ದ್ವಿಘಾತ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು
| # | ಪರಿಕಲ್ಪನೆ | ವಿವರಣೆ |
|---|---|---|
| 1 | ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪ | ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) |
| 2 | ಬೇರುಗಳ ಸೂತ್ರ | x = [-b ± √(b²–4ac)] / 2a |
| 3 | ವಿವಿಕ್ತಕ (D) | D = b² – 4ac; ಬೇರುಗಳ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ |
| 4 | ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತ (α+β) | –b / a |
| 5 | ಬೇರುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ (αβ) | c / a |
| 6 | ವಾಸ್ತವಿಕ ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಬೇರುಗಳು | D = 0 |
| 7 | ಭಾಗಲಬ್ಧ ಬೇರುಗಳು | D ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗ ಮತ್ತು a,b,c ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ |
| 8 | ಪದ-ಕ್ರಮ | ಸಮೀಕರಣ ರಚಿಸಿ → ಸರಳೀಕರಿಸಿ → ಬಿಡಿಸಿ → ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ |
15 ಅಭ್ಯಾಸ ಬಹುಯಾಕಲ್ಪಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು
-
x² – 7x + 12 = 0 ರ ಬೇರುಗಳು A) 3, 4 B) –3, –4 C) 2, 6 D) 1, 12
ಉತ್ತರ: A) 3, 4
ಪರಿಹಾರ: x² – 7x + 12 = (x – 3)(x – 4) = 0 ⇒ x = 3 ಅಥವಾ 4
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: 12 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಮತ್ತು ಮೊತ್ತ 7 → 3 & 4
ಟ್ಯಾಗ್: ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ -
2x² – 5x + k = 0 ಸಮಾನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, k = ? A) 25/4 B) 25/8 C) 5/2 D) 5
ಉತ್ತರ: B) 25/8
ಪರಿಹಾರ: D = 0 ⇒ 25 – 8k = 0 ⇒ k = 25/8
ಟ್ಯಾಗ್: ವಿವಿಕ್ತಕ -
3x² – 12x + 9 = 0 ರ ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತ A) 4 B) –4 C) 3 D) –3
ಉತ್ತರ: A) 4
ಪರಿಹಾರ: –b/a = 12/3 = 4
ಟ್ಯಾಗ್: ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತ -
5x² + 8x – 3 = 0 ರ ಬೇರುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ A) –3/5 B) 8/5 C) 3/5 D) –8/5
ಉತ್ತರ: A) –3/5
ಪರಿಹಾರ: c/a = –3/5
ಟ್ಯಾಗ್: ಬೇರುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ -
ಯಾವ ದ್ವಿಘಾತ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಬೇರುಗಳಿವೆ? A) x² – 5x + 6 B) x² – 3x + 1 C) x² – 4x + 4 D) x² – 9
ಉತ್ತರ: B) x² – 3x + 1
ಪರಿಹಾರ: D = 9 – 4 = 5 (ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವಲ್ಲ)
ಟ್ಯಾಗ್: ಬೇರುಗಳ ಸ್ವಭಾವ -
α, β ಗಳು x² – 6x + 2 = 0 ರ ಬೇರುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, α² + β² ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ A) 32 B) 36 C) 28 D) 30
ಉತ್ತರ: A) 32
ಪರಿಹಾರ: α²+β² = (α+β)² – 2αβ = 36 – 4 = 32
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ಗುರುತನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ
ಟ್ಯಾಗ್: ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬೇರುಗಳು -
x² – (k+4)x + 4k = 0 ರ ಒಂದು ಬೇರು 4 ಆಗಿದೆ; ಇನ್ನೊಂದು ಬೇರು A) k B) 4 C) 1 D) 2
ಉತ್ತರ: A) k
ಪರಿಹಾರ: ಗುಣಲಬ್ಧ 4k; ಒಂದು ಅಪವರ್ತನ 4 ⇒ ಇನ್ನೊಂದು = k
ಟ್ಯಾಗ್: ಗುಣಲಬ್ಧ ಸಂಬಂಧ -
ಯಾವ k ಗೆ (k+1)x² – 4kx + 4 = 0 ವಾಸ್ತವಿಕ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ? A) k ≥ 1 B) k ≤ 1 C) k ≥ –1 D) ಎಲ್ಲಾ k
ಉತ್ತರ: A) k ≥ 1
ಪರಿಹಾರ: D ≥ 0 ⇒ 16k² – 16(k+1) ≥ 0 ⇒ k² – k – 1 ≥ 0 ⇒ k ≥ 1
ಟ್ಯಾಗ್: D ಯೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ -
2+√3 ಮತ್ತು 2–√3 ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣ A) x² – 4x + 1 = 0 B) x² + 4x + 1 = 0 C) x² – 4x – 1 = 0 D) x² – 1 = 0
ಉತ್ತರ: A) x² – 4x + 1 = 0
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ಮೊತ್ತ 4, ಗುಣಲಬ್ಧ 1 ⇒ x² – 4x + 1 = 0
ಟ್ಯಾಗ್: ಬೇರುಗಳಿಂದ ಸಮೀಕರಣ ರಚಿಸಿ -
ಒಂದು ರೈಲು 180 ಕಿ.ಮೀ. ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತದೆ. ವೇಗವು 5 ಕಿ.ಮೀ./ಗಂ. ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯವು 1 ಗಂ. ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ವೇಗ? A) 30 ಕಿ.ಮೀ./ಗಂ. B) 36 ಕಿ.ಮೀ./ಗಂ. C) 40 ಕಿ.ಮೀ./ಗಂ. D) 45 ಕಿ.ಮೀ./ಗಂ.
ಉತ್ತರ: C) 40 ಕಿ.ಮೀ./ಗಂ.
ಪರಿಹಾರ: 180/s – 180/(s+5) = 1 ⇒ s² + 5s – 900 = 0 ⇒ s = 40
ಟ್ಯಾಗ್: ವೇಗ-ಸಮಯ ಸಮೀಕರಣ -
x = 1 ಎಂಬುದು ax² – 3x + 2 = 0 ರ ಬೇರಾಗಿದ್ದರೆ, a = A) 1 B) 2 C) –1 D) 0
ಉತ್ತರ: A) 1
ಪರಿಹಾರ: x = 1 ಹಾಕಿ ⇒ a – 3 + 2 = 0 ⇒ a = 1
ಟ್ಯಾಗ್: ಆದೇಶ -
ಭಾಗಲಬ್ಧ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬೇರು 3+√2 ಆಗಿರುವ ದ್ವಿಘಾತ ಸಮೀಕರಣ A) x² – 6x + 7 = 0 B) x² – 6x – 7 = 0 C) x² + 6x + 7 = 0 D) x² – 9 = 0
ಉತ್ತರ: A) x² – 6x + 7 = 0
ಪರಿಹಾರ: ಇನ್ನೊಂದು ಬೇರು 3–√2; ಮೊತ್ತ 6, ಗುಣಲಬ್ಧ 9–2=7
ಟ್ಯಾಗ್: ಸಂಯುಕ್ತ ಬೇರು -
α, β ಗಳು 2x² – 3x – 5 = 0 ರ ಬೇರುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, 1/α + 1/β ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ A) –3/5 B) 3/5 C) 5/3 D) –5/3
ಉತ್ತರ: A) –3/5
ಪರಿಹಾರ: (α+β)/αβ = (3/2)/(–5/2) = –3/5
ಟ್ಯಾಗ್: ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮಗಳ ಮೊತ್ತ -
x = 2 + i√5 ನಲ್ಲಿ x² – 4x + 9 ರ ಮೌಲ್ಯ A) 0 B) 5 C) 10 D) –5
ಉತ್ತರ: A) 0
ಪರಿಹಾರ: x = 2 + i√5 ಎಂಬುದು x² – 4x + 9 = 0 ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಟ್ಯಾಗ್: ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರು ಪರಿಶೀಲನೆ -
x⁴ – 5x² + 4 = 0 ಗೆ ಎಷ್ಟು ವಾಸ್ತವಿಕ ಬೇರುಗಳಿವೆ? A) 4 B) 2 C) 1 D) 0
ಉತ್ತರ: A) 4
ಪರಿಹಾರ: y = x² ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ⇒ y² – 5y + 4 = 0 ⇒ y = 1, 4 ⇒ x = ±1, ±2
ಟ್ಯಾಗ್: ದ್ವಿಚತುರ್ಘಾತ
ವೇಗದ ತಂತ್ರಗಳು
| ಪರಿಸ್ಥಿತಿ | ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್ | ಉದಾಹರಣೆ |
|---|---|---|
| 1. ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಗುಣಲಬ್ಧ ತಿಳಿದಿದೆ | ನೇರವಾಗಿ x² – (ಮೊತ್ತ)x + ಗುಣಲಬ್ಧ = 0 ಬರೆಯಿರಿ | ಬೇರುಗಳು 7, –3 ⇒ x² – 4x – 21 = 0 |
| 2. D 2,3,7,8 ನೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ | ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವಲ್ಲ ⇒ ಬೇರುಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ | D = 47 → ಅಭಾಗಲಬ್ಧ |
| 3. ಗುಣಾಂಕಗಳು a+b+c = 0 | ಒಂದು ಬೇರು 1, ಇನ್ನೊಂದು c/a | 3x² – 5x + 2 = 0 → ಬೇರುಗಳು 1, 2/3 |
| 4. bx ಕಾಣೆಯಾಗಿದೆ (b = 0) | x = ±√(–c/a) | 4x² – 9 = 0 → x = ±3/2 |
| 5. x ನ್ನು 1/x ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ | ಹೊಸ ಸಮೀಕರಣ: ಗುಣಾಂಕಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿ | x² – 5x + 6 = 0 → 6x² – 5x + 1 = 0 |
ತ್ವರಿತ ಪುನರಾವರ್ತನೆ
| ಬಿಂದು | ವಿವರ |
|---|---|
| 1 | ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೊದಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. |
| 2 | D > 0 → ಎರಡು ವಾಸ್ತವಿಕ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ; D = 0 → ಸಮಾನ; D < 0 → ಸಂಕೀರ್ಣ. |
| 3 | ಪ್ರಶ್ನೆಯು “ಸಾಧ್ಯ ಮೌಲ್ಯ” ಕೇಳಿದರೆ, 30 ಸೆ. ಉಳಿಸಲು ಸೂತ್ರಕ್ಕಿಂತ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣವನ್ನು ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಿ. |
| 4 | ಪದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ನಕಾರಾತ್ಮಕ/ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ—ವೇಗ, ಉದ್ದ, ಸಮಯ ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ತಿರಸ್ಕರಿಸಿ. |
| 5 | ಗುರುತುಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ: α²+β² = (α+β)² – 2αβ; α³+β³ = (α+β)³ – 3αβ(α+β). |
| 6 | ಸಂಯುಕ್ತ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಬೇರು ಪ್ರಮೇಯ: ಭಾಗಲಬ್ಧ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಬೇರುಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. |
| 7 | ax²+bx+c ರ ಗ್ರಾಫ್ a > 0 ಆದರೆ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ತೆರೆಯುತ್ತದೆ, a < 0 ಆದರೆ ಕೆಳಮುಖವಾಗಿ ತೆರೆಯುತ್ತದೆ. |
| 8 | ಶೃಂಗದ x-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ = –b/2a; ಕನಿಷ್ಠ/ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸಿ. |
| 9 | ಆಯ್ಕೆ ನಿರ್ಮೂಲನೆಯಲ್ಲಿ, 2–3 ತಪ್ಪು ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ದಾಟಲು ಸುಲಭ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು (0,1,–1) ಆದೇಶಿಸಿ. |
| 10 | ರೈಲ್ವೇ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ವಿರಳವಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತವೆ; ವಾಸ್ತವಿಕ, ಭಾಗಲಬ್ಧ, ಸಮಾನ-ಬೇರು ಸಂದರ್ಭಗಳ ಮೇಲೆ ಗಮನ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿ. |
BETA
