দ্বিঘাত সমীকৰণ
মূল ধাৰণাসমূহ
| # | ধাৰণা | ব্যাখ্যা |
|---|---|---|
| 1 | প্ৰামাণিক ৰূপ | ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) |
| 2 | মূলৰ সূত্ৰ | x = [-b ± √(b²–4ac)] / 2a |
| 3 | নিৰ্ণায়ক (D) | D = b² – 4ac; মূলৰ প্ৰকৃতি নিৰ্ধাৰণ কৰে |
| 4 | মূলৰ যোগফল (α+β) | –b / a |
| 5 | মূলৰ গুণফল (αβ) | c / a |
| 6 | বাস্তৱ আৰু সমান মূল | D = 0 |
| 7 | মূলদ মূল | D এটা পূৰ্ণ বৰ্গ আৰু a,b,c মূলদ |
| 8 | শব্দ-সমস্যা পদ্ধতি | সমীকৰণ গঠন → সহজীকৰণ → সমাধান → সম্ভাব্যতা পৰীক্ষা |
১৫টা অনুশীলনী MCQ
-
x² – 7x + 12 = 0 ৰ মূল হৈছে A) 3, 4 B) –3, –4 C) 2, 6 D) 1, 12
উত্তৰ: A) 3, 4
সমাধান: x² – 7x + 12 = (x – 3)(x – 4) = 0 ⇒ x = 3 বা 4
শৰ্টকাট: 12 ৰ উৎপাদক যি 7 ৰ যোগফল দিয়ে → 3 আৰু 4
টেগ: উৎপাদকীকৰণ -
যদি 2x² – 5x + k = 0 ৰ সমান মূল থাকে, তেন্তে k = ? A) 25/4 B) 25/8 C) 5/2 D) 5
উত্তৰ: B) 25/8
সমাধান: D = 0 ⇒ 25 – 8k = 0 ⇒ k = 25/8
টেগ: নিৰ্ণায়ক -
3x² – 12x + 9 = 0 ৰ মূলৰ যোগফল হৈছে A) 4 B) –4 C) 3 D) –3
উত্তৰ: A) 4
সমাধান: –b/a = 12/3 = 4
টেগ: মূলৰ যোগফল -
5x² + 8x – 3 = 0 ৰ মূলৰ গুণফল হৈছে A) –3/5 B) 8/5 C) 3/5 D) –8/5
উত্তৰ: A) –3/5
সমাধান: c/a = –3/5
টেগ: মূলৰ গুণফল -
কোনটো দ্বিঘাত সমীকৰণৰ অমূলদ মূল আছে? A) x² – 5x + 6 B) x² – 3x + 1 C) x² – 4x + 4 D) x² – 9
উত্তৰ: B) x² – 3x + 1
সমাধান: D = 9 – 4 = 5 (পূৰ্ণ বৰ্গ নহয়)
টেগ: মূলৰ প্ৰকৃতি -
যদি α, β হৈছে x² – 6x + 2 = 0 ৰ মূল, তেন্তে α² + β² নিৰ্ণয় কৰা A) 32 B) 36 C) 28 D) 30
উত্তৰ: A) 32
সমাধান: α²+β² = (α+β)² – 2αβ = 36 – 4 = 32
শৰ্টকাট: সূত্ৰ মনত ৰাখিব
টেগ: সমমিতিক মূল -
x² – (k+4)x + 4k = 0 ৰ এটা মূল 4; আনটো হৈছে A) k B) 4 C) 1 D) 2
উত্তৰ: A) k
সমাধান: গুণফল 4k; এটা উৎপাদক 4 ⇒ আনটো = k
টেগ: গুণফল সম্পৰ্ক -
k ৰ কি মানৰ বাবে (k+1)x² – 4kx + 4 = 0 ৰ বাস্তৱ মূল থাকে? A) k ≥ 1 B) k ≤ 1 C) k ≥ –1 D) সকলো k
উত্তৰ: A) k ≥ 1
সমাধান: D ≥ 0 ⇒ 16k² – 16(k+1) ≥ 0 ⇒ k² – k – 1 ≥ 0 ⇒ k ≥ 1
টেগ: D ৰ সৈতে অসমতা -
যি সমীকৰণৰ মূল 2+√3 আৰু 2–√3 সেইটো হৈছে A) x² – 4x + 1 = 0 B) x² + 4x + 1 = 0 C) x² – 4x – 1 = 0 D) x² – 1 = 0
উত্তৰ: A) x² – 4x + 1 = 0
শৰ্টকাট: যোগফল 4, গুণফল 1 ⇒ x² – 4x + 1 = 0
টেগ: মূলৰ পৰা সমীকৰণ গঠন -
এখন ৰেলগাড়ীয়ে 180 km যাত্ৰা কৰে। যদি গতি 5 km/h বেছি হ’লহেতেন, লগা সময় 1 h কমিলহেতেন। প্ৰাৰম্ভিক গতি? A) 30 km/h B) 36 km/h C) 40 km/h D) 45 km/h
উত্তৰ: C) 40 km/h
সমাধান: 180/s – 180/(s+5) = 1 ⇒ s² + 5s – 900 = 0 ⇒ s = 40
টেগ: গতি-সময় সমীকৰণ -
যদি x = 1 হৈছে ax² – 3x + 2 = 0 ৰ এটা মূল, তেন্তে a = A) 1 B) 2 C) –1 D) 0
উত্তৰ: A) 1
সমাধান: x = 1 বহুৱা ⇒ a – 3 + 2 = 0 ⇒ a = 1
টেগ: প্ৰতিষ্ঠাপন -
যি দ্বিঘাত সমীকৰণৰ মূলদ সহগ আছে আৰু যাৰ এটা মূল 3+√2 সেইটো হৈছে A) x² – 6x + 7 = 0 B) x² – 6x – 7 = 0 C) x² + 6x + 7 = 0 D) x² – 9 = 0
উত্তৰ: A) x² – 6x + 7 = 0
সমাধান: আনটো মূল 3–√2; যোগফল 6, গুণফল 9–2=7
টেগ: অনুবন্ধী মূল -
যদি α, β হৈছে 2x² – 3x – 5 = 0 ৰ মূল, তেন্তে 1/α + 1/β নিৰ্ণয় কৰা A) –3/5 B) 3/5 C) 5/3 D) –5/3
উত্তৰ: A) –3/5
সমাধান: (α+β)/αβ = (3/2)/(–5/2) = –3/5
টেগ: প্ৰতিলোমৰ যোগফল -
x = 2 + i√5 ত x² – 4x + 9 ৰ মান হৈছে A) 0 B) 5 C) 10 D) –5
উত্তৰ: A) 0
সমাধান: x = 2 + i√5 লে x² – 4x + 9 = 0 ক সন্তুষ্ট কৰে
টেগ: জটিল মূল পৰীক্ষা -
x⁴ – 5x² + 4 = 0 ৰ কিমানটা বাস্তৱ মূল আছে? A) 4 B) 2 C) 1 D) 0
উত্তৰ: A) 4
সমাধান: y = x² ধৰা হ’ল ⇒ y² – 5y + 4 = 0 ⇒ y = 1, 4 ⇒ x = ±1, ±2
টেগ: দ্বিচতুৰ্থক
দ্ৰুত কৌশল
| পৰিস্থিতি | শৰ্টকাট | উদাহৰণ |
|---|---|---|
| 1. যোগফল আৰু গুণফল জনা | পোনপটীয়াকৈ x² – (যোগফল)x + গুণফল = 0 লিখা | মূল 7, –3 ⇒ x² – 4x – 21 = 0 |
| 2. D ৰ শেষত 2,3,7,8 | পূৰ্ণ বৰ্গ নহয় ⇒ মূল অমূলদ | D = 47 → অমূলদ |
| 3. সহগ a+b+c = 0 | এটা মূল 1, আনটো c/a | 3x² – 5x + 2 = 0 → মূল 1, 2/3 |
| 4 | bx নথকা (b = 0) | x = ±√(–c/a) |
| 5. x ক 1/x ৰে সলনি কৰা | নতুন সমীকৰণ: সহগৰ ক্ৰম উল্টোৱা | x² – 5x + 6 = 0 → 6x² – 5x + 1 = 0 |
দ্ৰুত পুনৰীক্ষণ
| পইণ্ট | বিৱৰণ |
|---|---|
| 1 | সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰাৰ আগতে সদায় সমীকৰণটো প্ৰামাণিক ৰূপত লিখিবা। |
| 2 | D > 0 → দুটা বাস্তৱ পৃথক; D = 0 → সমান; D < 0 → জটিল। |
| 3 | যদি প্ৰশ্নই “সম্ভাব্য মান” সোধে, তেন্তে সূত্ৰতকৈ উৎপাদকীকৰণ প্ৰয়োগ কৰি 30 ছেকেণ্ড সাঁচিবা। |
| 4 | শব্দ-সমস্যাবোৰৰ বাবে, ঋণাত্মক/কাল্পনিক সমাধান পৰীক্ষা কৰিবা—যদি গতি, দৈৰ্ঘ্য, সময় ঋণাত্মক হয় তেন্তে প্ৰত্যাখ্যান কৰিবা। |
| 5 | সূত্ৰবোৰ মনত ৰাখিবা: α²+β² = (α+β)² – 2αβ; α³+β³ = (α+β)³ – 3αβ(α+β)। |
| 6 | অনুবন্ধী অমূলদ মূল উপপাদ্য: মূলদ সহগৰ বাবে অমূলদ মূল যোৰা হৈ থাকে। |
| 7 | ax²+bx+c ৰ লেখ ওপৰলৈ খোলা যদি a > 0, তললৈ খোলা যদি a < 0। |
| 8 | শীৰ্ষবিন্দুৰ x-স্থানাংক = –b/2a; সৰ্বনিম্ন/সৰ্বোচ্চ মান দ্ৰুত উলিয়াবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা। |
| 9 | বিকল্প বাদ দিয়াৰ ক্ষেত্ৰত, সহজ পূৰ্ণাংক (0,1,–1) প্ৰতিষ্ঠাপন কৰি ২-৩টা ভুল বিকল্প দ্ৰুত বাদ দিবা। |
| 10 | ৰে’লৱে পৰীক্ষাত জটিল মূল পৰীক্ষা কৰা বিৰল; বাস্তৱ, মূলদ, সমান-মূলৰ ক্ষেত্ৰত মনোনিৱেশ কৰা। |
BETA
