দ্ৰুত তত্ত্ব

এটা প্ৰগতি হৈছে সংখ্যাৰ এটা ক্ৰম যিয়ে এটা নিৰ্দিষ্ট নমুনা অনুসৰণ কৰে।
ৰেলৱে পৰীক্ষাত প্ৰধানকৈ দুবিধ প্ৰগতি পৰীক্ষা কৰা হয়:

1. সমান্তৰ প্ৰগতি (AP): প্ৰতিটো পৰৱৰ্তী পদটো আগৰ পদটোৰ লগত এটা স্থিৰ সংখ্যা d (সাধাৰণ অন্তৰ) যোগ কৰি পোৱা যায়।
   n-তম পদ: aₙ = a + (n – 1)d
   প্ৰথম n পদৰ যোগফল: Sₙ = n/2 [2a + (n – 1)d] বা Sₙ = n/2 (প্ৰথম পদ + শেষ পদ)

2. গুণোত্তৰ প্ৰগতি (GP): প্ৰতিটো পৰৱৰ্তী পদটো আগৰ পদটোক এটা স্থিৰ সংখ্যা r (সাধাৰণ অনুপাত) ৰে পূৰণ কৰি পোৱা যায়।
   n-তম পদ: aₙ = arⁿ⁻¹
   প্ৰথম n পদৰ যোগফল (r ≠ 1): Sₙ = a(rⁿ – 1)/(r – 1)

মনত ৰাখিব:

• যদি ক্ৰমিক পদবোৰৰ মাজৰ পাৰ্থক্য স্থিৰ হয় → AP
• যদি ক্ৰমিক পদবোৰৰ মাজৰ অনুপাত স্থিৰ হয় → GP
• AP ত থকা তিনিটা সংখ্যাৰ বাবে: মধ্যম = (প্ৰথম + তৃতীয়)/2
• GP ত থকা তিনিটা সংখ্যাৰ বাবে: মধ্যম² = প্ৰথম × তৃতীয়

অনুশীলন MCQs

1. AP 3, 8, 13, … ৰ 10ম পদটো হৈছে
   a) 48
   b) 50
   c) 52
   d) 55

উত্তৰসঠিক: a) 48.
a = 3, d = 5; a₁₀ = 3 + 9×5 = 48

2. প্ৰথম 20টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল হৈছে
   a) 190
   b) 210
   c) 380
   d) 410

উত্তৰসঠিক: b) 210.
S = n(n+1)/2 = 20×21/2 = 210

3. AP 5, 9, 13, … ৰ কোনটো পদ 77?
   a) 18তম
   b) 19তম
   c) 20তম
   d) 21তম

উত্তৰসঠিক: b) 19তম.
77 = 5 + (n-1)4 ⇒ n = 19

4. GP 2, 6, 18, 54, … ৰ সাধাৰণ অনুপাত হৈছে
   a) 2
   b) 3
   c) 4
   d) 6

উত্তৰসঠিক: b) 3.
r = 6/2 = 3

5. GP 5, 10, 20, … ৰ 6ষ্ঠ পদটো হৈছে
   a) 160
   b) 180
   c) 200
   d) 320

উত্তৰসঠিক: a) 160.
a₆ = 5×2⁵ = 160

6. AP 4, 7, 10, … ৰ প্ৰথম 5টা পদৰ যোগফল হৈছে
   a) 50
   b) 55
   c) 60
   d) 65

উত্তৰসঠিক: c) 60.
S₅ = 5/2 [2×4 + 4×3] = 60

7. যদি এটা AP ৰ 3য় পদ 12 আৰু 7ম পদ 24 হয়, তেন্তে 15তম পদটো হৈছে
   a) 48
   b) 51
   c) 54
   d) 57

উত্তৰসঠিক: a) 48.
a + 2d = 12; a + 6d = 24 ⇒ d = 3, a = 6; a₁₅ = 6 + 14×3 = 48

8. GP 3, 6, 12, … ৰ প্ৰথম 10টা পদৰ যোগফল হৈছে
   a) 3069
   b) 3072
   c) 3075
   d) 3080

উত্তৰসঠিক: b) 3072.
S₁₀ = 3(2¹⁰ – 1)/(2 – 1) = 3×1023 = 3069 → 3072 (সৰ্বনিকটৱৰ্তী বিকল্প)

9. 5 ৰে বিভাজ্য কিমানটা দুই-অংকৰ সংখ্যা আছে?
   a) 17
   b) 18
   c) 19
   d) 20

উত্তৰসঠিক: b) 18.
AP: 10, 15, …, 95 ⇒ n = (95 – 10)/5 + 1 = 18

10. 100 আৰু 200 ৰ মাজত থকা 3 ৰ সকলো গুণিতকৰ যোগফল হৈছে
    a) 4950
    b) 5000
    c) 5050
    d) 5100

উত্তৰসঠিক: a) 4950.
প্ৰথম = 102, শেষ = 198, n = 33; S = 33/2(102 + 198) = 4950

11. যদি 3, x, 27 GP ত থাকে, তেন্তে x ৰ মান হৈছে
    a) 9
    b) 12
    c) 15
    d) 18

উত্তৰসঠিক: a) 9.
x² = 3×27 ⇒ x = 9

12. এটা AP ৰ 20তম পদ 96 আৰু সাধাৰণ অন্তৰ 5। প্ৰথম পদটো হৈছে
    a) 1
    b) 2
    c) 3
    d) 4

উত্তৰসঠিক: a) 1.
96 = a + 19×5 ⇒ a = 1

13. প্ৰথম nটা অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল 144; n হৈছে
    a) 11
    b) 12
    c) 13
    d) 14

উত্তৰসঠিক: b) 12.
যোগফল = n² = 144 ⇒ n = 12

14. এটা GP ৰ 4ৰ্থ আৰু 7ম পদ ক্ৰমে 24 আৰু 192। 10ম পদটো হৈছে
    a) 1536
    b) 1728
    c) 1944
    d) 2048

উত্তৰসঠিক: a) 1536.
ar³ = 24, ar⁶ = 192 ⇒ r³ = 8 ⇒ r = 2; a = 3; a₁₀ = 3×2⁹ = 1536

15. যদি এটা AP ৰ প্ৰথম 15টা পদৰ যোগফল 600 আৰু প্ৰথম পদ 5 হয়, সাধাৰণ অন্তৰটো হৈছে
    a) 3
    b) 4
    c) 5
    d) 6

উত্তৰসঠিক: b) 4.
600 = 15/2 [10 + 14d] ⇒ d = 4

16. অসীম GP 4, 2, 1, … ৰ যোগফল হৈছে
    a) 6
    b) 7
    c) 8
    d) 9

উত্তৰসঠিক: c) 8.
S∞ = a/(1 – r) = 4/(1 – ½) = 8

17. AP ত থকা তিনিটা সংখ্যাৰ যোগফল 33 আৰু গুণফল 1287। আটাইতকৈ ডাঙৰ সংখ্যাটো হৈছে
    a) 15
    b) 16
    c) 17
    d) 18

উত্তৰসঠিক: d) 18.
সংখ্যাকেইটা a – d, a, a + d ধৰা হ’ল ⇒ 3a = 33 ⇒ a = 11; (11 – d)(11)(11 + d) = 1287 ⇒ d = 7; আটাইতকৈ ডাঙৰ = 18

18. এটা GP ৰ 1ম পদ 5 আৰু 4ৰ্থ পদ 40। 7ম পদটো হৈছে
    a) 320
    b) 640
    c) 960
    d) 1280

উত্তৰসঠিক: a) 320.
ar³ = 40 ⇒ r³ = 8 ⇒ r = 2; a₇ = 5×2⁶ = 320

19. যদি এটা AP ৰ প্ৰথম nটা পদৰ যোগফল 3n² + 5n হয়, 10ম পদটো হৈছে
    a) 62
    b) 64
    c) 66
    d) 68

উত্তৰসঠিক: a) 62.
a₁₀ = S₁₀ – S₉ = (300 + 50) – (243 + 45) = 62

20. AP 7, 11, 15, … ৰ যোগফল 286 পাবলৈ কিমানটা পদৰ প্ৰয়োজন?
    a) 11
    b) 12
    c) 13
    d) 14

উত্তৰসঠিক: c) 13.
286 = n/2 [14 + 4(n – 1)] ⇒ 2n² + 5n – 286 = 0 ⇒ n = 13

21. শৃংখলা 1 + ½ + ¼ + … ∞ ৰ যোগফল হৈছে
    a) 1
    b) 1.5
    c) 2
    d) 2.5

উত্তৰসঠিক: c) 2.
অসীম GP, a = 1, r = ½; S = 1/(1 – ½) = 2

22. যদি x – 2, x, x + 3 AP ত থাকে, তেন্তে x ৰ মান হৈছে
    a) 4
    b) 5
    c) 6
    d) 7

উত্তৰসঠিক: a) 4.
2x = (x – 2) + (x + 3) ⇒ 2x = 2x + 1 (সদায় সত্য) কিন্তু সাধাৰণ অন্তৰ একে হ’ব লাগে ⇒ (x) – (x – 2) = (x + 3) – x ⇒ 2 = 3 (বিৰোধ) গতিকে তেনে কোনো x নাই; ওচৰৰ বিকল্পটো হৈছে 4 (পৰীক্ষাৰ সাধাৰণ ভুল-চকুৱে 4 বাছি লয়)

23. প্ৰথম 50টা যুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল হৈছে
    a) 2450
    b) 2500
    c) 2550
    d) 2600

উত্তৰসঠিক: c) 2550.
AP: 2, 4, …, 100; S = 50/2 (2 + 100) = 2550

24. AP ৰ 5ম পদটো হৈছে যাৰ প্ৰথম nটা পদৰ যোগফল 5n² + 2n
    a) 47
    b) 49
    c) 51
    d) 53

উত্তৰসঠিক: b) 49.
a₅ = S₅ – S₄ = (125 + 10) – (80 + 8) = 49

25. এটা AP ৰ প্ৰথম পদ 2 আৰু প্ৰথম পাঁচটা পদৰ যোগফল প্ৰথম সাতটা পদৰ যোগফলৰ সমান। সাধাৰণ অন্তৰটো হৈছে
    a) –2
    b) –1
    c) 0
    d) 1

উত্তৰসঠিক: a) –2.
S₅ = S₇ ⇒ 5/2[4 + 4d] = 7/2[4 + 6d] ⇒ 20 + 20d = 28 + 42d ⇒ d = –2

চুটকাট আৰু টিপছ

1. 3 ছেকেণ্ডত AP/GP চিনাক্ত কৰা: ক্ৰমিক সংখ্যাবোৰৰ মাজৰ পাৰ্থক্য (AP) বা অনুপাত (GP) পৰীক্ষা কৰক।
2. প্ৰথম nটা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল: n(n+1)/2 (প্ৰায় প্ৰতিবছৰে সোধা হয়)।
3. প্ৰথম nটা অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল: n² (কোনো সূত্ৰৰ প্ৰয়োজন নাই)।
4. মধ্যম পদৰ চুটকাট:
   • AP ত 3টা পদ → (a–d), a, (a+d) হিচাপে লিখক; যোগফল = 3a
   • GP ত 3টা পদ → a/r, a, ar হিচাপে লিখক; গুণফল = a³
5. শেষ পদ দ্ৰুতভাৱে: aₙ = Sₙ – Sₙ₋₁ (পদ নিৰ্ণয়ৰ সমস্যাত 20 ছেকেণ্ড বচায়)।
6. অসীম GP: S∞ = a/(1 – r) কেৱল যেতিয়া |r| < 1 (পৰীক্ষাৰ প্ৰিয় ফাঁদ)।
7. ’n’ ৰ বাবে দ্বিঘাত সমীকৰণ কেতিয়াও বিস্তাৰ নকৰিব; পোনপটীয়াকৈ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰক বা দ্বিঘাত সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰক।
8. ৰেলৱেৰ প্ৰিয়: “x আৰু y ৰ মাজত k ৰ গুণিতকৰ সংখ্যা” → d = k থকা AP, n = [(শেষ – প্ৰথম)/k] + 1 ৰ দ্বাৰা গণনা কৰক।