দ্বিঘাত সমীকরণ
মূল ধারণাসমূহ
| # | ধারণা | ব্যাখ্যা |
|---|---|---|
| 1 | আদর্শ রূপ | ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) |
| 2 | মূলের সূত্র | x = [-b ± √(b²–4ac)] / 2a |
| 3 | নিরূপক (D) | D = b² – 4ac; মূলের প্রকৃতি নির্ধারণ করে |
| 4 | মূলের যোগফল (α+β) | –b / a |
| 5 | মূলের গুণফল (αβ) | c / a |
| 6 | বাস্তব ও সমান মূল | D = 0 |
| 7 | মূলদ মূল | D একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা এবং a,b,c মূলদ |
| 8 | শব্দ-সমস্যা পদ্ধতি | সমীকরণ তৈরি → সরলীকরণ → সমাধান → সম্ভাব্যতা যাচাই |
১৫টি অনুশীলন এমসিকিউ
-
x² – 7x + 12 = 0 এর মূলগুলি হল A) 3, 4 B) –3, –4 C) 2, 6 D) 1, 12
উত্তর: A) 3, 4
সমাধান: x² – 7x + 12 = (x – 3)(x – 4) = 0 ⇒ x = 3 বা 4
সংক্ষিপ্তকৌশল: 12 এর উৎপাদক যাদের যোগফল 7 → 3 ও 4
ট্যাগ: উৎপাদকে বিশ্লেষণ -
যদি 2x² – 5x + k = 0 এর সমান মূল থাকে, তবে k = ? A) 25/4 B) 25/8 C) 5/2 D) 5
উত্তর: B) 25/8
সমাধান: D = 0 ⇒ 25 – 8k = 0 ⇒ k = 25/8
ট্যাগ: নিরূপক -
3x² – 12x + 9 = 0 এর মূলের যোগফল হল A) 4 B) –4 C) 3 D) –3
উত্তর: A) 4
সমাধান: –b/a = 12/3 = 4
ট্যাগ: মূলের যোগফল -
5x² + 8x – 3 = 0 এর মূলের গুণফল হল A) –3/5 B) 8/5 C) 3/5 D) –8/5
উত্তর: A) –3/5
সমাধান: c/a = –3/5
ট্যাগ: মূলের গুণফল -
কোন দ্বিঘাত সমীকরণের মূল অমূলদ? A) x² – 5x + 6 B) x² – 3x + 1 C) x² – 4x + 4 D) x² – 9
উত্তর: B) x² – 3x + 1
সমাধান: D = 9 – 4 = 5 (পূর্ণবর্গ নয়)
ট্যাগ: মূলের প্রকৃতি -
যদি α, β, x² – 6x + 2 = 0 এর মূল হয়, তবে α² + β² নির্ণয় করো A) 32 B) 36 C) 28 D) 30
উত্তর: A) 32
সমাধান: α²+β² = (α+β)² – 2αβ = 36 – 4 = 32
সংক্ষিপ্তকৌশল: অভেদটি মনে রাখুন
ট্যাগ: প্রতিসম মূল -
x² – (k+4)x + 4k = 0 এর একটি মূল 4; অপর মূলটি হল A) k B) 4 C) 1 D) 2
উত্তর: A) k
সমাধান: গুণফল 4k; একটি উৎপাদক 4 ⇒ অপরটি = k
ট্যাগ: গুণফল সম্পর্ক -
k-এর কোন মানের জন্য (k+1)x² – 4kx + 4 = 0 এর বাস্তব মূল থাকবে? A) k ≥ 1 B) k ≤ 1 C) k ≥ –1 D) সব k
উত্তর: A) k ≥ 1
সমাধান: D ≥ 0 ⇒ 16k² – 16(k+1) ≥ 0 ⇒ k² – k – 1 ≥ 0 ⇒ k ≥ 1
ট্যাগ: D সহ অসমতা -
যে সমীকরণের মূল 2+√3 এবং 2–√3 তা হল A) x² – 4x + 1 = 0 B) x² + 4x + 1 = 0 C) x² – 4x – 1 = 0 D) x² – 1 = 0
উত্তর: A) x² – 4x + 1 = 0
সংক্ষিপ্তকৌশল: যোগফল 4, গুণফল 1 ⇒ x² – 4x + 1 = 0
ট্যাগ: মূল থেকে সমীকরণ গঠন -
একটি ট্রেন 180 কিমি যায়। যদি গতিবেগ 5 কিমি/ঘণ্টা বেশি হত, তবে সময় 1 ঘণ্টা কম লাগত। আসল গতিবেগ কত? A) 30 কিমি/ঘণ্টা B) 36 কিমি/ঘণ্টা C) 40 কিমি/ঘণ্টা D) 45 কিমি/ঘণ্টা
উত্তর: C) 40 কিমি/ঘণ্টা
সমাধান: 180/s – 180/(s+5) = 1 ⇒ s² + 5s – 900 = 0 ⇒ s = 40
ট্যাগ: গতি-সময় সমীকরণ -
যদি x = 1, ax² – 3x + 2 = 0 এর একটি মূল হয়, তবে a = A) 1 B) 2 C) –1 D) 0
উত্তর: A) 1
সমাধান: x = 1 বসালে ⇒ a – 3 + 2 = 0 ⇒ a = 1
ট্যাগ: প্রতিস্থাপন -
মূলদ সহগবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ যার একটি মূল 3+√2 তা হল A) x² – 6x + 7 = 0 B) x² – 6x – 7 = 0 C) x² + 6x + 7 = 0 D) x² – 9 = 0
উত্তর: A) x² – 6x + 7 = 0
সমাধান: অপর মূল 3–√2; যোগফল 6, গুণফল 9–2=7
ট্যাগ: অনুবন্ধী মূল -
যদি α, β, 2x² – 3x – 5 = 0 এর মূল হয়, তবে 1/α + 1/β নির্ণয় করো A) –3/5 B) 3/5 C) 5/3 D) –5/3
উত্তর: A) –3/5
সমাধান: (α+β)/αβ = (3/2)/(–5/2) = –3/5
ট্যাগ: বিপরীতের যোগফল -
x = 2 + i√5 বিন্দুতে x² – 4x + 9 এর মান হল A) 0 B) 5 C) 10 D) –5
উত্তর: A) 0
সমাধান: x = 2 + i√5, x² – 4x + 9 = 0 কে সিদ্ধ করে
ট্যাগ: জটিল মূল যাচাই -
x⁴ – 5x² + 4 = 0 এর কয়টি বাস্তব মূল আছে? A) 4 B) 2 C) 1 D) 0
উত্তর: A) 4
সমাধান: ধরি y = x² ⇒ y² – 5y + 4 = 0 ⇒ y = 1, 4 ⇒ x = ±1, ±2
ট্যাগ: দ্বিচতুর্ভুজ সমীকরণ
দ্রুত কৌশল
| পরিস্থিতি | সংক্ষিপ্তকৌশল | উদাহরণ |
|---|---|---|
| 1. যোগফল ও গুণফল জানা থাকলে | সরাসরি x² – (যোগফল)x + গুণফল = 0 লিখুন | মূল 7, –3 ⇒ x² – 4x – 21 = 0 |
| 2. D-এর শেষ অঙ্ক 2,3,7,8 হলে | পূর্ণবর্গ নয় ⇒ মূল অমূলদ | D = 47 → অমূলদ |
| 3. সহগ a+b+c = 0 হলে | একটি মূল 1, অপরটি c/a | 3x² – 5x + 2 = 0 → মূল 1, 2/3 |
| 4. bx অনুপস্থিত (b = 0) হলে | x = ±√(–c/a) | 4x² – 9 = 0 → x = ±3/2 |
| 5. x-কে 1/x দ্বারা প্রতিস্থাপন করলে | নতুন সমীকরণ: সহগের ক্রম উল্টে যায় | x² – 5x + 6 = 0 → 6x² – 5x + 1 = 0 |
দ্রুত পুনরালোচনা
| বিষয় | বিবরণ |
|---|---|
| 1 | সূত্র ব্যবহারের আগে সর্বদা সমীকরণটি আদর্শ রূপে লিখুন। |
| 2 | D > 0 → দুটি পৃথক বাস্তব মূল; D = 0 → সমান মূল; D < 0 → জটিল মূল। |
| 3 | প্রশ্নে “সম্ভাব্য মান” চাইলে, সময় বাঁচাতে সূত্রের চেয়ে উৎপাদকে বিশ্লেষণ পছন্দ করুন। |
| 4 | শব্দ-সমস্যার জন্য, ঋণাত্মক/কাল্পনিক সমাধান যাচাই করুন—যদি গতি, দৈর্ঘ্য, সময় ঋণাত্মক হয় তবে বাতিল করুন। |
| 5 | অভেদ মনে রাখুন: α²+β² = (α+β)² – 2αβ; α³+β³ = (α+β)³ – 3αβ(α+β)। |
| 6 | অনুবন্ধী করণী মূল উপপাদ্য: মূলদ সহগের জন্য অমূলদ মূল জোড়ায় জোড়ায় থাকে। |
| 7 | ax²+bx+c এর লেখ a > 0 হলে উপরের দিকে খোলে, a < 0 হলে নিচের দিকে খোলে। |
| 8 | শীর্ষবিন্দুর x-স্থানাঙ্ক = –b/2a; সর্বনিম্ন/সর্বোচ্চ মান দ্রুত বের করতে এটি ব্যবহার করুন। |
| 9 | অপসারণ পদ্ধতিতে, সহজ পূর্ণসংখ্যা (0,1,–1) প্রতিস্থাপন করে ২-৩টি ভুল অপশন দ্রুত বাদ দিন। |
| 10 | রেলওয়ে পরীক্ষায় জটিল মূল খুব কমই আসে; বাস্তব, মূলদ, সমান-মূলের ক্ষেত্রে মনোযোগ দিন। |
BETA
