द्विघात समीकरणे
मुख्य संकल्पना
| # | संकल्पना | स्पष्टीकरण |
|---|---|---|
| 1 | प्रमाणित रूप | ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) |
| 2 | मूळ सूत्र | x = [-b ± √(b²–4ac)] / 2a |
| 3 | विवेचक (D) | D = b² – 4ac; मुळांचे स्वरूप ठरवते |
| 4 | मुळांची बेरीज (α+β) | –b / a |
| 5 | मुळांचा गुणाकार (αβ) | c / a |
| 6 | वास्तव व समान मुळे | D = 0 |
| 7 | परिमेय मुळे | D परिपूर्ण वर्ग आहे आणि a,b,c परिमेय आहेत |
| 8 | शब्द-प्रक्रिया | समीकरण तयार करा → सरळरूप द्या → सोडवा → व्यवहार्यता तपासा |
15 सराव बहुपर्यायी प्रश्न
-
x² – 7x + 12 = 0 या समीकरणाची मुळे आहेत A) 3, 4 B) –3, –4 C) 2, 6 D) 1, 12
उत्तर: A) 3, 4
उकल: x² – 7x + 12 = (x – 3)(x – 4) = 0 ⇒ x = 3 किंवा 4
शॉर्टकट: 12 चे असे अवयव की बेरीज 7 होईल → 3 आणि 4
टॅग: अवयव पाडणे -
जर 2x² – 5x + k = 0 या समीकरणाची मुळे समान असतील, तर k = ? A) 25/4 B) 25/8 C) 5/2 D) 5
उत्तर: B) 25/8
उकल: D = 0 ⇒ 25 – 8k = 0 ⇒ k = 25/8
टॅग: विवेचक -
3x² – 12x + 9 = 0 या समीकरणाच्या मुळांची बेरीज आहे A) 4 B) –4 C) 3 D) –3
उत्तर: A) 4
उकल: –b/a = 12/3 = 4
टॅग: मुळांची बेरीज -
5x² + 8x – 3 = 0 या समीकरणाच्या मुळांचा गुणाकार आहे A) –3/5 B) 8/5 C) 3/5 D) –8/5
उत्तर: A) –3/5
उकल: c/a = –3/5
टॅग: मुळांचा गुणाकार -
खालीलपैकी कोणत्या द्विघात समीकरणाची मुळे अपरिमेय आहेत? A) x² – 5x + 6 B) x² – 3x + 1 C) x² – 4x + 4 D) x² – 9
उत्तर: B) x² – 3x + 1
उकल: D = 9 – 4 = 5 (परिपूर्ण वर्ग नाही)
टॅग: मुळांचे स्वरूप -
जर α, β ही x² – 6x + 2 = 0 या समीकरणाची मुळे असतील, तर α² + β² काढा. A) 32 B) 36 C) 28 D) 30
उत्तर: A) 32
उकल: α²+β² = (α+β)² – 2αβ = 36 – 4 = 32
शॉर्टकट: ओळख लक्षात ठेवा
टॅग: सममितीय मुळे -
x² – (k+4)x + 4k = 0 या समीकरणाचे एक मूळ 4 आहे; दुसरे मूळ आहे A) k B) 4 C) 1 D) 2
उत्तर: A) k
उकल: गुणाकार 4k; एक अवयव 4 ⇒ दुसरा = k
टॅग: गुणाकार संबंध -
(k+1)x² – 4kx + 4 = 0 या समीकरणासाठी k ची कोणती किंमत असेल की समीकरणाची मुळे वास्तव असतील? A) k ≥ 1 B) k ≤ 1 C) k ≥ –1 D) सर्व k
उत्तर: A) k ≥ 1
उकल: D ≥ 0 ⇒ 16k² – 16(k+1) ≥ 0 ⇒ k² – k – 1 ≥ 0 ⇒ k ≥ 1
टॅग: D सह असमानता -
ज्याची मुळे 2+√3 आणि 2–√3 आहेत असे समीकरण आहे A) x² – 4x + 1 = 0 B) x² + 4x + 1 = 0 C) x² – 4x – 1 = 0 D) x² – 1 = 0
उत्तर: A) x² – 4x + 1 = 0
शॉर्टकट: बेरीज 4, गुणाकार 1 ⇒ x² – 4x + 1 = 0
टॅग: मुळांवरून समीकरण तयार करणे -
एक ट्रेन 180 किमी अंतर पार करते. जर तिचा वेग 5 किमी/तास अधिक असता, तर लागणारा वेळ 1 तास कमी झाला असता. मूळ वेग किती? A) 30 किमी/तास B) 36 किमी/तास C) 40 किमी/तास D) 45 किमी/तास
उत्तर: C) 40 किमी/तास
उकल: 180/s – 180/(s+5) = 1 ⇒ s² + 5s – 900 = 0 ⇒ s = 40
टॅग: वेग-वेळ समीकरण -
जर x = 1 हे ax² – 3x + 2 = 0 या समीकरणाचे मूळ असेल, तर a = A) 1 B) 2 C) –1 D) 0
उत्तर: A) 1
उकल: x = 1 ठेवा ⇒ a – 3 + 2 = 0 ⇒ a = 1
टॅग: प्रतिस्थापन -
ज्याचे एक मूळ 3+√2 आहे आणि ज्याचे सहगुणक परिमेय आहेत असे द्विघात समीकरण आहे A) x² – 6x + 7 = 0 B) x² – 6x – 7 = 0 C) x² + 6x + 7 = 0 D) x² – 9 = 0
उत्तर: A) x² – 6x + 7 = 0
उकल: दुसरे मूळ 3–√2; बेरीज 6, गुणाकार 9–2=7
टॅग: संयुग्मी मूळ -
जर α, β ही 2x² – 3x – 5 = 0 या समीकरणाची मुळे असतील, तर 1/α + 1/β काढा. A) –3/5 B) 3/5 C) 5/3 D) –5/3
उत्तर: A) –3/5
उकल: (α+β)/αβ = (3/2)/(–5/2) = –3/5
टॅग: व्यस्तांची बेरीज -
x = 2 + i√5 या किंमतीसाठी x² – 4x + 9 या पदावलीची किंमत आहे A) 0 B) 5 C) 10 D) –5
उत्तर: A) 0
उकल: x = 2 + i√5 हे x² – 4x + 9 = 0 या समीकरणाचे समाधान करते
टॅग: संमिश्र मूळ तपासणे -
x⁴ – 5x² + 4 = 0 या समीकरणासाठी किती वास्तव मुळे आहेत? A) 4 B) 2 C) 1 D) 0
उत्तर: A) 4
उकल: y = x² मानू ⇒ y² – 5y + 4 = 0 ⇒ y = 1, 4 ⇒ x = ±1, ±2
टॅग: द्विचतुर्थ समीकरण
गतीचे ट्रिक्स
| परिस्थिती | शॉर्टकट | उदाहरण |
|---|---|---|
| 1. बेरीज व गुणाकार माहित असल्यास | थेट x² – (बेरीज)x + गुणाकार = 0 लिहा | मुळे 7, –3 ⇒ x² – 4x – 21 = 0 |
| 2. D चा शेवट 2,3,7,8 ने होत असेल तर | परिपूर्ण वर्ग नाही ⇒ मुळे अपरिमेय | D = 47 → अपरिमेय |
| 3. सहगुणकांची बेरीज a+b+c = 0 असेल तर | एक मूळ 1, दुसरे c/a | 3x² – 5x + 2 = 0 → मुळे 1, 2/3 |
| 4. bx गहाळ असेल (b = 0) | x = ±√(–c/a) | 4x² – 9 = 0 → x = ±3/2 |
| 5. x च्या जागी 1/x ठेवल्यास | नवीन समीकरण: सहगुणकांचा क्रम उलटा | x² – 5x + 6 = 0 → 6x² – 5x + 1 = 0 |
द्रुत पुनरावलोकन
| मुद्दा | तपशील |
|---|---|
| 1 | सूत्र वापरण्यापूर्वी समीकरण नेहमी प्रमाणित रूपात लिहा. |
| 2 | D > 0 → दोन वास्तव व भिन्न; D = 0 → समान; D < 0 → संमिश्र. |
| 3 | जर प्रश्न “संभाव्य किंमत” विचारत असेल, तर 30 सेकंद वाचवण्यासाठी सूत्रापेक्षा अवयव पाडणे प्राधान्य द्या. |
| 4 | शब्द प्रश्नांसाठी, नकारात्मक/काल्पनिक उत्तरे तपासा—जर वेग, लांबी, वेळ नकारात्मक असेल तर ती नाकारा. |
| 5 | ओळख लक्षात ठेवा: α²+β² = (α+β)² – 2αβ; α³+β³ = (α+β)³ – 3αβ(α+β). |
| 6 | संयुग्मी करणी मूळ प्रमेय: परिमेय सहगुणकांसाठी अपरिमेय मुळे जोड्यांमध्ये येतात. |
| 7 | ax²+bx+c चा आलेख वरच्या दिशेने उघडतो जर a > 0, खालच्या दिशेने जर a < 0. |
| 8 | शिरोबिंदूचा x-निर्देशक = –b/2a; किमान/कमाल किंमत पटकन काढण्यासाठी वापरा. |
| 9 | पर्याय निर्मूलनामध्ये, सोप्या पूर्णांकांची (0,1,–1) जागा भरून 2–3 चुकीचे पर्याय पटकन काढून टाका. |
| 10 | रेल्वे परीक्षांमध्ये संमिश्र मुळांची चाचणी क्वचितच होते; वास्तव, परिमेय, समान-मूळ प्रकरणांवर लक्ष केंद्रित करा. |
BETA
