દ્વિઘાત સમીકરણો
મુખ્ય ખ્યાલો
| # | ખ્યાલ | સમજૂતી |
|---|---|---|
| 1 | પ્રમાણિત સ્વરૂપ | ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) |
| 2 | મૂળનું સૂત્ર | x = [-b ± √(b²–4ac)] / 2a |
| 3 | વિવેચક (D) | D = b² – 4ac; મૂળની પ્રકૃતિ નક્કી કરે છે |
| 4 | મૂળનો સરવાળો (α+β) | –b / a |
| 5 | મૂળનો ગુણાકાર (αβ) | c / a |
| 6 | વાસ્તવિક અને સમાન મૂળ | D = 0 |
| 7 | પરિમેય મૂળ | D એ પૂર્ણ વર્ગ હોય અને a,b,c પરિમેય હોય |
| 8 | શબ્દ-પ્રક્રિયા | સમીકરણ બનાવો → સરળ કરો → ઉકેલો → શક્યતા તપાસો |
15 પ્રેક્ટિસ MCQs
-
x² – 7x + 12 = 0 નાં મૂળ છે A) 3, 4 B) –3, –4 C) 2, 6 D) 1, 12
જવાબ: A) 3, 4
ઉકેલ: x² – 7x + 12 = (x – 3)(x – 4) = 0 ⇒ x = 3 અથવા 4
શૉર્ટકટ: 12 ના અવયવ જેનો સરવાળો 7 થાય → 3 અને 4
ટૅગ: અવયવીકરણ -
જો 2x² – 5x + k = 0 નાં સમાન મૂળ હોય, તો k = ? A) 25/4 B) 25/8 C) 5/2 D) 5
જવાબ: B) 25/8
ઉકેલ: D = 0 ⇒ 25 – 8k = 0 ⇒ k = 25/8
ટૅગ: વિવેચક -
3x² – 12x + 9 = 0 નાં મૂળનો સરવાળો છે A) 4 B) –4 C) 3 D) –3
જવાબ: A) 4
ઉકેલ: –b/a = 12/3 = 4
ટૅગ: મૂળનો સરવાળો -
5x² + 8x – 3 = 0 નાં મૂળનો ગુણાકાર છે A) –3/5 B) 8/5 C) 3/5 D) –8/5
જવાબ: A) –3/5
ઉકેલ: c/a = –3/5
ટૅગ: મૂળનો ગુણાકાર -
કયા દ્વિઘાત સમીકરણના અપરિમેય મૂળ છે? A) x² – 5x + 6 B) x² – 3x + 1 C) x² – 4x + 4 D) x² – 9
જવાબ: B) x² – 3x + 1
ઉકેલ: D = 9 – 4 = 5 (પૂર્ણ વર્ગ નથી)
ટૅગ: મૂળની પ્રકૃતિ -
જો α, β એ x² – 6x + 2 = 0 નાં મૂળ હોય, તો α² + β² શોધો A) 32 B) 36 C) 28 D) 30
જવાબ: A) 32
ઉકેલ: α²+β² = (α+β)² – 2αβ = 36 – 4 = 32
શૉર્ટકટ: ઓળખ યાદ રાખો
ટૅગ: સંમિત મૂળ -
x² – (k+4)x + 4k = 0 નું એક મૂળ 4 છે; બીજું મૂળ છે A) k B) 4 C) 1 D) 2
જવાબ: A) k
ઉકેલ: ગુણાકાર 4k; એક અવયવ 4 ⇒ બીજું = k
ટૅગ: ગુણાકાર સંબંધ -
કયા k માટે (k+1)x² – 4kx + 4 = 0 નાં વાસ્તવિક મૂળ હશે? A) k ≥ 1 B) k ≤ 1 C) k ≥ –1 D) બધા k
જવાબ: A) k ≥ 1
ઉકેલ: D ≥ 0 ⇒ 16k² – 16(k+1) ≥ 0 ⇒ k² – k – 1 ≥ 0 ⇒ k ≥ 1
ટૅગ: D સાથે અસમતા -
જે સમીકરણના મૂળ 2+√3 અને 2–√3 છે તે છે A) x² – 4x + 1 = 0 B) x² + 4x + 1 = 0 C) x² – 4x – 1 = 0 D) x² – 1 = 0
જવાબ: A) x² – 4x + 1 = 0
શૉર્ટકટ: સરવાળો 4, ગુણાકાર 1 ⇒ x² – 4x + 1 = 0
ટૅગ: મૂળ પરથી સમીકરણ બનાવો -
એક ટ્રેન 180 કિમીનું અંતર કાપે છે. જો ઝડપ 5 કિમી/કલાક વધુ હોત, તો લીધેલો સમય 1 કલાક ઓછો થાય. મૂળ ઝડપ? A) 30 કિમી/કલાક B) 36 કિમી/કલાક C) 40 કિમી/કલાક D) 45 કિમી/કલાક
જવાબ: C) 40 કિમી/કલાક
ઉકેલ: 180/s – 180/(s+5) = 1 ⇒ s² + 5s – 900 = 0 ⇒ s = 40
ટૅગ: ઝડપ-સમય સમીકરણ -
જો x = 1 એ ax² – 3x + 2 = 0 નું મૂળ હોય, તો a = A) 1 B) 2 C) –1 D) 0
જવાબ: A) 1
ઉકેલ: x = 1 મૂકો ⇒ a – 3 + 2 = 0 ⇒ a = 1
ટૅગ: આદેશ -
જે દ્વિઘાત સમીકરણના પરિમેય સહગુણકો છે અને જેનું એક મૂળ 3+√2 છે તે છે A) x² – 6x + 7 = 0 B) x² – 6x – 7 = 0 C) x² + 6x + 7 = 0 D) x² – 9 = 0
જવાબ: A) x² – 6x + 7 = 0
ઉકેલ: બીજું મૂળ 3–√2; સરવાળો 6, ગુણાકાર 9–2=7
ટૅગ: સંયુગ્મ મૂળ -
જો α, β એ 2x² – 3x – 5 = 0 નાં મૂળ હોય, તો 1/α + 1/β શોધો A) –3/5 B) 3/5 C) 5/3 D) –5/3
જવાબ: A) –3/5
ઉકેલ: (α+β)/αβ = (3/2)/(–5/2) = –3/5
ટૅગ: વ્યસ્તનો સરવાળો -
x = 2 + i√5 એ x² – 4x + 9 ની કિંમત છે A) 0 B) 5 C) 10 D) –5
જવાબ: A) 0
ઉકેલ: x = 2 + i√5 એ x² – 4x + 9 = 0 ને સંતોષે છે
ટૅગ: સંકર મૂળ ચકાસણી -
x⁴ – 5x² + 4 = 0 માટે કેટલાં વાસ્તવિક મૂળ છે? A) 4 B) 2 C) 1 D) 0
જવાબ: A) 4
ઉકેલ: ધારો કે y = x² ⇒ y² – 5y + 4 = 0 ⇒ y = 1, 4 ⇒ x = ±1, ±2
ટૅગ: દ્વિચતુર્ઘાત
ઝડપી ટ્રિક્સ
| પરિસ્થિતિ | શૉર્ટકટ | ઉદાહરણ |
|---|---|---|
| 1. સરવાળો અને ગુણાકાર જાણીતો હોય | સીધું x² – (સરવાળો)x + ગુણાકાર = 0 લખો | મૂળ 7, –3 ⇒ x² – 4x – 21 = 0 |
| 2. D નો અંત 2,3,7,8 થાય | પૂર્ણ વર્ગ નથી ⇒ મૂળ અપરિમેય | D = 47 → અપરિમેય |
| 3. સહગુણકો a+b+c = 0 હોય | એક મૂળ 1 છે, બીજું c/a | 3x² – 5x + 2 = 0 → મૂળ 1, 2/3 |
| 4. bx ખૂટે છે (b = 0) | x = ±√(–c/a) | 4x² – 9 = 0 → x = ±3/2 |
| 5. x ને 1/x વડે બદલો | નવું સમીકરણ: સહગુણકોનો ક્રમ ઊલટાવો | x² – 5x + 6 = 0 → 6x² – 5x + 1 = 0 |
ઝડપી પુનરાવર્તન
| બિંદુ | વિગત |
|---|---|
| 1 | સૂત્ર વાપરતા પહેલાં હંમેશા સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખો. |
| 2 | D > 0 → બે વાસ્તવિક અલગ; D = 0 → સમાન; D < 0 → સંકર. |
| 3 | જો પ્રશ્ન “શક્ય કિંમત” પૂછે, તો 30 સેકન્ડ બચાવવા સૂત્ર કરતાં અવયવીકરણને પ્રાધાન્ય આપો. |
| 4 | શબ્દ સમસ્યાઓ માટે, નકારાત્મક/કાલ્પનિક ઉકેલો તપાસો—જો ઝડપ, લંબાઈ, સમય નકારાત્મક હોય તો નકારી કાઢો. |
| 5 | ઓળખ યાદ રાખો: α²+β² = (α+β)² – 2αβ; α³+β³ = (α+β)³ – 3αβ(α+β). |
| 6 | સંયુગ્મ અસંમેય મૂળ પ્રમેય: પરિમેય સહગુણકો માટે અપરિમેય મૂળ જોડીમાં આવે છે. |
| 7 | ax²+bx+c નો આલેખ ઉપર તરફ ખુલે છે જો a > 0, નીચે તરફ જો a < 0. |
| 8 | શિરોબિંદુનો x-અક્ષ = –b/2a; ન્યૂનતમ/અધિકતમ કિંમત ઝડપથી શોધવા માટે વાપરો. |
| 9 | વિકલ્પ નાબૂદીમાં, સરળ પૂર્ણાંકો (0,1,–1) આદેશ કરીને 2–3 ખોટા વિકલ્પો ઝડપથી કાઢી નાખો. |
| 10 | રેલવે પરીક્ષાઓમાં સંકર મૂળો ભાગ્યે જ પરીક્ષા કરે છે; વાસ્તવિક, પરિમેય, સમાન-મૂળ કેસ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરો. |
BETA
