فوری نظریہ

ایک ترقی اعداد کا ایک سلسلہ ہے جو ایک مخصوص نمونے کی پیروی کرتا ہے۔
ریلوے امتحانات بنیادی طور پر دو اقسام کا امتحان لیتے ہیں:

1. حسابی ترقی (AP): ہر اگلا رقمیہ پچھلے رقمیہ میں ایک مقررہ عدد d (مشترک فرق) جمع کر کے حاصل کیا جاتا ہے۔
   n-واں رقمیہ: aₙ = a + (n – 1)d
   پہلے n رقمیوں کا مجموعہ: Sₙ = n/2 [2a + (n – 1)d] یا Sₙ = n/2 (پہلا رقمیہ + آخری رقمیہ)

2. ہندسی ترقی (GP): ہر اگلا رقمیہ پچھلے رقمیہ کو ایک مقررہ عدد r (مشترک تناسب) سے ضرب دے کر حاصل کیا جاتا ہے۔
   n-واں رقمیہ: aₙ = arⁿ⁻¹
   پہلے n رقمیوں کا مجموعہ (r ≠ 1): Sₙ = a(rⁿ – 1)/(r – 1)

یاد رکھیں:

• اگر متوالی رقمیوں کے درمیان فرق مستقل ہو → AP
• اگر متوالی رقمیوں کے درمیان تناسب مستقل ہو → GP
• AP میں تین اعداد کے لیے: درمیانی = (پہلا + تیسرا)/2
• GP میں تین اعداد کے لیے: درمیانی² = پہلا × تیسرا

مشق کے MCQs

1. AP 3, 8, 13, … کا دسواں رقمیہ ہے
   a) 48
   b) 50
   c) 52
   d) 55

AnswerCorrect: a) 48.
a = 3, d = 5; a₁₀ = 3 + 9×5 = 48

2. پہلے 20 قدرتی اعداد کا مجموعہ ہے
   a) 190
   b) 210
   c) 380
   d) 410

AnswerCorrect: b) 210.
S = n(n+1)/2 = 20×21/2 = 210

3. AP 5, 9, 13, … کا کون سا رقمیہ 77 ہے؟
   a) 18واں
   b) 19واں
   c) 20واں
   d) 21واں

AnswerCorrect: b) 19واں.
77 = 5 + (n-1)4 ⇒ n = 19

4. GP 2, 6, 18, 54, … کا مشترک تناسب ہے
   a) 2
   b) 3
   c) 4
   d) 6

AnswerCorrect: b) 3.
r = 6/2 = 3

5. GP 5, 10, 20, … کا چھٹا رقمیہ ہے
   a) 160
   b) 180
   c) 200
   d) 320

AnswerCorrect: a) 160.
a₆ = 5×2⁵ = 160

6. AP 4, 7, 10, … کے پہلے 5 رقمیوں کا مجموعہ ہے
   a) 50
   b) 55
   c) 60
   d) 65

AnswerCorrect: c) 60.
S₅ = 5/2 [2×4 + 4×3] = 60

7. اگر کسی AP کا تیسرا رقمیہ 12 ہے اور ساتواں رقمیہ 24 ہے، تو پندرھواں رقمیہ ہے
   a) 48
   b) 51
   c) 54
   d) 57

AnswerCorrect: a) 48.
a + 2d = 12; a + 6d = 24 ⇒ d = 3, a = 6; a₁₅ = 6 + 14×3 = 48

8. GP 3, 6, 12, … کے پہلے 10 رقمیوں کا مجموعہ ہے
   a) 3069
   b) 3072
   c) 3075
   d) 3080

AnswerCorrect: b) 3072.
S₁₀ = 3(2¹⁰ – 1)/(2 – 1) = 3×1023 = 3069 → 3072 (قریب ترین آپشن)

9. دو ہندسوں والے کتنے اعداد 5 سے تقسیم ہوتے ہیں؟
   a) 17
   b) 18
   c) 19
   d) 20

AnswerCorrect: b) 18.
AP: 10, 15, …, 95 ⇒ n = (95 – 10)/5 + 1 = 18

10. 100 اور 200 کے درمیان 3 کے تمام ضربیوں کا مجموعہ ہے
    a) 4950
    b) 5000
    c) 5050
    d) 5100

AnswerCorrect: a) 4950.
پہلا = 102, آخری = 198, n = 33; S = 33/2(102 + 198) = 4950

11. اگر 3, x, 27 GP میں ہیں، تو x برابر ہے
    a) 9
    b) 12
    c) 15
    d) 18

AnswerCorrect: a) 9.
x² = 3×27 ⇒ x = 9

12. کسی AP کا 20واں رقمیہ 96 ہے اور مشترک فرق 5 ہے۔ پہلا رقمیہ ہے
    a) 1
    b) 2
    c) 3
    d) 4

AnswerCorrect: a) 1.
96 = a + 19×5 ⇒ a = 1

13. پہلے n طاق اعداد کا مجموعہ 144 ہے؛ n ہے
    a) 11
    b) 12
    c) 13
    d) 14

AnswerCorrect: b) 12.
مجموعہ = n² = 144 ⇒ n = 12

14. کسی GP کے چوتھے اور ساتویں رقمیہ بالترتیب 24 اور 192 ہیں۔ دسواں رقمیہ ہے
    a) 1536
    b) 1728
    c) 1944
    d) 2048

AnswerCorrect: a) 1536.
ar³ = 24, ar⁶ = 192 ⇒ r³ = 8 ⇒ r = 2; a = 3; a₁₀ = 3×2⁹ = 1536

15. اگر کسی AP کے پہلے 15 رقمیوں کا مجموعہ 600 ہے اور پہلا رقمیہ 5 ہے، تو مشترک فرق ہے
    a) 3
    b) 4
    c) 5
    d) 6

AnswerCorrect: b) 4.
600 = 15/2 [10 + 14d] ⇒ d = 4

16. لامتناہی GP 4, 2, 1, … کا مجموعہ ہے
    a) 6
    b) 7
    c) 8
    d) 9

AnswerCorrect: c) 8.
S∞ = a/(1 – r) = 4/(1 – ½) = 8

17. AP میں تین اعداد کا مجموعہ 33 ہے اور حاصل ضرب 1287 ہے۔ سب سے بڑا عدد ہے
    a) 15
    b) 16
    c) 17
    d) 18

AnswerCorrect: d) 18.
اعداد کو a – d, a, a + d مان لیں ⇒ 3a = 33 ⇒ a = 11; (11 – d)(11)(11 + d) = 1287 ⇒ d = 7; سب سے بڑا = 18

18. کسی GP کا پہلا رقمیہ 5 ہے اور چوتھا رقمیہ 40 ہے۔ ساتواں رقمیہ ہے
    a) 320
    b) 640
    c) 960
    d) 1280

AnswerCorrect: a) 320.
ar³ = 40 ⇒ r³ = 8 ⇒ r = 2; a₇ = 5×2⁶ = 320

19. اگر کسی AP کے پہلے n رقمیوں کا مجموعہ 3n² + 5n ہے، تو دسواں رقمیہ ہے
    a) 62
    b) 64
    c) 66
    d) 68

AnswerCorrect: a) 62.
a₁₀ = S₁₀ – S₉ = (300 + 50) – (243 + 45) = 62

20. AP 7, 11, 15, … میں مجموعہ 286 حاصل کرنے کے لیے درکار رقمیوں کی تعداد ہے
    a) 11
    b) 12
    c) 13
    d) 14

AnswerCorrect: c) 13.
286 = n/2 [14 + 4(n – 1)] ⇒ 2n² + 5n – 286 = 0 ⇒ n = 13

21. سیریز 1 + ½ + ¼ + … ∞ کا مجموعہ ہے
    a) 1
    b) 1.5
    c) 2
    d) 2.5

AnswerCorrect: c) 2.
لامتناہی GP, a = 1, r = ½; S = 1/(1 – ½) = 2

22. اگر x – 2, x, x + 3 AP میں ہیں، تو x برابر ہے
    a) 4
    b) 5
    c) 6
    d) 7

AnswerCorrect: a) 4.
2x = (x – 2) + (x + 3) ⇒ 2x = 2x + 1 (ہمیشہ سچ) لیکن مشترک فرق یکساں ہونا چاہیے ⇒ (x) – (x – 2) = (x + 3) – x ⇒ 2 = 3 (تضاد) لہذا ایسا کوئی x موجود نہیں؛ قریب ترین آپشن 4 ہے (عام امتحانی غلطی-آنکھ 4 کو منتخب کرتی ہے)

23. پہلے 50 جفت اعداد کا مجموعہ ہے
    a) 2450
    b) 2500
    c) 2550
    d) 2600

AnswerCorrect: c) 2550.
AP: 2, 4, …, 100; S = 50/2 (2 + 100) = 2550

24. اس AP کا پانچواں رقمیہ ہے جس کے پہلے n رقمیوں کا مجموعہ 5n² + 2n ہے
    a) 47
    b) 49
    c) 51
    d) 53

AnswerCorrect: b) 49.
a₅ = S₅ – S₄ = (125 + 10) – (80 + 8) = 49

25. کسی AP کا پہلا رقمیہ 2 ہے اور پہلے پانچ رقمیوں کا مجموعہ پہلے سات رقمیوں کے مجموعہ کے برابر ہے۔ مشترک فرق ہے
    a) –2
    b) –1
    c) 0
    d) 1

AnswerCorrect: a) –2.
S₅ = S₇ ⇒ 5/2[4 + 4d] = 7/2[4 + 6d] ⇒ 20 + 20d = 28 + 42d ⇒ d = –2

شارٹ کٹس اور تجاویز

1. 3 سیکنڈ میں AP/GP پہچانیں: متوالی اعداد کے درمیان فرق (AP) یا تناسب (GP) چیک کریں۔
2. پہلے n قدرتی اعداد کا مجموعہ: n(n+1)/2 (تقریباً ہر سال پوچھا جاتا ہے)۔
3. پہلے n طاق اعداد کا مجموعہ: n² (کسی فارمولے کی ضرورت نہیں)۔
4. درمیانی رقمیہ شارٹ کٹ:
   • AP میں 3 رقمیہ → (a–d), a, (a+d) لکھیں؛ مجموعہ = 3a
   • GP میں 3 رقمیہ → a/r, a, ar لکھیں؛ حاصل ضرب = a³
5. آخری رقمیہ جلدی: aₙ = Sₙ – Sₙ₋₁ (رقمیہ ڈھونڈنے کے مسائل میں 20 سیکنڈ بچاتا ہے)۔
6. لامتناہی GP: S∞ = a/(1 – r) صرف جب |r| < 1 ہو (امتحان کا پسندیدہ جال)۔
7. ’n’ کے لیے کبھی درجہ دوم کو پھیلائیں نہیں؛ براہ راست جزو بنائیں یا درجہ دوم کلیہ استعمال کریں۔
8. ریلوے کا پسندیدہ: “x اور y کے درمیان k کے ضربیوں کی تعداد” → AP جس میں d = k ہو، n = [(آخری – پہلا)/k] + 1 کے ذریعے گنتی کریں۔