వర్గ సమీకరణాలు
కీలక అంశాలు
| # | అంశం | వివరణ |
|---|---|---|
| 1 | ప్రామాణిక రూపం | ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) |
| 2 | మూలాల సూత్రం | x = [-b ± √(b²–4ac)] / 2a |
| 3 | విచక్షణి (D) | D = b² – 4ac; మూలాల స్వభావాన్ని నిర్ణయిస్తుంది |
| 4 | మూలాల మొత్తం (α+β) | –b / a |
| 5 | మూలాల లబ్ధం (αβ) | c / a |
| 6 | వాస్తవ మరియు సమాన మూలాలు | D = 0 |
| 7 | అకరణీయ మూలాలు | D ఖచ్చిత వర్గం & a,b,c అకరణీయ సంఖ్యలు |
| 8 | పద సమస్య-పద్ధతి | సమీకరణాన్ని రూపొందించు → సూక్ష్మీకరించు → సాధించు → సాధ్యతను తనిఖీ చేయు |
15 ప్రాక్టీస్ బహుళైచ్ఛిక ప్రశ్నలు
-
x² – 7x + 12 = 0 యొక్క మూలాలు A) 3, 4 B) –3, –4 C) 2, 6 D) 1, 12
సమాధానం: A) 3, 4
సాధన: x² – 7x + 12 = (x – 3)(x – 4) = 0 ⇒ x = 3 లేదా 4
శార్ట్కట్: 12 యొక్క కారణాంకాలు, మొత్తం 7 → 3 & 4
ట్యాగ్: కారణాంక విభజన -
2x² – 5x + k = 0 కు సమాన మూలాలు ఉంటే, k = ? A) 25/4 B) 25/8 C) 5/2 D) 5
సమాధానం: B) 25/8
సాధన: D = 0 ⇒ 25 – 8k = 0 ⇒ k = 25/8
ట్యాగ్: విచక్షణి -
3x² – 12x + 9 = 0 యొక్క మూలాల మొత్తం A) 4 B) –4 C) 3 D) –3
సమాధానం: A) 4
సాధన: –b/a = 12/3 = 4
ట్యాగ్: మూలాల మొత్తం -
5x² + 8x – 3 = 0 యొక్క మూలాల లబ్ధం A) –3/5 B) 8/5 C) 3/5 D) –8/5
సమాధానం: A) –3/5
సాధన: c/a = –3/5
ట్యాగ్: మూలాల లబ్ధం -
ఏ వర్గ సమీకరణానికి కరణీయ మూలాలు ఉంటాయి? A) x² – 5x + 6 B) x² – 3x + 1 C) x² – 4x + 4 D) x² – 9
సమాధానం: B) x² – 3x + 1
సాధన: D = 9 – 4 = 5 (ఖచ్చిత వర్గం కాదు)
ట్యాగ్: మూలాల స్వభావం -
α, β లు x² – 6x + 2 = 0 యొక్క మూలాలు అయితే, α² + β² కనుగొనండి A) 32 B) 36 C) 28 D) 30
సమాధానం: A) 32
సాధన: α²+β² = (α+β)² – 2αβ = 36 – 4 = 32
శార్ట్కట్: గుర్తుంచుకోవాల్సిన గుర్తింపు
ట్యాగ్: సౌష్ఠవ మూలాలు -
x² – (k+4)x + 4k = 0 యొక్క ఒక మూలం 4; మరొక మూలం A) k B) 4 C) 1 D) 2
సమాధానం: A) k
సాధన: లబ్ధం 4k; ఒక కారణాంకం 4 ⇒ మరొకటి = k
ట్యాగ్: లబ్ధ సంబంధం -
(k+1)x² – 4kx + 4 = 0 కు వాస్తవ మూలాలు ఉండటానికి k విలువ ఎంత? A) k ≥ 1 B) k ≤ 1 C) k ≥ –1 D) అన్ని k
సమాధానం: A) k ≥ 1
సాధన: D ≥ 0 ⇒ 16k² – 16(k+1) ≥ 0 ⇒ k² – k – 1 ≥ 0 ⇒ k ≥ 1
ట్యాగ్: D తో అసమానత -
2+√3 మరియు 2–√3 లు మూలాలుగా గల సమీకరణం A) x² – 4x + 1 = 0 B) x² + 4x + 1 = 0 C) x² – 4x – 1 = 0 D) x² – 1 = 0
సమాధానం: A) x² – 4x + 1 = 0
శార్ట్కట్: మొత్తం 4, లబ్ధం 1 ⇒ x² – 4x + 1 = 0
ట్యాగ్: మూలాల నుండి సమీకరణం రూపొందించు -
ఒక రైలు 180 కి.మీ. ప్రయాణిస్తుంది. వేగం 5 కి.మీ./గం. ఎక్కువ ఉంటే, తీసుకున్న సమయం 1 గం. తక్కువ ఉండేది. అసలు వేగం? A) 30 కి.మీ./గం. B) 36 కి.మీ./గం. C) 40 కి.మీ./గం. D) 45 కి.మీ./గం.
సమాధానం: C) 40 కి.మీ./గం.
సాధన: 180/s – 180/(s+5) = 1 ⇒ s² + 5s – 900 = 0 ⇒ s = 40
ట్యాగ్: వేగం-సమయం సమీకరణం -
x = 1 అనేది ax² – 3x + 2 = 0 యొక్క మూలం అయితే, a = A) 1 B) 2 C) –1 D) 0
సమాధానం: A) 1
సాధన: x = 1 ప్రతిక్షేపించగా ⇒ a – 3 + 2 = 0 ⇒ a = 1
ట్యాగ్: ప్రతిక్షేపణ -
ఒక మూలం 3+√2 గా ఉండి, అకరణీయ గుణకాలు కలిగిన వర్గ సమీకరణం A) x² – 6x + 7 = 0 B) x² – 6x – 7 = 0 C) x² + 6x + 7 = 0 D) x² – 9 = 0
సమాధానం: A) x² – 6x + 7 = 0
సాధన: మరొక మూలం 3–√2; మొత్తం 6, లబ్ధం 9–2=7
ట్యాగ్: సంయుగ్మ మూలం -
α, β లు 2x² – 3x – 5 = 0 యొక్క మూలాలు అయితే, 1/α + 1/β కనుగొనండి A) –3/5 B) 3/5 C) 5/3 D) –5/3
సమాధానం: A) –3/5
సాధన: (α+β)/αβ = (3/2)/(–5/2) = –3/5
ట్యాగ్: వ్యుత్క్రమాల మొత్తం -
x = 2 + i√5 వద్ద x² – 4x + 9 యొక్క విలువ A) 0 B) 5 C) 10 D) –5
సమాధానం: A) 0
సాధన: x = 2 + i√5 అనేది x² – 4x + 9 = 0 ని సంతృప్తిపరుస్తుంది
ట్యాగ్: సంకీర్ణ మూల ధృవీకరణ -
x⁴ – 5x² + 4 = 0 కు ఎన్ని వాస్తవ మూలాలు ఉంటాయి? A) 4 B) 2 C) 1 D) 0
సమాధానం: A) 4
సాధన: y = x² అనుకుందాం ⇒ y² – 5y + 4 = 0 ⇒ y = 1, 4 ⇒ x = ±1, ±2
ట్యాగ్: ద్వివర్గ సమీకరణం
వేగ ట్రిక్స్
| పరిస్థితి | శార్ట్కట్ | ఉదాహరణ |
|---|---|---|
| 1. మొత్తం & లబ్ధం తెలిసిన | నేరుగా x² – (మొత్తం)x + లబ్ధం = 0 రాయండి | మూలాలు 7, –3 ⇒ x² – 4x – 21 = 0 |
| 2. D చివర 2,3,7,8 తో ముగిస్తే | ఖచ్చిత వర్గం కాదు ⇒ మూలాలు కరణీయం | D = 47 → కరణీయం |
| 3. గుణకాలు a+b+c = 0 అయితే | ఒక మూలం 1, మరొకటి c/a | 3x² – 5x + 2 = 0 → మూలాలు 1, 2/3 |
| 4. bx లోపించిన (b = 0) | x = ±√(–c/a) | 4x² – 9 = 0 → x = ±3/2 |
| 5. x ను 1/x తో భర్తీ చేస్తే | కొత్త సమీకరణం: గుణకాల క్రమాన్ని తిరగబెట్టండి | x² – 5x + 6 = 0 → 6x² – 5x + 1 = 0 |
త్వరిత రివిజన్
| పాయింట్ | వివరణ |
|---|---|
| 1 | సూత్రం ఉపయోగించే ముందు ఎల్లప్పుడూ సమీకరణాన్ని ప్రామాణిక రూపంలో రాయండి. |
| 2 | D > 0 → రెండు వాస్తవ విభిన్న మూలాలు; D = 0 → సమాన మూలాలు; D < 0 → సంకీర్ణ మూలాలు. |
| 3 | ప్రశ్న “సాధ్యమయ్యే విలువ” అని అడిగితే, సూత్రం కంటే కారణాంక విభజనను ప్రాధాన్యత ఇవ్వండి, 30 సెకన్లు ఆదా అవుతాయి. |
| 4 | పద సమస్యలకు, ప్రతికూల/కల్పిత సాధనలను తనిఖీ చేయండి—వేగం, పొడవు, సమయం ప్రతికూలంగా ఉంటే తిరస్కరించండి. |
| 5 | గుర్తింపులు గుర్తుంచుకోండి: α²+β² = (α+β)² – 2αβ; α³+β³ = (α+β)³ – 3αβ(α+β). |
| 6 | సంయుగ్మ అకరణీయ మూల సిద్ధాంతం: అకరణీయ గుణకాలకు, కరణీయ మూలాలు జతలుగా ఉంటాయి. |
| 7 | ax²+bx+c యొక్క గ్రాఫ్ పైకి తెరుచుకుంటే a > 0, కిందికి తెరుచుకుంటే a < 0. |
| 8 | శీర్షం x-నిరూపకం = –b/2a; కనిష్ట/గరిష్ట విలువ త్వరగా కనుగొనడానికి ఉపయోగించండి. |
| 9 | ఎంపికల నిర్మూలనలో, సులభ పూర్ణాంకాలను (0,1,–1) ప్రతిక్షేపించి 2–3 తప్పు ఎంపికలను త్వరగా తొలగించండి. |
| 10 | రైల్వే పరీక్షలు సంకీర్ణ మూలాలను అరుదుగా పరీక్షిస్తాయి; వాస్తవ, అకరణీయ, సమాన-మూల కేసులపై దృష్టి పెట్టండి. |
BETA
