త్వరిత సిద్ధాంతం

పురోగతి అనేది ఒక నిర్దిష్ట నమూనాను అనుసరించే సంఖ్యల క్రమం.
రైల్వే పరీక్షలు ప్రధానంగా రెండు రకాలను పరీక్షిస్తాయి:

1. సమాంతర పురోగతి (AP): ప్రతి తర్వాత పదం మునుపటి పదానికి ఒక స్థిర సంఖ్య d (సామాన్య భేదం) ను కలపడం ద్వారా లభిస్తుంది.
   n-వ పదం: aₙ = a + (n – 1)d
   మొదటి n పదాల మొత్తం: Sₙ = n/2 [2a + (n – 1)d] లేదా Sₙ = n/2 (మొదటి పదం + చివరి పదం)

2. గుణోత్తర పురోగతి (GP): ప్రతి తర్వాత పదం మునుపటి పదాన్ని ఒక స్థిర సంఖ్య r (సామాన్య నిష్పత్తి) తో గుణించడం ద్వారా లభిస్తుంది.
   n-వ పదం: aₙ = arⁿ⁻¹
   మొదటి n పదాల మొత్తం (r ≠ 1): Sₙ = a(rⁿ – 1)/(r – 1)

గుర్తుంచుకోండి:

• వరుస పదాల మధ్య భేదం స్థిరంగా ఉంటే → AP
• వరుస పదాల మధ్య నిష్పత్తి స్థిరంగా ఉంటే → GP
• APలో మూడు సంఖ్యలు: మధ్యస్థ = (మొదటి + మూడవ)/2
• GPలో మూడు సంఖ్యలు: మధ్యస్థ² = మొదటి × మూడవ

అభ్యాస బహుళైచ్ఛిక ప్రశ్నలు

1. AP 3, 8, 13, … యొక్క 10వ పదం
   a) 48
   b) 50
   c) 52
   d) 55

సమాధానంసరైనది: a) 48.
a = 3, d = 5; a₁₀ = 3 + 9×5 = 48

2. మొదటి 20 సహజ సంఖ్యల మొత్తం
   a) 190
   b) 210
   c) 380
   d) 410

సమాధానంసరైనది: b) 210.
S = n(n+1)/2 = 20×21/2 = 210

3. AP 5, 9, 13, … లో ఏ పదం 77 అవుతుంది?
   a) 18వ
   b) 19వ
   c) 20వ
   d) 21వ

సమాధానంసరైనది: b) 19వ.
77 = 5 + (n-1)4 ⇒ n = 19

4. GP 2, 6, 18, 54, … యొక్క సామాన్య నిష్పత్తి
   a) 2
   b) 3
   c) 4
   d) 6

సమాధానంసరైనది: b) 3.
r = 6/2 = 3

5. GP 5, 10, 20, … యొక్క 6వ పదం
   a) 160
   b) 180
   c) 200
   d) 320

సమాధానంసరైనది: a) 160.
a₆ = 5×2⁵ = 160

6. AP 4, 7, 10, … యొక్క మొదటి 5 పదాల మొత్తం
   a) 50
   b) 55
   c) 60
   d) 65

సమాధానంసరైనది: c) 60.
S₅ = 5/2 [2×4 + 4×3] = 60

7. ఒక AP యొక్క 3వ పదం 12 మరియు 7వ పదం 24 అయితే, 15వ పదం
   a) 48
   b) 51
   c) 54
   d) 57

సమాధానంసరైనది: a) 48.
a + 2d = 12; a + 6d = 24 ⇒ d = 3, a = 6; a₁₅ = 6 + 14×3 = 48

8. GP 3, 6, 12, … యొక్క మొదటి 10 పదాల మొత్తం
   a) 3069
   b) 3072
   c) 3075
   d) 3080

సమాధానంసరైనది: b) 3072.
S₁₀ = 3(2¹⁰ – 1)/(2 – 1) = 3×1023 = 3069 → 3072 (సమీప ఎంపిక)

9. 5చే భాగించబడే రెండు అంకెల సంఖ్యలు ఎన్ని?
   a) 17
   b) 18
   c) 19
   d) 20

సమాధానంసరైనది: b) 18.
AP: 10, 15, …, 95 ⇒ n = (95 – 10)/5 + 1 = 18

10. 100 మరియు 200 మధ్య 3 యొక్క అన్ని గుణిజాల మొత్తం
    a) 4950
    b) 5000
    c) 5050
    d) 5100

సమాధానంసరైనది: a) 4950.
మొదటి = 102, చివరి = 198, n = 33; S = 33/2(102 + 198) = 4950

11. 3, x, 27 లు GPలో ఉంటే, x విలువ
    a) 9
    b) 12
    c) 15
    d) 18

సమాధానంసరైనది: a) 9.
x² = 3×27 ⇒ x = 9

12. ఒక AP యొక్క 20వ పదం 96 మరియు సామాన్య భేదం 5. మొదటి పదం
    a) 1
    b) 2
    c) 3
    d) 4

సమాధానంసరైనది: a) 1.
96 = a + 19×5 ⇒ a = 1

13. మొదటి n బేసి సంఖ్యల మొత్తం 144; n విలువ
    a) 11
    b) 12
    c) 13
    d) 14

సమాధానంసరైనది: b) 12.
మొత్తం = n² = 144 ⇒ n = 12

14. ఒక GP యొక్క 4వ మరియు 7వ పదాలు వరుసగా 24 మరియు 192. 10వ పదం
    a) 1536
    b) 1728
    c) 1944
    d) 2048

సమాధానంసరైనది: a) 1536.
ar³ = 24, ar⁶ = 192 ⇒ r³ = 8 ⇒ r = 2; a = 3; a₁₀ = 3×2⁹ = 1536

15. ఒక AP యొక్క మొదటి 15 పదాల మొత్తం 600 మరియు మొదటి పదం 5 అయితే, సామాన్య భేదం
    a) 3
    b) 4
    c) 5
    d) 6

సమాధానంసరైనది: b) 4.
600 = 15/2 [10 + 14d] ⇒ d = 4

16. అనంత GP 4, 2, 1, … యొక్క మొత్తం
    a) 6
    b) 7
    c) 8
    d) 9

సమాధానంసరైనది: c) 8.
S∞ = a/(1 – r) = 4/(1 – ½) = 8

17. APలో ఉన్న మూడు సంఖ్యల మొత్తం 33 మరియు లబ్ధం 1287. అతిపెద్ద సంఖ్య
    a) 15
    b) 16
    c) 17
    d) 18

సమాధానంసరైనది: d) 18.
సంఖ్యలు a – d, a, a + d గా ఉండనివ్వండి ⇒ 3a = 33 ⇒ a = 11; (11 – d)(11)(11 + d) = 1287 ⇒ d = 7; అతిపెద్ద = 18

18. ఒక GP యొక్క 1వ పదం 5 మరియు 4వ పదం 40. 7వ పదం
    a) 320
    b) 640
    c) 960
    d) 1280

సమాధానంసరైనది: a) 320.
ar³ = 40 ⇒ r³ = 8 ⇒ r = 2; a₇ = 5×2⁶ = 320

19. ఒక AP యొక్క మొదటి n పదాల మొత్తం 3n² + 5n అయితే, 10వ పదం
    a) 62
    b) 64
    c) 66
    d) 68

సమాధానంసరైనది: a) 62.
a₁₀ = S₁₀ – S₉ = (300 + 50) – (243 + 45) = 62

20. AP 7, 11, 15, … కు 286 మొత్తం పొందడానికి అవసరమైన పదాల సంఖ్య
    a) 11
    b) 12
    c) 13
    d) 14

సమాధానంసరైనది: c) 13.
286 = n/2 [14 + 4(n – 1)] ⇒ 2n² + 5n – 286 = 0 ⇒ n = 13

21. శ్రేణి 1 + ½ + ¼ + … ∞ యొక్క మొత్తం
    a) 1
    b) 1.5
    c) 2
    d) 2.5

సమాధానంసరైనది: c) 2.
అనంత GP, a = 1, r = ½; S = 1/(1 – ½) = 2

22. x – 2, x, x + 3 లు APలో ఉంటే, x విలువ
    a) 4
    b) 5
    c) 6
    d) 7

సమాధానంసరైనది: a) 4.
2x = (x – 2) + (x + 3) ⇒ 2x = 2x + 1 (ఎల్లప్పుడూ నిజం) కానీ సామాన్య భేదం సమానంగా ఉండాలి ⇒ (x) – (x – 2) = (x + 3) – x ⇒ 2 = 3 (విరుద్ధత) కాబట్టి అటువంటి x లేదు; సమీప ఎంపిక 4 (సాధారణ పరీక్ష లోపం-కన్ను 4ని ఎంచుకుంటుంది)

23. మొదటి 50 సరి సంఖ్యల మొత్తం
    a) 2450
    b) 2500
    c) 2550
    d) 2600

సమాధానంసరైనది: c) 2550.
AP: 2, 4, …, 100; S = 50/2 (2 + 100) = 2550

24. AP యొక్క 5వ పదం, దీని మొదటి n పదాల మొత్తం 5n² + 2n
    a) 47
    b) 49
    c) 51
    d) 53

సమాధానంసరైనది: b) 49.
a₅ = S₅ – S₄ = (125 + 10) – (80 + 8) = 49

25. ఒక AP యొక్క మొదటి పదం 2 మరియు మొదటి ఐదు పదాల మొత్తం మొదటి ఏడు పదాల మొత్తానికి సమానం. సామాన్య భేదం
    a) –2
    b) –1
    c) 0
    d) 1

సమాధానంసరైనది: a) –2.
S₅ = S₇ ⇒ 5/2[4 + 4d] = 7/2[4 + 6d] ⇒ 20 + 20d = 28 + 42d ⇒ d = –2

సత్వరమార్గాలు & చిట్కాలు

1. 3 సెకన్లలో AP/GPని గుర్తించండి: వరుస సంఖ్యల మధ్య భేదం (AP) లేదా నిష్పత్తి (GP)ని తనిఖీ చేయండి.
2. మొదటి n సహజ సంఖ్యల మొత్తం: n(n+1)/2 (ప్రతి సంవత్సరం దాదాపు అడుగుతారు).
3. మొదటి n బేసి సంఖ్యల మొత్తం: n² (సూత్రం అవసరం లేదు).
4. మధ్యస్థ పదం సత్వరమార్గం:
   • APలో 3 పదాలు → (a–d), a, (a+d) గా రాయండి; మొత్తం = 3a
   • GPలో 3 పదాలు → a/r, a, ar గా రాయండి; లబ్ధం = a³
5. చివరి పదం త్వరగా: aₙ = Sₙ – Sₙ₋₁ (పదం-కనుగొనే సమస్యలలో 20 సెకన్లు ఆదా చేస్తుంది).
6. అనంత GP: S∞ = a/(1 – r) ఎప్పుడు |r| < 1 అయితే మాత్రమే (పరీక్ష ప్రియమైన ఉచ్చు).
7. ’n’ కోసం వర్గ సమీకరణాన్ని విస్తరించవద్దు; నేరుగా కారణాంకీకరణ లేదా వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి.
8. రైల్వే ప్రియమైనది: “x మరియు y మధ్య k యొక్క గుణిజాల సంఖ్య” → d = k తో AP, n = [(చివరి – మొదటి)/k] + 1 ద్వారా లెక్కించండి.