இருபடிச் சமன்பாடுகள்
முக்கிய கருத்துக்கள்
| # | கருத்து | விளக்கம் |
|---|---|---|
| 1 | நிலையான வடிவம் | ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) |
| 2 | மூலங்களுக்கான சூத்திரம் | x = [-b ± √(b²–4ac)] / 2a |
| 3 | பாகுபாடு (D) | D = b² – 4ac; மூலங்களின் தன்மையை தீர்மானிக்கும் |
| 4 | மூலங்களின் கூடுதல் (α+β) | –b / a |
| 5 | மூலங்களின் பெருக்கல் (αβ) | c / a |
| 6 | மெய் மற்றும் சமமான மூலங்கள் | D = 0 |
| 7 | விகிதமுறு மூலங்கள் | D ஒரு சரியான வர்க்கம் மற்றும் a,b,c விகிதமுறு எண்கள் |
| 8 | சொல்-சிக்கல் நடைமுறை | சமன்பாட்டை உருவாக்கு → எளிமைப்படுத்து → தீர் → சாத்தியத்தை சரிபார் |
15 பயிற்சி பலதேர்வு வினாக்கள்
-
x² – 7x + 12 = 0 இன் மூலங்கள் A) 3, 4 B) –3, –4 C) 2, 6 D) 1, 12
விடை: A) 3, 4
தீர்வு: x² – 7x + 12 = (x – 3)(x – 4) = 0 ⇒ x = 3 அல்லது 4
குறுக்குவழி: 12 இன் காரணிகள், கூடுதல் 7 → 3 & 4
குறிச்சொல்: காரணிப்படுத்தல் -
2x² – 5x + k = 0 சமமான மூலங்களை கொண்டிருந்தால், k = ? A) 25/4 B) 25/8 C) 5/2 D) 5
விடை: B) 25/8
தீர்வு: D = 0 ⇒ 25 – 8k = 0 ⇒ k = 25/8
குறிச்சொல்: பாகுபாடு -
3x² – 12x + 9 = 0 இன் மூலங்களின் கூடுதல் A) 4 B) –4 C) 3 D) –3
விடை: A) 4
தீர்வு: –b/a = 12/3 = 4
குறிச்சொல்: மூலங்களின் கூடுதல் -
5x² + 8x – 3 = 0 இன் மூலங்களின் பெருக்கல் A) –3/5 B) 8/5 C) 3/5 D) –8/5
விடை: A) –3/5
தீர்வு: c/a = –3/5
குறிச்சொல்: மூலங்களின் பெருக்கல் -
எந்த இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு விகிதமுறா மூலங்கள் உள்ளன? A) x² – 5x + 6 B) x² – 3x + 1 C) x² – 4x + 4 D) x² – 9
விடை: B) x² – 3x + 1
தீர்வு: D = 9 – 4 = 5 (சரியான வர்க்கம் அல்ல)
குறிச்சொல்: மூலங்களின் தன்மை -
α, β என்பன x² – 6x + 2 = 0 இன் மூலங்கள் எனில், α² + β² காண்க A) 32 B) 36 C) 28 D) 30
விடை: A) 32
தீர்வு: α²+β² = (α+β)² – 2αβ = 36 – 4 = 32
குறுக்குவழி: முற்றொருமையை நினைவில் கொள்ளவும்
குறிச்சொல்: சமச்சீர் மூலங்கள் -
x² – (k+4)x + 4k = 0 இன் ஒரு மூலம் 4; மற்றொரு மூலம் A) k B) 4 C) 1 D) 2
விடை: A) k
தீர்வு: பெருக்கல் 4k; ஒரு காரணி 4 ⇒ மற்றொன்று = k
குறிச்சொல்: பெருக்கல் தொடர்பு -
எந்த k மதிப்பிற்கு (k+1)x² – 4kx + 4 = 0 மெய் மூலங்களை கொண்டிருக்கும்? A) k ≥ 1 B) k ≤ 1 C) k ≥ –1 D) அனைத்து k
விடை: A) k ≥ 1
தீர்வு: D ≥ 0 ⇒ 16k² – 16(k+1) ≥ 0 ⇒ k² – k – 1 ≥ 0 ⇒ k ≥ 1
குறிச்சொல்: D உடன் சமனிலி -
2+√3 மற்றும் 2–√3 ஆகிய மூலங்களை கொண்ட சமன்பாடு A) x² – 4x + 1 = 0 B) x² + 4x + 1 = 0 C) x² – 4x – 1 = 0 D) x² – 1 = 0
விடை: A) x² – 4x + 1 = 0
குறுக்குவழி: கூடுதல் 4, பெருக்கல் 1 ⇒ x² – 4x + 1 = 0
குறிச்சொல்: மூலங்களிலிருந்து சமன்பாடு உருவாக்குதல் -
ஒரு ரயில் 180 கிமீ பயணிக்கிறது. வேகம் 5 கிமீ/மணி அதிகமாக இருந்திருந்தால், எடுத்துக்கொள்ளும் நேரம் 1 மணி குறைவாக இருந்திருக்கும். அசல் வேகம்? A) 30 கிமீ/மணி B) 36 கிமீ/மணி C) 40 கிமீ/மணி D) 45 கிமீ/மணி
விடை: C) 40 கிமீ/மணி
தீர்வு: 180/s – 180/(s+5) = 1 ⇒ s² + 5s – 900 = 0 ⇒ s = 40
குறிச்சொல்: வேகம்-நேர சமன்பாடு -
x = 1 என்பது ax² – 3x + 2 = 0 இன் ஒரு மூலம் எனில், a = A) 1 B) 2 C) –1 D) 0
விடை: A) 1
தீர்வு: x = 1 எனப் பிரதியிட ⇒ a – 3 + 2 = 0 ⇒ a = 1
குறிச்சொல்: பிரதியிடுதல் -
3+√2 ஐ ஒரு மூலமாக கொண்ட, விகிதமுறு கெழுக்களை உடைய இருபடிச் சமன்பாடு A) x² – 6x + 7 = 0 B) x² – 6x – 7 = 0 C) x² + 6x + 7 = 0 D) x² – 9 = 0
விடை: A) x² – 6x + 7 = 0
தீர்வு: மற்றொரு மூலம் 3–√2; கூடுதல் 6, பெருக்கல் 9–2=7
குறிச்சொல்: இணைந்த மூலம் -
α, β என்பன 2x² – 3x – 5 = 0 இன் மூலங்கள் எனில், 1/α + 1/β காண்க A) –3/5 B) 3/5 C) 5/3 D) –5/3
விடை: A) –3/5
தீர்வு: (α+β)/αβ = (3/2)/(–5/2) = –3/5
குறிச்சொல்: தலைகீழிகளின் கூடுதல் -
x = 2 + i√5 எனில், x² – 4x + 9 இன் மதிப்பு A) 0 B) 5 C) 10 D) –5
விடை: A) 0
தீர்வு: x = 2 + i√5 என்பது x² – 4x + 9 = 0 ஐ நிறைவு செய்கிறது
குறிச்சொல்: சிக்கலெண் மூல சரிபார்ப்பு -
x⁴ – 5x² + 4 = 0 க்கு எத்தனை மெய் மூலங்கள் உள்ளன? A) 4 B) 2 C) 1 D) 0
விடை: A) 4
தீர்வு: y = x² என்க ⇒ y² – 5y + 4 = 0 ⇒ y = 1, 4 ⇒ x = ±1, ±2
குறிச்சொல்: இருபடி இருபடிச் சமன்பாடு
வேக தந்திரங்கள்
| சூழ்நிலை | குறுக்குவழி | எடுத்துக்காட்டு |
|---|---|---|
| 1. கூடுதல் & பெருக்கல் தெரிந்தால் | நேரடியாக x² – (கூடுதல்)x + பெருக்கல் = 0 என எழுதுக | மூலங்கள் 7, –3 ⇒ x² – 4x – 21 = 0 |
| 2. D இன் முடிவு 2,3,7,8 | சரியான வர்க்கம் இல்லை ⇒ மூலங்கள் விகிதமுறா | D = 47 → விகிதமுறா |
| 3. கெழுக்கள் a+b+c = 0 | ஒரு மூலம் 1, மற்றொன்று c/a | 3x² – 5x + 2 = 0 → மூலங்கள் 1, 2/3 |
| 4. bx இல்லை (b = 0) | x = ±√(–c/a) | 4x² – 9 = 0 → x = ±3/2 |
| 5. x ஐ 1/x ஆல் மாற்றுக | புதிய சமன்பாடு: கெழுக்களின் வரிசையை தலைகீழாக்கு | x² – 5x + 6 = 0 → 6x² – 5x + 1 = 0 |
விரைவு மீள்பார்வை
| புள்ளி | விவரம் |
|---|---|
| 1 | சூத்திரத்தை பயன்படுத்துவதற்கு முன், சமன்பாட்டை எப்போதும் நிலையான வடிவத்தில் எழுதவும். |
| 2 | D > 0 → இரண்டு மெய் மற்றும் வெவ்வேறான; D = 0 → சமமான; D < 0 → சிக்கலெண். |
| 3 | வினா “சாத்தியமான மதிப்பு” எனக் கேட்டால், 30 வினாடி சேமிக்க, சூத்திரத்தை விட காரணிப்படுத்தலை விரும்புக. |
| 4 | சொல்-சிக்கல்களுக்கு, எதிர்மறை/கற்பனை தீர்வுகளை சரிபார்க்கவும்—வேகம், நீளம், நேரம் எதிர்மறையாக இருந்தால் நிராகரிக்கவும். |
| 5 | முற்றொருமைகளை நினைவில் கொள்ளவும்: α²+β² = (α+β)² – 2αβ; α³+β³ = (α+β)³ – 3αβ(α+β). |
| 6 | இணைந்த விகிதமுறா மூல தேற்றம்: விகிதமுறு கெழுக்களுக்கு, விகிதமுறா மூலங்கள் இணையாக நிகழும். |
| 7 | ax²+bx+c இன் வரைபடம் a > 0 எனில் மேல்நோக்கி திறக்கும், a < 0 எனில் கீழ்நோக்கி திறக்கும். |
| 8 | உச்சியின் x-அச்சுதூரம் = –b/2a; குறைந்தபட்ச/அதிகபட்ச மதிப்பை விரைவாக கண்டறிய பயன்படுத்துக. |
| 9 | விருப்ப நீக்கத்தில், எளிய முழு எண்களை (0,1,–1) பிரதியிட்டு 2–3 தவறான விருப்பங்களை விரைவாக அடிக்கவும். |
| 10 | இரயில்வே தேர்வுகள் சிக்கலெண் மூலங்களை அரிதாகவே சோதிக்கும்; மெய், விகிதமுறு, சமமூல நிகழ்வுகளில் கவனம் செலுத்துக. |
BETA
