलों का योग = –b/a
- मूलों का गुणनफल = c/a
इन दोनों को याद रखें—ये आपको समीकरण को वास्तव में हल किए बिना “मूलों का योग ज्ञात कीजिए” या “गुणनफल ज्ञात कीजिए” जैसे प्रश्नों के उत्तर 2 सेकंड में देने देते हैं।
अभ्यास MCQs
- द्विघात समीकरण का मानक रूप है
A) ax + b = 0
B) ax² + bx + c = 0
C) ax³ + bx² + cx + d = 0
D) ax⁴ + bx² + c = 0
उत्तर
सही: विकल्प B। द्विघात समीकरण में उच्चतम घात 2 होनी चाहिए।- यदि 2x² – 8x + 6 = 0, तो विचकत्रक का मान है
A) 16
B) 14
C) 12
D) 10
उत्तर
सही: विकल्प A. D = b² – 4ac = (–8)² – 4(2)(6) = 64 – 48 = 16.- x² – 5x + 6 = 0 के मूल हैं
A) 2, 3
B) –2, –3
C) 1, 6
D) –1, –6
उत्तर
सही: विकल्प A. गुणनखंड: (x – 2)(x – 3) = 0 ⇒ x = 2, 3.- 3x² – 12x + 9 = 0 के मूलों का योग है
A) 3
B) 4
C) –4
D) –3
उत्तर
सही: विकल्प B. योग = –b/a = –(–12)/3 = 4.- x² + 7x – 8 = 0 के मूलों का गुणनफल है
A) –8
B) 7
C) 8
D) –7
उत्तर
सही: विकल्प A. गुणनफल = c/a = –8/1 = –8.- k का किस मान के लिए kx² – 4x + 1 = 0 के समान मूल होंगे?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
उत्तर
सही: विकल्प C. D = 0 ⇒ (–4)² – 4(k)(1) = 0 ⇒ 16 – 4k = 0 ⇒ k = 4.- यदि x² – 6x + k = 0 का एक मूल 2 है, तो दूसरा मूल है
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
उत्तर
सही: विकल्प B. योग = 6 ⇒ 2 + दूसरा = 6 ⇒ दूसरा = 4.- समीकरण x² + 9 = 0 के मूल हैं
A) वास्तविक और समान
B) वास्तविक और भिन्न
C) सम्मिश्र
D) अपरिमेय
उत्तर
सही: विकल्प C. D = –36 < 0 ⇒ सम्मिश्र मूल.- किस द्विघात समीकरण के मूल 5 और –3 हैं?
A) x² – 2x – 15 = 0
B) x² + 2x – 15 = 0
C) x² – 2x + 15 = 0
D) x² + 2x + 15 = 0
उत्तर
सही: विकल्प A. योग = 2, गुणनफल = –15 ⇒ x² – 2x – 15 = 0.- यदि α और β समीकरण 2x² – 5x – 1 = 0 के मूल हैं, तो α² + β² बराबर है
A) 25/4
B) 29/4
C) 27/4
D) 23/4
उत्तर
सही: विकल्प B. α² + β² = (α+β)² – 2αβ = (5/2)² – 2(–1/2) = 25/4 + 1 = 29/4.- वर्ग समीकरण जिसके मूल समीकरण 3x² – 5x + 2 = 0 के मूलों के व्युत्क्रम हैं, वह है
A) 2x² – 5x + 3 = 0
B) 2x² + 5x + 3 = 0
C) 3x² – 2x + 5 = 0
D) 2x² – 5x – 3 = 0
उत्तर
सही: विकल्प A. मूल समीकरण में x को 1/x से प्रतिस्थापित करें और क्रॉस-गुणा करें ⇒ 2x² – 5x + 3 = 0.- यदि x² + px + 12 = 0 का एक मूल 3 है, तो p बराबर है
A) –7
B) 7
C) –8
D) 8
उत्तर
सही: विकल्प A. गुणनफल = 12 ⇒ दूसरा मूल = 4; योग = 3+4 = 7 = –p ⇒ p = –7.- x² – 4x + 7 का न्यूनतम मान है
A) 3
B) 4
C) 5
D) 7
उत्तर
सही: विकल्प A. न्यूनतम मान = –D/4a = –(16–28)/4 = 12/4 = 3.- यदि समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल 2:3 के अनुपात में हैं, तो
A) 6b² = 25ac
B) 25b² = 6ac
C) 3b² = 2ac
D) 2b² = 3ac
उत्तर
सही: विकल्प A. माना मूल 2k, 3k हैं; योग = 5k = –b/a, गुणनफल = 6k² = c/a; k को हटाएं ⇒ 6b² = 25ac.- x² – (k+1)x + k = 0 के लिए मूल
A) सदैव वास्तविक और विभिन्न
B) सदैव वास्तविक
C) सदैव समान
D) कभी-कभी काल्पनिक
उत्तर
सही: विकल्प B. D = (k+1)² – 4k = k² – 2k + 1 = (k–1)² ≥ 0 सदैव वास्तविक.- यदि x = 1, x² – (m+1)x + 2 = 0 का एक मूल है, तो m बराबर है
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
उत्तर
सही: विकल्प C. x = 1 रखने पर ⇒ 1 – (m+1) + 2 = 0 ⇒ m = 2.- समीकरण x² – 4|x| + 3 = 0 में कितने वास्तविक मूल हैं?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
उत्तर
सही: विकल्प D. माना |x| = y ⇒ y² – 4y + 3 = 0 ⇒ y = 1,3 ⇒ x = ±1, ±3 (4 मूल).- यदि α, β, x² – 3x + 1 = 0 के मूल हैं, तो (1/α + 1/β) का मान है
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
उत्तर
सही: विकल्प C. 1/α + 1/β = (α+β)/αβ = 3/1 = 3.- द्विघात समीकरण x² – 2x + k = 0 के दोनों मूल धनात्मक होंगे यदि
A) k > 0
B) 0 < k ≤ 1
C) k < 0
D) k ≥ 1
उत्तर
सही: विकल्प B. आवश्यक है D ≥ 0 ⇒ 4 – 4k ≥ 0 ⇒ k ≤ 1 और गुणनफल = k > 0.- यदि x² – px + 8 = 0 के मूलों का अंतर 2 है, तो p बराबर है
A) ±4
B) ±6
C) ±8
D) ±10
उत्तर
सही: विकल्प B. |α–β| = √D / |a| = √(p² – 32) = 2 ⇒ p² = 36 ⇒ p = ±6.- समीकरण (x² – 3x + 2)² = 0 के कितने भिन्न वास्तविक मूल हैं?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 4
उत्तर
सही: विकल्प C. x² – 3x + 2 = 0 ⇒ (x–1)(x–2)=0 ⇒ भिन्न मूल 1, 2 (प्रत्येक की गुणजता 2 है पर भिन्न मान 1 व 2 हैं).- यदि x² + 2x + c = 0 के मूलों का अंतर 4 है, तो c बराबर है
A) –3
B) –5
C) –7
D) –9
उत्तर
सही: विकल्प A. √(4 – 4c) = 4 ⇒ 4 – 4c = 16 ⇒ c = –3.- k का वह मान जिसके लिए x² – 4x + k = 0 का एक मूल दूसरे का तिगुना है, है
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
उत्तर
सही: विकल्प C. मान लीजिए मूल r, 3r हैं; योग = 4r = 4 ⇒ r = 1; गुणनफल = 3r² = 3 = k.- यदि ax² + bx + c = 0 के मूल एक-दूसरे के ऋणात्मक हैं, तो
A) b = 0
B) c = 0
C) a = 0
D) b = c
उत्तर
सही: विकल्प A. योग = 0 ⇒ –b/a = 0 ⇒ b = 0.- समीकरण x² – 2x + 2 = 0 के मूलों के वर्गों का योग है
A) 0
B) 1
C) 2
D) 4
उत्तर
सही: विकल्प C. α² + β² = (α+β)² – 2αβ = (2)² – 2(2) = 4 – 4 = 0… रुकिए, 4 – 4 = 0? नहीं, 4 – 4 = 0 सही है पर प्रश्न वर्गों के योग पूछता है जो 0 है? पर 0 विकल्प C में 2 के रूप में नहीं है. पुनः जाँचें: α+β=2, αβ=2 ⇒ α²+β²=4–4=0. विकल्प A है 0. अतः सही: विकल्प A.रेलवे के लिए त्वरित शॉर्टकट व टिप्स
- 3 सेकंड में विविकर्तक (Discriminant): बस b² – 4ac निकालो; चिह्न स्वभाव बताता है, मान जड़ों के अंतर को √(D)/|a| बताता है।
- योग और गुणनफल कभी फेल नहीं होते:
- योग = –b/a
- गुणनफल = c/a
इनका उपयोग नई समीकरण बनाने, गायब जड़ खोजने या विकल्पों की जाँच बिना हल किए करें।
- गुणनफलन ट्रिक: दो संख्याएँ खोजो जो ac से गुणा करें और b से जुड़ें; मध्य पद को विभाजित कर 5 सेकंड में गुणनखंड निकालो।
- ax² + bx + c (a > 0) का न्यूनतम/अधिकतम –D/(4a) है; याद रखो विविकर्तक का ऋणात्मक 4a से भाग।
- परस्पर व्युत्क्रम जड़ें: मूल समीकरण में x को 1/x से बदलो और सरल करो; नई समीकरण जड़ें 1/α, 1/β देती है।
- परम वर्ग समीकरण (|x|² – 4|x| + 3 = 0): |x| को नया चर मानो, हल करो, फिर जड़ें दोगुनी करो (±)।
- रेलवे का पसंदीदा दोहराव: “एक जड़ दूसरी की k गुनी है” → योग = (k+1)r, गुणनफल = kr²; r को एक कदम में हटा दो।
- हमेशा विकल्पों को उल्टे क्रम से जाँचो—विकल्पों को समीकरण में डालना तेज होता है जब गुणांक बड़े हों।
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