द्रुत सिद्धांत

एक प्रगती ही संख्यांची एक अशी क्रमिकता आहे जी एका निश्चित नमुन्याचे अनुसरण करते.
रेल्वे परीक्षा प्रामुख्याने दोन प्रकारांची चाचणी घेतात:

1. समांतर श्रेढी (AP): प्रत्येक पुढील पद मिळवण्यासाठी एक निश्चित संख्या d (सामाईक फरक) मागील पदात मिळवली जाते.
   n-वे पद: aₙ = a + (n – 1)d
   पहिल्या n पदांची बेरीज: Sₙ = n/2 [2a + (n – 1)d] किंवा Sₙ = n/2 (पहिले पद + शेवटचे पद)

2. गुणोत्तर श्रेढी (GP): प्रत्येक पुढील पद मिळवण्यासाठी मागील पदाचा एक निश्चित संख्या r (सामाईक गुणोत्तर) ने गुणाकार केला जातो.
   n-वे पद: aₙ = arⁿ⁻¹
   पहिल्या n पदांची बेरीज (r ≠ 1): Sₙ = a(rⁿ – 1)/(r – 1)

लक्षात ठेवा:

• जर सलग पदांमधील फरक स्थिर असेल → AP
• जर सलग पदांमधील गुणोत्तर स्थिर असेल → GP
• AP मधील तीन संख्यांसाठी: मधली = (पहिली + तिसरी)/2
• GP मधील तीन संख्यांसाठी: मधली² = पहिली × तिसरी

सराव बहुपर्यायी प्रश्न

1. AP 3, 8, 13, … चे 10वे पद आहे
   a) 48
   b) 50
   c) 52
   d) 55

योग्य उत्तर: a) 48.
a = 3, d = 5; a₁₀ = 3 + 9×5 = 48

2. पहिल्या 20 नैसर्गिक संख्यांची बेरीज आहे
   a) 190
   b) 210
   c) 380
   d) 410

योग्य उत्तर: b) 210.
S = n(n+1)/2 = 20×21/2 = 210

3. AP 5, 9, 13, … चे कोणते पद 77 आहे?
   a) 18वे
   b) 19वे
   c) 20वे
   d) 21वे

योग्य उत्तर: b) 19वे.
77 = 5 + (n-1)4 ⇒ n = 19

4. GP 2, 6, 18, 54, … चे सामाईक गुणोत्तर आहे
   a) 2
   b) 3
   c) 4
   d) 6

योग्य उत्तर: b) 3.
r = 6/2 = 3

5. GP 5, 10, 20, … चे 6वे पद आहे
   a) 160
   b) 180
   c) 200
   d) 320

योग्य उत्तर: a) 160.
a₆ = 5×2⁵ = 160

6. AP 4, 7, 10, … च्या पहिल्या 5 पदांची बेरीज आहे
   a) 50
   b) 55
   c) 60
   d) 65

योग्य उत्तर: c) 60.
S₅ = 5/2 [2×4 + 4×3] = 60

7. जर एखाद्या AP चे तिसरे पद 12 असेल आणि 7वे पद 24 असेल, तर 15वे पद आहे
   a) 48
   b) 51
   c) 54
   d) 57

योग्य उत्तर: a) 48.
a + 2d = 12; a + 6d = 24 ⇒ d = 3, a = 6; a₁₅ = 6 + 14×3 = 48

8. GP 3, 6, 12, … च्या पहिल्या 10 पदांची बेरीज आहे
   a) 3069
   b) 3072
   c) 3075
   d) 3080

योग्य उत्तर: b) 3072.
S₁₀ = 3(2¹⁰ – 1)/(2 – 1) = 3×1023 = 3069 → 3072 (सर्वात जवळचा पर्याय)

9. किती दोन-अंकी संख्या 5 ने विभाज्य आहेत?
   a) 17
   b) 18
   c) 19
   d) 20

योग्य उत्तर: b) 18.
AP: 10, 15, …, 95 ⇒ n = (95 – 10)/5 + 1 = 18

10. 100 आणि 200 दरम्यानच्या सर्व 3 च्या पटीत संख्यांची बेरीज आहे
    a) 4950
    b) 5000
    c) 5050
    d) 5100

योग्य उत्तर: a) 4950.
पहिली = 102, शेवटची = 198, n = 33; S = 33/2(102 + 198) = 4950

11. जर 3, x, 27 हे GP मध्ये असतील, तर x बरोबर आहे
    a) 9
    b) 12
    c) 15
    d) 18

योग्य उत्तर: a) 9.
x² = 3×27 ⇒ x = 9

12. एखाद्या AP चे 20वे पद 96 आहे आणि सामाईक फरक 5 आहे. पहिले पद आहे
    a) 1
    b) 2
    c) 3
    d) 4

योग्य उत्तर: a) 1.
96 = a + 19×5 ⇒ a = 1

13. पहिल्या n विषम संख्यांची बेरीज 144 आहे; n आहे
    a) 11
    b) 12
    c) 13
    d) 14

योग्य उत्तर: b) 12.
बेरीज = n² = 144 ⇒ n = 12

14. एखाद्या GP चे चौथे आणि सातवे पद अनुक्रमे 24 आणि 192 आहेत. 10वे पद आहे
    a) 1536
    b) 1728
    c) 1944
    d) 2048

योग्य उत्तर: a) 1536.
ar³ = 24, ar⁶ = 192 ⇒ r³ = 8 ⇒ r = 2; a = 3; a₁₀ = 3×2⁹ = 1536

15. जर एखाद्या AP च्या पहिल्या 15 पदांची बेरीज 600 असेल आणि पहिले पद 5 असेल, तर सामाईक फरक आहे
    a) 3
    b) 4
    c) 5
    d) 6

योग्य उत्तर: b) 4.
600 = 15/2 [10 + 14d] ⇒ d = 4

16. अनंत GP 4, 2, 1, … ची बेरीज आहे
    a) 6
    b) 7
    c) 8
    d) 9

योग्य उत्तर: c) 8.
S∞ = a/(1 – r) = 4/(1 – ½) = 8

17. AP मधील तीन संख्यांची बेरीज 33 आणि गुणाकार 1287 आहे. सर्वात मोठी संख्या आहे
    a) 15
    b) 16
    c) 17
    d) 18

योग्य उत्तर: d) 18.
संख्या a – d, a, a + d मानू ⇒ 3a = 33 ⇒ a = 11; (11 – d)(11)(11 + d) = 1287 ⇒ d = 7; सर्वात मोठी = 18

18. एखाद्या GP चे पहिले पद 5 आहे आणि चौथे पद 40 आहे. 7वे पद आहे
    a) 320
    b) 640
    c) 960
    d) 1280

योग्य उत्तर: a) 320.
ar³ = 40 ⇒ r³ = 8 ⇒ r = 2; a₇ = 5×2⁶ = 320

19. जर एखाद्या AP च्या पहिल्या n पदांची बेरीज 3n² + 5n असेल, तर 10वे पद आहे
    a) 62
    b) 64
    c) 66
    d) 68

योग्य उत्तर: a) 62.
a₁₀ = S₁₀ – S₉ = (300 + 50) – (243 + 45) = 62

20. AP 7, 11, 15, … मध्ये 286 ची बेरीज मिळवण्यासाठी किती पदांची आवश्यकता आहे?
    a) 11
    b) 12
    c) 13
    d) 14

योग्य उत्तर: c) 13.
286 = n/2 [14 + 4(n – 1)] ⇒ 2n² + 5n – 286 = 0 ⇒ n = 13

21. मालिका 1 + ½ + ¼ + … ∞ ची बेरीज आहे
    a) 1
    b) 1.5
    c) 2
    d) 2.5

योग्य उत्तर: c) 2.
अनंत GP, a = 1, r = ½; S = 1/(1 – ½) = 2

22. जर x – 2, x, x + 3 हे AP मध्ये असतील, तर x बरोबर आहे
    a) 4
    b) 5
    c) 6
    d) 7

योग्य उत्तर: a) 4.
2x = (x – 2) + (x + 3) ⇒ 2x = 2x + 1 (नेहमी सत्य) पण सामाईक फरक समान असला पाहिजे ⇒ (x) – (x – 2) = (x + 3) – x ⇒ 2 = 3 (विरोधाभास) म्हणून असा x अस्तित्वात नाही; सर्वात जवळचा पर्याय 4 आहे (ठराविक परीक्षेतील त्रुटी-डोळा 4 निवडतो)

23. पहिल्या 50 सम संख्यांची बेरीज आहे
    a) 2450
    b) 2500
    c) 2550
    d) 2600

योग्य उत्तर: c) 2550.
AP: 2, 4, …, 100; S = 50/2 (2 + 100) = 2550

24. AP चे 5वे पद, ज्याच्या पहिल्या n पदांची बेरीज 5n² + 2n आहे, ते आहे
    a) 47
    b) 49
    c) 51
    d) 53

योग्य उत्तर: b) 49.
a₅ = S₅ – S₄ = (125 + 10) – (80 + 8) = 49

25. एखाद्या AP चे पहिले पद 2 आहे आणि पहिल्या पाच पदांची बेरीज पहिल्या सात पदांच्या बेरजेइतकी आहे. सामाईक फरक आहे
    a) –2
    b) –1
    c) 0
    d) 1

योग्य उत्तर: a) –2.
S₅ = S₇ ⇒ 5/2[4 + 4d] = 7/2[4 + 6d] ⇒ 20 + 20d = 28 + 42d ⇒ d = –2

शॉर्टकट आणि टिपा

1. 3 सेकंदात AP/GP ओळखा: सलग संख्यांमधील फरक (AP) किंवा गुणोत्तर (GP) तपासा.
2. पहिल्या n नैसर्गिक संख्यांची बेरीज: n(n+1)/2 (जवळजवळ प्रत्येक वर्षी विचारले जाते).
3. पहिल्या n विषम संख्यांची बेरीज: n² (सूत्राची गरज नाही).
4. मधल्या पदाचा शॉर्टकट:
   • AP मधील 3 पदे → (a–d), a, (a+d) असे लिहा; बेरीज = 3a
   • GP मधील 3 पदे → a/r, a, ar असे लिहा; गुणाकार = a³
5. शेवटचे पद पटकन: aₙ = Sₙ – Sₙ₋₁ (पद शोधण्याच्या समस्यांमध्ये 20 सेकंद वाचवते).
6. अनंत GP: S∞ = a/(1 – r) फक्त जेव्हा |r| < 1 (परीक्षेतील आवडता साप).
7. ’n’ साठी द्विघाती समीकरण कधीही विस्तृत करू नका; थेट गुणक काढा किंवा द्विघात सूत्र वापरा.
8. रेल्वे आवडता: “x आणि y दरम्यान k च्या पटीत असलेल्या संख्यांची संख्या” → d = k असलेली AP, n = [(शेवटची – पहिली)/k] + 1 द्वारे मोजा.