ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ
പ്രധാന ആശയങ്ങൾ
| # | ആശയം | വിശദീകരണം |
|---|---|---|
| 1 | സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപം | ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) |
| 2 | മൂലങ്ങളുടെ സൂത്രവാക്യം | x = [-b ± √(b²–4ac)] / 2a |
| 3 | വിവേചകം (D) | D = b² – 4ac; മൂലങ്ങളുടെ സ്വഭാവം തീരുമാനിക്കുന്നു |
| 4 | മൂലങ്ങളുടെ തുക (α+β) | –b / a |
| 5 | മൂലങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം (αβ) | c / a |
| 6 | യഥാർത്ഥവും തുല്യവുമായ മൂലങ്ങൾ | D = 0 |
| 7 | ഭിന്നക മൂലങ്ങൾ | D ഒരു പൂർണ്ണവർഗ്ഗവും a,b,c ഭിന്നകവുമാണ് |
| 8 | വാക്കുപ്രശ്ന നടപടിക്രമം | സമവാക്യം രൂപപ്പെടുത്തുക → ലഘൂകരിക്കുക → പരിഹരിക്കുക → സാധ്യത പരിശോധിക്കുക |
15 പരിശീലന MCQs
-
x² – 7x + 12 = 0 ന്റെ മൂലങ്ങൾ A) 3, 4 B) –3, –4 C) 2, 6 D) 1, 12
ഉത്തരം: A) 3, 4
പരിഹാരം: x² – 7x + 12 = (x – 3)(x – 4) = 0 ⇒ x = 3 അല്ലെങ്കിൽ 4
ഷോർട്ട്കട്ട്: 12 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ 7 കൂട്ടിയാൽ → 3 & 4
ടാഗ്: ഘടകവൽക്കരണം -
2x² – 5x + k = 0 ന് തുല്യ മൂലങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, k = ? A) 25/4 B) 25/8 C) 5/2 D) 5
ഉത്തരം: B) 25/8
പരിഹാരം: D = 0 ⇒ 25 – 8k = 0 ⇒ k = 25/8
ടാഗ്: വിവേചകം -
3x² – 12x + 9 = 0 ന്റെ മൂലങ്ങളുടെ തുക A) 4 B) –4 C) 3 D) –3
ഉത്തരം: A) 4
പരിഹാരം: –b/a = 12/3 = 4
ടാഗ്: മൂലങ്ങളുടെ തുക -
5x² + 8x – 3 = 0 ന്റെ മൂലങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം A) –3/5 B) 8/5 C) 3/5 D) –8/5
ഉത്തരം: A) –3/5
പരിഹാരം: c/a = –3/5
ടാഗ്: മൂലങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം -
ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിനാണ് അഭിന്നക മൂലങ്ങൾ ഉള്ളത്? A) x² – 5x + 6 B) x² – 3x + 1 C) x² – 4x + 4 D) x² – 9
ഉത്തരം: B) x² – 3x + 1
പരിഹാരം: D = 9 – 4 = 5 (പൂർണ്ണവർഗ്ഗമല്ല)
ടാഗ്: മൂലങ്ങളുടെ സ്വഭാവം -
α, β എന്നിവ x² – 6x + 2 = 0 ന്റെ മൂലങ്ങളാണെങ്കിൽ, α² + β² കണ്ടെത്തുക A) 32 B) 36 C) 28 D) 30
ഉത്തരം: A) 32
പരിഹാരം: α²+β² = (α+β)² – 2αβ = 36 – 4 = 32
ഷോർട്ട്കട്ട്: ഐഡന്റിറ്റി ഓർമ്മിക്കുക
ടാഗ്: സമമിതി മൂലങ്ങൾ -
x² – (k+4)x + 4k = 0 ന്റെ ഒരു മൂലം 4 ആണ്; മറ്റേത് A) k B) 4 C) 1 D) 2
ഉത്തരം: A) k
പരിഹാരം: ഗുണനഫലം 4k; ഒരു ഘടകം 4 ⇒ മറ്റേത് = k
ടാഗ്: ഗുണനഫല ബന്ധം -
ഏത് k യ്ക്കാണ് (k+1)x² – 4kx + 4 = 0 ന് യഥാർത്ഥ മൂലങ്ങൾ ഉള്ളത്? A) k ≥ 1 B) k ≤ 1 C) k ≥ –1 D) എല്ലാ k
ഉത്തരം: A) k ≥ 1
പരിഹാരം: D ≥ 0 ⇒ 16k² – 16(k+1) ≥ 0 ⇒ k² – k – 1 ≥ 0 ⇒ k ≥ 1
ടാഗ്: D ഉള്ള അസമത -
2+√3, 2–√3 എന്നിവ മൂലങ്ങളായുള്ള സമവാക്യം A) x² – 4x + 1 = 0 B) x² + 4x + 1 = 0 C) x² – 4x – 1 = 0 D) x² – 1 = 0
ഉത്തരം: A) x² – 4x + 1 = 0
ഷോർട്ട്കട്ട്: തുക 4, ഗുണനഫലം 1 ⇒ x² – 4x + 1 = 0
ടാഗ്: മൂലങ്ങളിൽ നിന്ന് സമവാക്യം രൂപപ്പെടുത്തുക -
ഒരു ട്രെയിൻ 180 കി.മീ. ദൂരം സഞ്ചരിക്കുന്നു. വേഗത 5 കി.മീ./മ. കൂടുതലാണെങ്കിൽ, എടുക്കുന്ന സമയം 1 മ. കുറയും. യഥാർത്ഥ വേഗത? A) 30 കി.മീ./മ. B) 36 കി.മീ./മ. C) 40 കി.മീ./മ. D) 45 കി.മീ./മ.
ഉത്തരം: C) 40 കി.മീ./മ.
പരിഹാരം: 180/s – 180/(s+5) = 1 ⇒ s² + 5s – 900 = 0 ⇒ s = 40
ടാഗ്: വേഗത-സമയ സമവാക്യം -
x = 1 എന്നത് ax² – 3x + 2 = 0 ന്റെ ഒരു മൂലമാണെങ്കിൽ, a = A) 1 B) 2 C) –1 D) 0
ഉത്തരം: A) 1
പരിഹാരം: x = 1 ആക്കുക ⇒ a – 3 + 2 = 0 ⇒ a = 1
ടാഗ്: പ്രതിസ്ഥാപനം -
ഭിന്നക ഗുണകങ്ങളുള്ളതും ഒരു മൂലം 3+√2 ഉള്ളതുമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം A) x² – 6x + 7 = 0 B) x² – 6x – 7 = 0 C) x² + 6x + 7 = 0 D) x² – 9 = 0
ഉത്തരം: A) x² – 6x + 7 = 0
പരിഹാരം: മറ്റേ മൂലം 3–√2; തുക 6, ഗുണനഫലം 9–2=7
ടാഗ്: സംയുക്ത മൂലം -
α, β എന്നിവ 2x² – 3x – 5 = 0 ന്റെ മൂലങ്ങളാണെങ്കിൽ, 1/α + 1/β കണ്ടെത്തുക A) –3/5 B) 3/5 C) 5/3 D) –5/3
ഉത്തരം: A) –3/5
പരിഹാരം: (α+β)/αβ = (3/2)/(–5/2) = –3/5
ടാഗ്: വ്യുൽക്രമ തുക -
x = 2 + i√5 ആയിരിക്കുമ്പോൾ x² – 4x + 9 ന്റെ മൂല്യം A) 0 B) 5 C) 10 D) –5
ഉത്തരം: A) 0
പരിഹാരം: x = 2 + i√5, x² – 4x + 9 = 0 നെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു
ടാഗ്: സങ്കീർണ്ണ മൂല സ്ഥിരീകരണം -
x⁴ – 5x² + 4 = 0 ന് എത്ര യഥാർത്ഥ മൂലങ്ങൾ ഉണ്ട്? A) 4 B) 2 C) 1 D) 0
ഉത്തരം: A) 4
പരിഹാരം: y = x² ആയാൽ ⇒ y² – 5y + 4 = 0 ⇒ y = 1, 4 ⇒ x = ±1, ±2
ടാഗ്: ബൈക്വാഡ്രാറ്റിക്
വേഗത ട്രിക്കുകൾ
| സാഹചര്യം | ഷോർട്ട്കട്ട് | ഉദാഹരണം |
|---|---|---|
| 1. തുകയും ഗുണനഫലവും അറിയാമെങ്കിൽ | നേരിട്ട് x² – (തുക)x + ഗുണനഫലം = 0 എഴുതുക | മൂലങ്ങൾ 7, –3 ⇒ x² – 4x – 21 = 0 |
| 2. D 2,3,7,8 എന്നിവ കൊണ്ട് അവസാനിക്കുന്നു | പൂർണ്ണവർഗ്ഗമല്ല ⇒ മൂലങ്ങൾ അഭിന്നകം | D = 47 → അഭിന്നകം |
| 3. ഗുണകങ്ങൾ a+b+c = 0 | ഒരു മൂലം 1, മറ്റേത് c/a | 3x² – 5x + 2 = 0 → മൂലങ്ങൾ 1, 2/3 |
| 4. bx കാണുന്നില്ല (b = 0) | x = ±√(–c/a) | 4x² – 9 = 0 → x = ±3/2 |
| 5. x നെ 1/x കൊണ്ട് മാറ്റുക | പുതിയ സമവാക്യം: ഗുണകങ്ങളുടെ ക്രമം വിപരീതമാക്കുക | x² – 5x + 6 = 0 → 6x² – 5x + 1 = 0 |
ദ്രുത പുനരാലോചന
| പോയിന്റ് | വിശദാംശം |
|---|---|
| 1 | സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് മുമ്പ് എല്ലായ്പ്പോഴും സമവാക്യം സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക. |
| 2 | D > 0 → രണ്ട് വ്യത്യസ്ത യഥാർത്ഥ മൂലങ്ങൾ; D = 0 → തുല്യം; D < 0 → സങ്കീർണ്ണം. |
| 3 | ചോദ്യം “സാധ്യമായ മൂല്യം” ചോദിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, 30 സെ. ലാഭിക്കാൻ സൂത്രവാക്യത്തേക്കാൾ ഘടകവൽക്കരണം തിരഞ്ഞെടുക്കുക. |
| 4 | വാക്കുപ്രശ്നങ്ങൾക്ക്, നെഗറ്റീവ്/കാല്പനിക പരിഹാരങ്ങൾ പരിശോധിക്കുക—വേഗത, ദൂരം, സമയം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ നിരസിക്കുക. |
| 5 | ഐഡന്റിറ്റികൾ ഓർക്കുക: α²+β² = (α+β)² – 2αβ; α³+β³ = (α+β)³ – 3αβ(α+β). |
| 6 | സംയുക്ത സർഡ് മൂല സിദ്ധാന്തം: ഭിന്നക ഗുണകങ്ങൾക്ക് അഭിന്നക മൂലങ്ങൾ ജോഡികളായി സംഭവിക്കുന്നു. |
| 7 | ax²+bx+c യുടെ ഗ്രാഫ് a > 0 ആണെങ്കിൽ മുകളിലേക്ക് തുറക്കുന്നു, a < 0 ആണെങ്കിൽ താഴേക്ക് തുറക്കുന്നു. |
| 8 | ശീർഷത്തിന്റെ x-നിർദ്ദേശാങ്കം = –b/2a; കുറഞ്ഞ/കൂടിയ മൂല്യം വേഗത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ ഉപയോഗിക്കുക. |
| 9 | ഓപ്ഷൻ ഇലിമിനേഷനിൽ, എളുപ്പമുള്ള പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ (0,1,–1) പ്രതിസ്ഥാപിച്ച് 2–3 തെറ്റായ ഓപ്ഷനുകൾ വേഗത്തിൽ ഒഴിവാക്കുക. |
| 10 | റെയിൽവേ പരീക്ഷകളിൽ സങ്കീർണ്ണ മൂലങ്ങൾ അപൂർവ്വമായി പരീക്ഷിക്കുന്നു; യഥാർത്ഥ, ഭിന്നക, തുല്യ-മൂല കേസുകളിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുക. |
BETA
