ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ
ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
| # | ਸੰਕਲਪ | ਵਿਆਖਿਆ |
|---|---|---|
| 1 | ਮਾਨਕ ਰੂਪ | ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) |
| 2 | ਮੂਲਾਂ ਦਾ ਸੂਤਰ | x = [-b ± √(b²–4ac)] / 2a |
| 3 | ਵਿਵੇਚਕ (D) | D = b² – 4ac; ਮੂਲਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ ਤੈਅ ਕਰਦਾ ਹੈ |
| 4 | ਮੂਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ (α+β) | –b / a |
| 5 | ਮੂਲਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ (αβ) | c / a |
| 6 | ਅਸਲ ਅਤੇ ਬਰਾਬਰ ਮੂਲ | D = 0 |
| 7 | ਪਰਿਮੇਯ ਮੂਲ | D ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੈ ਅਤੇ a,b,c ਪਰਿਮੇਯ ਹਨ |
| 8 | ਸ਼ਬਦ-ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ | ਸਮੀਕਰਨ ਬਣਾਓ → ਸਰਲ ਕਰੋ → ਹੱਲ ਕਰੋ → ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ |
15 ਅਭਿਆਸ ਬਹੁ-ਵਿਕਲਪੀ ਪ੍ਰਸ਼ਨ
-
x² – 7x + 12 = 0 ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ A) 3, 4 B) –3, –4 C) 2, 6 D) 1, 12
ਉੱਤਰ: A) 3, 4
ਹੱਲ: x² – 7x + 12 = (x – 3)(x – 4) = 0 ⇒ x = 3 ਜਾਂ 4
ਸ਼ਾਰਟਕੱਟ: 12 ਦੇ ਅਜਿਹੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 7 ਹੋਵੇ → 3 ਅਤੇ 4
ਟੈਗ: ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਨ -
ਜੇਕਰ 2x² – 5x + k = 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਮੂਲ ਹਨ, ਤਾਂ k = ? A) 25/4 B) 25/8 C) 5/2 D) 5
ਉੱਤਰ: B) 25/8
ਹੱਲ: D = 0 ⇒ 25 – 8k = 0 ⇒ k = 25/8
ਟੈਗ: ਵਿਵੇਚਕ -
3x² – 12x + 9 = 0 ਦੇ ਮੂਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ A) 4 B) –4 C) 3 D) –3
ਉੱਤਰ: A) 4
ਹੱਲ: –b/a = 12/3 = 4
ਟੈਗ: ਮੂਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ -
5x² + 8x – 3 = 0 ਦੇ ਮੂਲਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ A) –3/5 B) 8/5 C) 3/5 D) –8/5
ਉੱਤਰ: A) –3/5
ਹੱਲ: c/a = –3/5
ਟੈਗ: ਮੂਲਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ -
ਕਿਹੜੀ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਅਪਰਿਮੇਯ ਮੂਲ ਹਨ? A) x² – 5x + 6 B) x² – 3x + 1 C) x² – 4x + 4 D) x² – 9
ਉੱਤਰ: B) x² – 3x + 1
ਹੱਲ: D = 9 – 4 = 5 (ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਨਹੀਂ)
ਟੈਗ: ਮੂਲਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ -
ਜੇਕਰ α, β, x² – 6x + 2 = 0 ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ, ਤਾਂ α² + β² ਪਤਾ ਕਰੋ A) 32 B) 36 C) 28 D) 30
ਉੱਤਰ: A) 32
ਹੱਲ: α²+β² = (α+β)² – 2αβ = 36 – 4 = 32
ਸ਼ਾਰਟਕੱਟ: ਪਛਾਣ ਯਾਦ ਰੱਖੋ
ਟੈਗ: ਸਮਮਿਤ ਮੂਲ -
x² – (k+4)x + 4k = 0 ਦਾ ਇੱਕ ਮੂਲ 4 ਹੈ; ਦੂਸਰਾ ਮੂਲ ਹੈ A) k B) 4 C) 1 D) 2
ਉੱਤਰ: A) k
ਹੱਲ: ਗੁਣਨਫਲ 4k; ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ 4 ⇒ ਦੂਸਰਾ = k
ਟੈਗ: ਗੁਣਨਫਲ ਸੰਬੰਧ -
k ਦੀ ਕਿਸ ਮੁੱਲ ਲਈ (k+1)x² – 4kx + 4 = 0 ਦੇ ਅਸਲ ਮੂਲ ਹੋਣਗੇ? A) k ≥ 1 B) k ≤ 1 C) k ≥ –1 D) ਸਾਰੇ k
ਉੱਤਰ: A) k ≥ 1
ਹੱਲ: D ≥ 0 ⇒ 16k² – 16(k+1) ≥ 0 ⇒ k² – k – 1 ≥ 0 ⇒ k ≥ 1
ਟੈਗ: D ਨਾਲ ਅਸਮਾਨਤਾ -
ਉਹ ਸਮੀਕਰਨ ਜਿਸਦੇ ਮੂਲ 2+√3 ਅਤੇ 2–√3 ਹਨ, ਹੈ A) x² – 4x + 1 = 0 B) x² + 4x + 1 = 0 C) x² – 4x – 1 = 0 D) x² – 1 = 0
ਉੱਤਰ: A) x² – 4x + 1 = 0
ਸ਼ਾਰਟਕੱਟ: ਜੋੜ 4, ਗੁਣਨਫਲ 1 ⇒ x² – 4x + 1 = 0
ਟੈਗ: ਮੂਲਾਂ ਤੋਂ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣਾਓ -
ਇੱਕ ਰੇਲਗੱਡੀ 180 ਕਿ.ਮੀ. ਦੀ ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਗਤੀ 5 ਕਿ.ਮੀ./ਘੰਟਾ ਵੱਧ ਹੁੰਦੀ, ਤਾਂ ਲੱਗਿਆ ਸਮਾਂ 1 ਘੰਟਾ ਘੱਟ ਹੁੰਦਾ। ਅਸਲੀ ਗਤੀ? A) 30 ਕਿ.ਮੀ./ਘੰਟਾ B) 36 ਕਿ.ਮੀ./ਘੰਟਾ C) 40 ਕਿ.ਮੀ./ਘੰਟਾ D) 45 ਕਿ.ਮੀ./ਘੰਟਾ
ਉੱਤਰ: C) 40 ਕਿ.ਮੀ./ਘੰਟਾ
ਹੱਲ: 180/s – 180/(s+5) = 1 ⇒ s² + 5s – 900 = 0 ⇒ s = 40
ਟੈਗ: ਗਤੀ-ਸਮਾਂ ਸਮੀਕਰਨ -
ਜੇਕਰ x = 1, ax² – 3x + 2 = 0 ਦਾ ਮੂਲ ਹੈ, ਤਾਂ a = A) 1 B) 2 C) –1 D) 0
ਉੱਤਰ: A) 1
ਹੱਲ: x = 1 ਰੱਖੋ ⇒ a – 3 + 2 = 0 ⇒ a = 1
ਟੈਗ: ਸਥਾਨਪੂਰਨ -
ਉਹ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਜਿਸਦੇ ਪਰਿਮੇਯ ਗੁਣਾਂਕ ਹਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਮੂਲ 3+√2 ਹੈ, ਹੈ A) x² – 6x + 7 = 0 B) x² – 6x – 7 = 0 C) x² + 6x + 7 = 0 D) x² – 9 = 0
ਉੱਤਰ: A) x² – 6x + 7 = 0
ਹੱਲ: ਦੂਸਰਾ ਮੂਲ 3–√2; ਜੋੜ 6, ਗੁਣਨਫਲ 9–2=7
ਟੈਗ: ਸੰਯੁਗਮੀ ਮੂਲ -
ਜੇਕਰ α, β, 2x² – 3x – 5 = 0 ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ, ਤਾਂ 1/α + 1/β ਪਤਾ ਕਰੋ A) –3/5 B) 3/5 C) 5/3 D) –5/3
ਉੱਤਰ: A) –3/5
ਹੱਲ: (α+β)/αβ = (3/2)/(–5/2) = –3/5
ਟੈਗ: ਉਲਟਾਂ ਦਾ ਜੋੜ -
x = 2 + i√5 ‘ਤੇ x² – 4x + 9 ਦਾ ਮੁੱਲ ਹੈ A) 0 B) 5 C) 10 D) –5
ਉੱਤਰ: A) 0
ਹੱਲ: x = 2 + i√5, x² – 4x + 9 = 0 ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ
ਟੈਗ: ਸੰਯੁਕਤ ਮੂਲ ਪੁਸ਼ਟੀ -
x⁴ – 5x² + 4 = 0 ਲਈ ਕਿੰਨੇ ਅਸਲ ਮੂਲ ਹਨ? A) 4 B) 2 C) 1 D) 0
ਉੱਤਰ: A) 4
ਹੱਲ: ਮੰਨ ਲਓ y = x² ⇒ y² – 5y + 4 = 0 ⇒ y = 1, 4 ⇒ x = ±1, ±2
ਟੈਗ: ਦੋ-ਘਾਤੀ
ਤੇਜ਼ ਟ੍ਰਿਕਸ
| ਸਥਿਤੀ | ਸ਼ਾਰਟਕੱਟ | ਉਦਾਹਰਨ |
|---|---|---|
| 1. ਜੋੜ ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਹੋਵੇ | ਸਿੱਧਾ x² – (ਜੋੜ)x + ਗੁਣਨਫਲ = 0 ਲਿਖੋ | ਮੂਲ 7, –3 ⇒ x² – 4x – 21 = 0 |
| 2. D ਦਾ ਅੰਤ 2,3,7,8 ‘ਤੇ ਹੋਵੇ | ਕੋਈ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਨਹੀਂ ⇒ ਮੂਲ ਅਪਰਿਮੇਯ | D = 47 → ਅਪਰਿਮੇਯ |
| 3. ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦਾ ਜੋੜ a+b+c = 0 | ਇੱਕ ਮੂਲ 1 ਹੈ, ਦੂਸਰਾ c/a | 3x² – 5x + 2 = 0 → ਮੂਲ 1, 2/3 |
| 4. bx ਗੁੰਮ ਹੋਵੇ (b = 0) | x = ±√(–c/a) | 4x² – 9 = 0 → x = ±3/2 |
| 5. x ਨੂੰ 1/x ਨਾਲ ਬਦਲੋ | ਨਵੀਂ ਸਮੀਕਰਨ: ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਉਲਟਾਓ | x² – 5x + 6 = 0 → 6x² – 5x + 1 = 0 |
ਤੇਜ਼ ਰਿਵੀਜ਼ਨ
| ਬਿੰਦੂ | ਵੇਰਵਾ |
|---|---|
| 1 | ਸੂਤਰ ਵਰਤਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਾਨਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। |
| 2 | D > 0 → ਦੋ ਅਸਲ ਅਲੱਗ; D = 0 → ਬਰਾਬਰ; D < 0 → ਸੰਯੁਕਤ। |
| 3 | ਜੇਕਰ ਪ੍ਰਸ਼ਨ “ਸੰਭਾਵੀ ਮੁੱਲ” ਪੁੱਛਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ 30 ਸੈਕਿੰਡ ਬਚਾਉਣ ਲਈ ਸੂਤਰ ਦੀ ਬਜਾਏ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਨ ਨੂੰ ਤਰਜੀਹ ਦਿਓ। |
| 4 | ਸ਼ਬਦ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ, ਨਕਾਰਾਤਮਕ/ਕਾਲਪਨਿਕ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ—ਜੇਕਰ ਗਤੀ, ਲੰਬਾਈ, ਸਮਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਰੱਦ ਕਰੋ। |
| 5 | ਪਛਾਣਾਂ ਯਾਦ ਰੱਖੋ: α²+β² = (α+β)² – 2αβ; α³+β³ = (α+β)³ – 3αβ(α+β)। |
| 6 | ਸੰਯੁਗਮੀ ਸਰਡ ਮੂਲ ਪ੍ਰਮੇਯ: ਪਰਿਮੇਯ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਲਈ ਅਪਰਿਮੇਯ ਮੂਲ ਜੋੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। |
| 7 | ax²+bx+c ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ a > 0, ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਜੇਕਰ a < 0। |
| 8 | ਸਿਖਰ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ = –b/2a; ਨਿਊਨਤਮ/ਅਧਿਕਤਮ ਮੁੱਲ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੋ। |
| 9 | ਵਿਕਲਪ ਖ਼ਾਰਜ ਕਰਨ ਵਿੱਚ, 2–3 ਗਲਤ ਵਿਕਲਪਾਂ ਨੂੰ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਕੱਟਣ ਲਈ ਆਸਾਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ (0,1,–1) ਸਥਾਨਪੂਰਨ ਕਰੋ। |
| 10 | ਰੇਲਵੇ ਪ੍ਰੀਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਸੰਯੁਕਤ ਮੂਲ ਘੱਟ ਹੀ ਪ੍ਰੀਖੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ; ਅਸਲ, ਪਰਿਮੇਯ, ਬਰਾਬਰ-ਮੂਲ ਕੇਸਾਂ ‘ਤੇ ਧਿਆਨ ਦਿਓ। |
BETA
