ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ
ମୁଖ୍ୟ ଧାରଣାସମୂହ
| # | ଧାରଣା | ବ୍ୟାଖ୍ୟା |
|---|---|---|
| 1 | ମାନକ ରୂପ | ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) |
| 2 | ମୂଳର ସୂତ୍ର | x = [-b ± √(b²–4ac)] / 2a |
| 3 | ବିଵେଚକ (D) | D = b² – 4ac; ମୂଳର ପ୍ରକୃତି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରେ |
| 4 | ମୂଳର ସମଷ୍ଟି (α+β) | –b / a |
| 5 | ମୂଳର ଗୁଣଫଳ (αβ) | c / a |
| 6 | ବାସ୍ତବ ଓ ସମାନ ମୂଳ | D = 0 |
| 7 | ପରିମେୟ ମୂଳ | D ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଏବଂ a,b,c ପରିମେୟ |
| 8 | ଶବ୍ଦ-ସମସ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ | ସମୀକରଣ ଗଠନ → ସରଳୀକରଣ → ସମାଧାନ → ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଯାଞ୍ଚ |
15 ଅଭ୍ୟାସ ବହୁବିକଳ୍ପୀୟ ପ୍ରଶ୍ନ
-
x² – 7x + 12 = 0 ର ମୂଳ ହେଉଛି A) 3, 4 B) –3, –4 C) 2, 6 D) 1, 12
ଉତ୍ତର: A) 3, 4
ସମାଧାନ: x² – 7x + 12 = (x – 3)(x – 4) = 0 ⇒ x = 3 କିମ୍ବା 4
ଶର୍ଟକଟ୍: 12 ର ଗୁଣନୀୟକ ଯାହାର ଯୋଗଫଳ 7 → 3 ଓ 4
ଟ୍ୟାଗ୍: ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ -
ଯଦି 2x² – 5x + k = 0 ର ମୂଳ ସମାନ ହୁଏ, ତେବେ k = ? A) 25/4 B) 25/8 C) 5/2 D) 5
ଉତ୍ତର: B) 25/8
ସମାଧାନ: D = 0 ⇒ 25 – 8k = 0 ⇒ k = 25/8
ଟ୍ୟାଗ୍: ବିଵେଚକ -
3x² – 12x + 9 = 0 ର ମୂଳର ସମଷ୍ଟି ହେଉଛି A) 4 B) –4 C) 3 D) –3
ଉତ୍ତର: A) 4
ସମାଧାନ: –b/a = 12/3 = 4
ଟ୍ୟାଗ୍: ମୂଳର ସମଷ୍ଟି -
5x² + 8x – 3 = 0 ର ମୂଳର ଗୁଣଫଳ ହେଉଛି A) –3/5 B) 8/5 C) 3/5 D) –8/5
ଉତ୍ତର: A) –3/5
ସମାଧାନ: c/a = –3/5
ଟ୍ୟାଗ୍: ମୂଳର ଗୁଣଫଳ -
କେଉଁ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣର ମୂଳ ଅପରିମେୟ? A) x² – 5x + 6 B) x² – 3x + 1 C) x² – 4x + 4 D) x² – 9
ଉତ୍ତର: B) x² – 3x + 1
ସମାଧାନ: D = 9 – 4 = 5 (ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ନୁହେଁ)
ଟ୍ୟାଗ୍: ମୂଳର ପ୍ରକୃତି -
ଯଦି α, β ହେଉଛନ୍ତି x² – 6x + 2 = 0 ର ମୂଳ, ତେବେ α² + β² କଣ? A) 32 B) 36 C) 28 D) 30
ଉତ୍ତର: A) 32
ସମାଧାନ: α²+β² = (α+β)² – 2αβ = 36 – 4 = 32
ଶର୍ଟକଟ୍: ପରିଚୟଟି ମନେରଖନ୍ତୁ
ଟ୍ୟାଗ୍: ସମମିତୀୟ ମୂଳ -
x² – (k+4)x + 4k = 0 ର ଗୋଟିଏ ମୂଳ 4; ଅନ୍ୟଟି ହେଉଛି A) k B) 4 C) 1 D) 2
ଉତ୍ତର: A) k
ସମାଧାନ: ଗୁଣଫଳ 4k; ଗୋଟିଏ ଉତ୍ପାଦକ 4 ⇒ ଅନ୍ୟଟି = k
ଟ୍ୟାଗ୍: ଗୁଣଫଳ ସମ୍ପର୍କ -
କେଉଁ k ପାଇଁ (k+1)x² – 4kx + 4 = 0 ର ବାସ୍ତବ ମୂଳ ଥାଏ? A) k ≥ 1 B) k ≤ 1 C) k ≥ –1 D) ସମସ୍ତ k
ଉତ୍ତର: A) k ≥ 1
ସମାଧାନ: D ≥ 0 ⇒ 16k² – 16(k+1) ≥ 0 ⇒ k² – k – 1 ≥ 0 ⇒ k ≥ 1
ଟ୍ୟାଗ୍: D ସହିତ ଅସମତା -
ଯେଉଁ ସମୀକରଣର ମୂଳ 2+√3 ଓ 2–√3, ସେହି ସମୀକରଣ ହେଉଛି A) x² – 4x + 1 = 0 B) x² + 4x + 1 = 0 C) x² – 4x – 1 = 0 D) x² – 1 = 0
ଉତ୍ତର: A) x² – 4x + 1 = 0
ଶର୍ଟକଟ୍: ସମଷ୍ଟି 4, ଗୁଣଫଳ 1 ⇒ x² – 4x + 1 = 0
ଟ୍ୟାଗ୍: ମୂଳରୁ ସମୀକରଣ ଗଠନ -
ଏକ ଟ୍ରେନ୍ 180 କି.ମି. ଯାତ୍ରା କରେ। ଯଦି ଗତି 5 କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ଅଧିକ ହୋଇଥାନ୍ତା, ତେବେ ଲାଗିଥିବା ସମୟ 1 ଘଣ୍ଟା କମ୍ ହୋଇଥାନ୍ତା। ମୂଳ ଗତି କେତେ? A) 30 କି.ମି./ଘଣ୍ଟା B) 36 କି.ମି./ଘଣ୍ଟା C) 40 କି.ମି./ଘଣ୍ଟା D) 45 କି.ମି./ଘଣ୍ଟା
ଉତ୍ତର: C) 40 କି.ମି./ଘଣ୍ଟା
ସମାଧାନ: 180/s – 180/(s+5) = 1 ⇒ s² + 5s – 900 = 0 ⇒ s = 40
ଟ୍ୟାଗ୍: ଗତି-ସମୟ ସମୀକରଣ -
ଯଦି x = 1 ହେଉଛି ax² – 3x + 2 = 0 ର ଏକ ମୂଳ, ତେବେ a = A) 1 B) 2 C) –1 D) 0
ଉତ୍ତର: A) 1
ସମାଧାନ: x = 1 ବସାଇଲେ ⇒ a – 3 + 2 = 0 ⇒ a = 1
ଟ୍ୟାଗ୍: ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ -
ଯେଉଁ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣର ପରିମେୟ ସହଗାଣିକା ଅଛି ଏବଂ ଯାହାର ଗୋଟିଏ ମୂଳ 3+√2, ସେହି ସମୀକରଣ ହେଉଛି A) x² – 6x + 7 = 0 B) x² – 6x – 7 = 0 C) x² + 6x + 7 = 0 D) x² – 9 = 0
ଉତ୍ତର: A) x² – 6x + 7 = 0
ସମାଧାନ: ଅନ୍ୟ ମୂଳ 3–√2; ସମଷ୍ଟି 6, ଗୁଣଫଳ 9–2=7
ଟ୍ୟାଗ୍: ସଂଯୁକ୍ତ ମୂଳ -
ଯଦି α, β ହେଉଛନ୍ତି 2x² – 3x – 5 = 0 ର ମୂଳ, ତେବେ 1/α + 1/β କଣ? A) –3/5 B) 3/5 C) 5/3 D) –5/3
ଉତ୍ତର: A) –3/5
ସମାଧାନ: (α+β)/αβ = (3/2)/(–5/2) = –3/5
ଟ୍ୟାଗ୍: ବ୍ୟୁତ୍କ୍ରମର ସମଷ୍ଟି -
x = 2 + i√5 ରେ x² – 4x + 9 ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ? A) 0 B) 5 C) 10 D) –5
ଉତ୍ତର: A) 0
ସମାଧାନ: x = 2 + i√5, x² – 4x + 9 = 0 ସମୀକରଣକୁ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରେ
ଟ୍ୟାଗ୍: ଜଟିଳ ମୂଳ ଯାଞ୍ଚ -
x⁴ – 5x² + 4 = 0 ପାଇଁ କେତେ ଗୋଟି ବାସ୍ତବ ମୂଳ ଅଛି? A) 4 B) 2 C) 1 D) 0
ଉତ୍ତର: A) 4
ସମାଧାନ: ଧରାଯାଉ y = x² ⇒ y² – 5y + 4 = 0 ⇒ y = 1, 4 ⇒ x = ±1, ±2
ଟ୍ୟାଗ୍: ଦ୍ୱିଘାତୀୟ
ଦ୍ରୁତ ଟ୍ରିକ୍
| ପରିସ୍ଥିତି | ଶର୍ଟକଟ୍ | ଉଦାହରଣ |
|---|---|---|
| 1. ସମଷ୍ଟି ଓ ଗୁଣଫଳ ଜଣାଥିଲେ | ସିଧାସଳଖ x² – (ସମଷ୍ଟି)x + ଗୁଣଫଳ = 0 ଲେଖନ୍ତୁ | ମୂଳ 7, –3 ⇒ x² – 4x – 21 = 0 |
| 2. D ର ଶେଷ 2,3,7,8 ହେଲେ | କୌଣସି ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ନୁହେଁ ⇒ ମୂଳ ଅପରିମେୟ | D = 47 → ଅପରିମେୟ |
| 3. ସହଗାଣିକା a+b+c = 0 ହେଲେ | ଗୋଟିଏ ମୂଳ 1, ଅନ୍ୟଟି c/a | 3x² – 5x + 2 = 0 → ମୂଳ 1, 2/3 |
| 4. bx ଅନୁପସ୍ଥିତ (b = 0) ହେଲେ | x = ±√(–c/a) | 4x² – 9 = 0 → x = ±3/2 |
| 5. x ର ସ୍ଥାନରେ 1/x ବସାଇଲେ | ନୂତନ ସମୀକରଣ: ସହଗାଣିକାଗୁଡ଼ିକର କ୍ରମ ଓଲଟାନ୍ତୁ | x² – 5x + 6 = 0 → 6x² – 5x + 1 = 0 |
ଶୀଘ୍ର ସମୀକ୍ଷା
| ବିନ୍ଦୁ | ବିବରଣୀ |
|---|---|
| 1 | ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପୂର୍ବରୁ ସମୀକରଣକୁ ସର୍ବଦା ମାନକ ରୂପରେ ଲେଖନ୍ତୁ। |
| 2 | D > 0 → ଦୁଇଟି ପୃଥକ ବାସ୍ତବ; D = 0 → ସମାନ; D < 0 → ଜଟିଳ। |
| 3 | ଯଦି ପ୍ରଶ୍ନରେ “ସମ୍ଭାବ୍ୟ ମୂଲ୍ୟ” ପଚାରେ, 30 ସେକେଣ୍ଡ ସମୟ ବଞ୍ଚାଇବା ପାଇଁ ସୂତ୍ର ଅପେକ୍ଷା ଉତ୍ପାଦକୀକରଣକୁ ପ୍ରାଧାନ୍ୟ ଦିଅନ୍ତୁ। |
| 4 | ଶବ୍ଦ-ସମସ୍ୟା ପାଇଁ, ନକାରାତ୍ମକ/କାଳ୍ପନିକ ସମାଧାନ ଯାଞ୍ଚ କରନ୍ତୁ—ଯଦି ଗତି, ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ସମୟ ନକାରାତ୍ମକ ହୁଏ ତେବେ ପ୍ରତ୍ୟାଖ୍ୟାନ କରନ୍ତୁ। |
| 5 | ପରିଚୟଗୁଡ଼ିକ ମନେରଖନ୍ତୁ: α²+β² = (α+β)² – 2αβ; α³+β³ = (α+β)³ – 3αβ(α+β)। |
| 6 | ସଂଯୁକ୍ତ ଅପରିମେୟ ମୂଳ ଉପପାଦ୍ୟ: ପରିମେୟ ସହଗାଣିକା ପାଇଁ ଅପରିମେୟ ମୂଳଗୁଡ଼ିକ ଯୋଡ଼ି ହୋଇ ଆସେ। |
| 7 | ax²+bx+c ର ଗ୍ରାଫ୍ ଉର୍ଦ୍ଧ୍ୱମୁଖୀ ହୁଏ ଯଦି a > 0, ଅଧୋମୁଖୀ ହୁଏ ଯଦି a < 0। |
| 8 | ଶୀର୍ଷର x-ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ = –b/2a; ନ୍ୟୁନତମ/ଅଧିକତମ ମୂଲ୍ୟ ଶୀଘ୍ର ପାଇବା ପାଇଁ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ। |
| 9 | ବିକଳ୍ପ ବହିଷ୍କାରରେ, ସହଜ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା (0,1,–1) ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ କରି 2–3 ଟି ଭୁଲ ବିକଳ୍ପ ଶୀଘ୍ର କାଟିଦିଅନ୍ତୁ। |
| 10 | ରେଳ ପରୀକ୍ଷାରେ ଜଟିଳ ମୂଳ କ୍ୱଚିତ୍ ପରୀକ୍ଷା କରାଯାଏ; ବାସ୍ତବ, ପରିମେୟ, ସମାନ-ମୂଳ କେଶ୍ ଉପରେ ଧ୍ୟାନ ଦିଅନ୍ତୁ। |
BETA
