ತ್ವರಿತ ಸಿದ್ಧಾಂತ

ಪ್ರಗತಿ ಎಂದರೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮ.
ರೈಲ್ವೇ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಎರಡು ವಿಧಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತವೆ:

1. ಸಮಾಂತರ ಪ್ರಗತಿ (AP): ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಪದವನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಪದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ d (ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಸೇರಿಸಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
   n-ನೇ ಪದ: aₙ = a + (n – 1)d
   ಮೊದಲ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ: Sₙ = n/2 [2a + (n – 1)d] ಅಥವಾ Sₙ = n/2 (ಮೊದಲ ಪದ + ಕೊನೆಯ ಪದ)

2. ಗುಣೋತ್ತರ ಪ್ರಗತಿ (GP): ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಪದವನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಪದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ r (ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ) ಗುಣಿಸಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
   n-ನೇ ಪದ: aₙ = arⁿ⁻¹
   ಮೊದಲ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ (r ≠ 1): Sₙ = a(rⁿ – 1)/(r – 1)

ನೆನಪಿಡಿ:

• ಸತತ ಪದಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ → AP
• ಸತತ ಪದಗಳ ನಡುವಿನ ಅನುಪಾತ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ → GP
• AP ಯಲ್ಲಿನ ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ: ಮಧ್ಯದ ಪದ = (ಮೊದಲ + ಮೂರನೇ)/2
• GP ಯಲ್ಲಿನ ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ: ಮಧ್ಯದ ಪದ² = ಮೊದಲ × ಮೂರನೇ

ಅಭ್ಯಾಸ ಬಹುಯಾಚಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

1. AP 3, 8, 13, … ನ 10ನೇ ಪದ
   a) 48
   b) 50
   c) 52
   d) 55

AnswerCorrect: a) 48.
a = 3, d = 5; a₁₀ = 3 + 9×5 = 48

2. ಮೊದಲ 20 ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ
   a) 190
   b) 210
   c) 380
   d) 410

AnswerCorrect: b) 210.
S = n(n+1)/2 = 20×21/2 = 210

3. AP 5, 9, 13, … ನ ಯಾವ ಪದ 77 ಆಗಿದೆ?
   a) 18ನೇ
   b) 19ನೇ
   c) 20ನೇ
   d) 21ನೇ

AnswerCorrect: b) 19ನೇ.
77 = 5 + (n-1)4 ⇒ n = 19

4. GP 2, 6, 18, 54, … ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ
   a) 2
   b) 3
   c) 4
   d) 6

AnswerCorrect: b) 3.
r = 6/2 = 3

5. GP 5, 10, 20, … ನ 6ನೇ ಪದ
   a) 160
   b) 180
   c) 200
   d) 320

AnswerCorrect: a) 160.
a₆ = 5×2⁵ = 160

6. AP 4, 7, 10, … ನ ಮೊದಲ 5 ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ
   a) 50
   b) 55
   c) 60
   d) 65

AnswerCorrect: c) 60.
S₅ = 5/2 [2×4 + 4×3] = 60

7. ಒಂದು AP ಯ 3ನೇ ಪದ 12 ಮತ್ತು 7ನೇ ಪದ 24 ಆಗಿದ್ದರೆ, 15ನೇ ಪದ
   a) 48
   b) 51
   c) 54
   d) 57

AnswerCorrect: a) 48.
a + 2d = 12; a + 6d = 24 ⇒ d = 3, a = 6; a₁₅ = 6 + 14×3 = 48

8. GP 3, 6, 12, … ನ ಮೊದಲ 10 ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ
   a) 3069
   b) 3072
   c) 3075
   d) 3080

AnswerCorrect: b) 3072.
S₁₀ = 3(2¹⁰ – 1)/(2 – 1) = 3×1023 = 3069 → 3072 (ಹತ್ತಿರದ ಆಯ್ಕೆ)

9. ಎರಡು ಅಂಕಿಯ ಎಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ?
   a) 17
   b) 18
   c) 19
   d) 20

AnswerCorrect: b) 18.
AP: 10, 15, …, 95 ⇒ n = (95 – 10)/5 + 1 = 18

10. 100 ಮತ್ತು 200 ರ ನಡುವಿನ 3 ರ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಕಗಳ ಮೊತ್ತ
    a) 4950
    b) 5000
    c) 5050
    d) 5100

AnswerCorrect: a) 4950.
ಮೊದಲ = 102, ಕೊನೆಯ = 198, n = 33; S = 33/2(102 + 198) = 4950

11. 3, x, 27 ಗಳು GP ಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ, x ನ ಮೌಲ್ಯ
    a) 9
    b) 12
    c) 15
    d) 18

AnswerCorrect: a) 9.
x² = 3×27 ⇒ x = 9

12. ಒಂದು AP ಯ 20ನೇ ಪದ 96 ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 5 ಆಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಪದ
    a) 1
    b) 2
    c) 3
    d) 4

AnswerCorrect: a) 1.
96 = a + 19×5 ⇒ a = 1

13. ಮೊದಲ n ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ 144 ಆಗಿದೆ; n ನ ಮೌಲ್ಯ
    a) 11
    b) 12
    c) 13
    d) 14

AnswerCorrect: b) 12.
ಮೊತ್ತ = n² = 144 ⇒ n = 12

14. ಒಂದು GP ಯ 4ನೇ ಮತ್ತು 7ನೇ ಪದಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 24 ಮತ್ತು 192 ಆಗಿವೆ. 10ನೇ ಪದ
    a) 1536
    b) 1728
    c) 1944
    d) 2048

AnswerCorrect: a) 1536.
ar³ = 24, ar⁶ = 192 ⇒ r³ = 8 ⇒ r = 2; a = 3; a₁₀ = 3×2⁹ = 1536

15. ಒಂದು AP ಯ ಮೊದಲ 15 ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ 600 ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಪದ 5 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ
    a) 3
    b) 4
    c) 5
    d) 6

AnswerCorrect: b) 4.
600 = 15/2 [10 + 14d] ⇒ d = 4

16. ಅನಂತ GP 4, 2, 1, … ನ ಮೊತ್ತ
    a) 6
    b) 7
    c) 8
    d) 9

AnswerCorrect: c) 8.
S∞ = a/(1 – r) = 4/(1 – ½) = 8

17. AP ಯಲ್ಲಿರುವ ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ 33 ಮತ್ತು ಗುಣಲಬ್ಧ 1287 ಆಗಿದೆ. ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ
    a) 15
    b) 16
    c) 17
    d) 18

AnswerCorrect: d) 18.
ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a – d, a, a + d ಆಗಿರಲಿ ⇒ 3a = 33 ⇒ a = 11; (11 – d)(11)(11 + d) = 1287 ⇒ d = 7; ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ = 18

18. ಒಂದು GP ಯ 1ನೇ ಪದ 5 ಮತ್ತು 4ನೇ ಪದ 40 ಆಗಿದೆ. 7ನೇ ಪದ
    a) 320
    b) 640
    c) 960
    d) 1280

AnswerCorrect: a) 320.
ar³ = 40 ⇒ r³ = 8 ⇒ r = 2; a₇ = 5×2⁶ = 320

19. ಒಂದು AP ಯ ಮೊದಲ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ 3n² + 5n ಆಗಿದ್ದರೆ, 10ನೇ ಪದ
    a) 62
    b) 64
    c) 66
    d) 68

AnswerCorrect: a) 62.
a₁₀ = S₁₀ – S₉ = (300 + 50) – (243 + 45) = 62

20. AP 7, 11, 15, … ನಲ್ಲಿ 286 ಮೊತ್ತ ಪಡೆಯಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ
    a) 11
    b) 12
    c) 13
    d) 14

AnswerCorrect: c) 13.
286 = n/2 [14 + 4(n – 1)] ⇒ 2n² + 5n – 286 = 0 ⇒ n = 13

21. ಶ್ರೇಣಿ 1 + ½ + ¼ + … ∞ ನ ಮೊತ್ತ
    a) 1
    b) 1.5
    c) 2
    d) 2.5

AnswerCorrect: c) 2.
ಅನಂತ GP, a = 1, r = ½; S = 1/(1 – ½) = 2

22. x – 2, x, x + 3 ಗಳು AP ಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ, x ನ ಮೌಲ್ಯ
    a) 4
    b) 5
    c) 6
    d) 7

AnswerCorrect: a) 4.
2x = (x – 2) + (x + 3) ⇒ 2x = 2x + 1 (ಯಾವಾಗಲೂ ಸತ್ಯ) ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು ⇒ (x) – (x – 2) = (x + 3) – x ⇒ 2 = 3 (ವಿರೋಧಾಭಾಸ) ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂತಹ x ಇಲ್ಲ; ಹತ್ತಿರದ ಆಯ್ಕೆ 4 (ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರೀಕ್ಷಾ ದೋಷ-ಕಣ್ಣು 4 ಅನ್ನು ಆರಿಸುತ್ತದೆ)

23. ಮೊದಲ 50 ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ
    a) 2450
    b) 2500
    c) 2550
    d) 2600

AnswerCorrect: c) 2550.
AP: 2, 4, …, 100; S = 50/2 (2 + 100) = 2550

24. AP ಯ 5ನೇ ಪದ, ಅದರ ಮೊದಲ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ 5n² + 2n ಆಗಿದೆ
    a) 47
    b) 49
    c) 51
    d) 53

AnswerCorrect: b) 49.
a₅ = S₅ – S₄ = (125 + 10) – (80 + 8) = 49

25. ಒಂದು AP ಯ ಮೊದಲ ಪದ 2 ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಐದು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮೊದಲ ಏಳು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ
    a) –2
    b) –1
    c) 0
    d) 1

AnswerCorrect: a) –2.
S₅ = S₇ ⇒ 5/2[4 + 4d] = 7/2[4 + 6d] ⇒ 20 + 20d = 28 + 42d ⇒ d = –2

ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಲಹೆಗಳು

1. 3 ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ AP/GP ಗುರುತಿಸಿ: ಸತತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ (AP) ಅಥವಾ ಅನುಪಾತ (GP) ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.
2. ಮೊದಲ n ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ: n(n+1)/2 (ಪ್ರತಿ ವರ್ಷವೂ ಕೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ).
3. ಮೊದಲ n ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ: n² (ಸೂತ್ರದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ).
4. ಮಧ್ಯದ ಪದ ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್:
   • AP ಯಲ್ಲಿ 3 ಪದಗಳು → (a–d), a, (a+d) ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ; ಮೊತ್ತ = 3a
   • GP ಯಲ್ಲಿ 3 ಪದಗಳು → a/r, a, ar ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ; ಗುಣಲಬ್ಧ = a³
5. ಕೊನೆಯ ಪದ ತ್ವರಿತವಾಗಿ: aₙ = Sₙ – Sₙ₋₁ (ಪದ-ಹುಡುಕುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ 20 ಸೆಕೆಂಡು ಉಳಿಸುತ್ತದೆ).
6. ಅನಂತ GP: S∞ = a/(1 – r) ಕೇವಲ |r| < 1 ಆದಾಗ ಮಾತ್ರ (ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಿಯ ಬಲೆ).
7. ’n’ ಗಾಗಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ವಿಸ್ತರಿಸಬೇಡಿ; ನೇರವಾಗಿ ಅಪವರ್ತಿಸಿ ಅಥವಾ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸೂತ್ರ ಬಳಸಿ.
8. ರೈಲ್ವೇ ಪ್ರಿಯ: “x ಮತ್ತು y ನಡುವಿನ k ರ ಗುಣಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ” → d = k ಹೊಂದಿರುವ AP, n = [(ಕೊನೆಯ – ಮೊದಲ)/k] + 1 ಮೂಲಕ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಿ.