ਤੇਜ਼ ਸਿਧਾਂਤ

ਇੱਕ ਪ੍ਰਗਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਕ੍ਰਮ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਰੇਲਵੇ ਪ੍ਰੀਖਿਆਵਾਂ ਮੁੱਖ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਦੋ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ:

1. ਅੰਕਗਣਿਤੀ ਪ੍ਰਗਤੀ (AP): ਹਰ ਅਗਲਾ ਪਦ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਖਿਆ d (ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ) ਜੋੜ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
   n-ਵਾਂ ਪਦ: aₙ = a + (n – 1)d
   ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ: Sₙ = n/2 [2a + (n – 1)d] ਜਾਂ Sₙ = n/2 (ਪਹਿਲਾ ਪਦ + ਆਖਰੀ ਪਦ)

2. ਗੁਣੋਤਰੀ ਪ੍ਰਗਤੀ (GP): ਹਰ ਅਗਲਾ ਪਦ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਖਿਆ r (ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
   n-ਵਾਂ ਪਦ: aₙ = arⁿ⁻¹
   ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ (r ≠ 1): Sₙ = a(rⁿ – 1)/(r – 1)

ਯਾਦ ਰੱਖੋ:

• ਜੇ ਲਗਾਤਾਰ ਪਦਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ ਸਥਿਰ ਹੋਵੇ → AP
• ਜੇ ਲਗਾਤਾਰ ਪਦਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਅਨੁਪਾਤ ਸਥਿਰ ਹੋਵੇ → GP
• AP ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ: ਵਿਚਕਾਰਲੀ = (ਪਹਿਲੀ + ਤੀਜੀ)/2
• GP ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ: ਵਿਚਕਾਰਲੀ² = ਪਹਿਲੀ × ਤੀਜੀ

ਅਭਿਆਸ ਬਹੁ-ਵਿਕਲਪੀ ਪ੍ਰਸ਼ਨ

1. AP 3, 8, 13, … ਦਾ 10ਵਾਂ ਪਦ ਹੈ
   a) 48
   b) 50
   c) 52
   d) 55

ਜਵਾਬਸਹੀ: a) 48.
a = 3, d = 5; a₁₀ = 3 + 9×5 = 48

2. ਪਹਿਲੀਆਂ 20 ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ
   a) 190
   b) 210
   c) 380
   d) 410

ਜਵਾਬਸਹੀ: b) 210.
S = n(n+1)/2 = 20×21/2 = 210

3. AP 5, 9, 13, … ਦਾ ਕਿਹੜਾ ਪਦ 77 ਹੈ?
   a) 18ਵਾਂ
   b) 19ਵਾਂ
   c) 20ਵਾਂ
   d) 21ਵਾਂ

ਜਵਾਬਸਹੀ: b) 19ਵਾਂ.
77 = 5 + (n-1)4 ⇒ n = 19

4. GP 2, 6, 18, 54, … ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹੈ
   a) 2
   b) 3
   c) 4
   d) 6

ਜਵਾਬਸਹੀ: b) 3.
r = 6/2 = 3

5. GP 5, 10, 20, … ਦਾ 6ਵਾਂ ਪਦ ਹੈ
   a) 160
   b) 180
   c) 200
   d) 320

ਜਵਾਬਸਹੀ: a) 160.
a₆ = 5×2⁵ = 160

6. AP 4, 7, 10, … ਦੇ ਪਹਿਲੇ 5 ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ
   a) 50
   b) 55
   c) 60
   d) 65

ਜਵਾਬਸਹੀ: c) 60.
S₅ = 5/2 [2×4 + 4×3] = 60

7. ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ AP ਦਾ ਤੀਜਾ ਪਦ 12 ਹੈ ਅਤੇ 7ਵਾਂ ਪਦ 24 ਹੈ, ਤਾਂ 15ਵਾਂ ਪਦ ਹੈ
   a) 48
   b) 51
   c) 54
   d) 57

ਜਵਾਬਸਹੀ: a) 48.
a + 2d = 12; a + 6d = 24 ⇒ d = 3, a = 6; a₁₅ = 6 + 14×3 = 48

8. GP 3, 6, 12, … ਦੇ ਪਹਿਲੇ 10 ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ
   a) 3069
   b) 3072
   c) 3075
   d) 3080

ਜਵਾਬਸਹੀ: b) 3072.
S₁₀ = 3(2¹⁰ – 1)/(2 – 1) = 3×1023 = 3069 → 3072 (ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਵਿਕਲਪ)

9. ਕਿੰਨੀਆਂ ਦੋ-ਅੰਕੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ 5 ਨਾਲ ਵੰਡੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ?
   a) 17
   b) 18
   c) 19
   d) 20

ਜਵਾਬਸਹੀ: b) 18.
AP: 10, 15, …, 95 ⇒ n = (95 – 10)/5 + 1 = 18

10. 100 ਅਤੇ 200 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ 3 ਦੇ ਸਾਰੇ ਗੁਣਜਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ
    a) 4950
    b) 5000
    c) 5050
    d) 5100

ਜਵਾਬਸਹੀ: a) 4950.
ਪਹਿਲਾ = 102, ਆਖਰੀ = 198, n = 33; S = 33/2(102 + 198) = 4950

11. ਜੇਕਰ 3, x, 27 GP ਵਿੱਚ ਹਨ, ਤਾਂ x ਬਰਾਬਰ ਹੈ
    a) 9
    b) 12
    c) 15
    d) 18

ਜਵਾਬਸਹੀ: a) 9.
x² = 3×27 ⇒ x = 9

12. ਕਿਸੇ AP ਦਾ 20ਵਾਂ ਪਦ 96 ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ 5 ਹੈ। ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਹੈ
    a) 1
    b) 2
    c) 3
    d) 4

ਜਵਾਬਸਹੀ: a) 1.
96 = a + 19×5 ⇒ a = 1

13. ਪਹਿਲੀਆਂ n ਵਿਸਮ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 144 ਹੈ; n ਹੈ
    a) 11
    b) 12
    c) 13
    d) 14

ਜਵਾਬਸਹੀ: b) 12.
ਜੋੜ = n² = 144 ⇒ n = 12

14. ਕਿਸੇ GP ਦੇ ਚੌਥੇ ਅਤੇ 7ਵੇਂ ਪਦ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 24 ਅਤੇ 192 ਹਨ। 10ਵਾਂ ਪਦ ਹੈ
    a) 1536
    b) 1728
    c) 1944
    d) 2048

ਜਵਾਬਸਹੀ: a) 1536.
ar³ = 24, ar⁶ = 192 ⇒ r³ = 8 ⇒ r = 2; a = 3; a₁₀ = 3×2⁹ = 1536

15. ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ AP ਦੇ ਪਹਿਲੇ 15 ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 600 ਹੈ ਅਤੇ ਪਹਿਲਾ ਪਦ 5 ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ
    a) 3
    b) 4
    c) 5
    d) 6

ਜਵਾਬਸਹੀ: b) 4.
600 = 15/2 [10 + 14d] ⇒ d = 4

16. ਅਨੰਤ GP 4, 2, 1, … ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ
    a) 6
    b) 7
    c) 8
    d) 9

ਜਵਾਬਸਹੀ: c) 8.
S∞ = a/(1 – r) = 4/(1 – ½) = 8

17. AP ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 33 ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ 1287 ਹੈ। ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ
    a) 15
    b) 16
    c) 17
    d) 18

ਜਵਾਬਸਹੀ: d) 18.
ਮੰਨ ਲਓ ਸੰਖਿਆਵਾਂ a – d, a, a + d ਹਨ ⇒ 3a = 33 ⇒ a = 11; (11 – d)(11)(11 + d) = 1287 ⇒ d = 7; ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ = 18

18. ਕਿਸੇ GP ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ 5 ਹੈ ਅਤੇ ਚੌਥਾ ਪਦ 40 ਹੈ। 7ਵਾਂ ਪਦ ਹੈ
    a) 320
    b) 640
    c) 960
    d) 1280

ਜਵਾਬਸਹੀ: a) 320.
ar³ = 40 ⇒ r³ = 8 ⇒ r = 2; a₇ = 5×2⁶ = 320

19. ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ AP ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 3n² + 5n ਹੈ, ਤਾਂ 10ਵਾਂ ਪਦ ਹੈ
    a) 62
    b) 64
    c) 66
    d) 68

ਜਵਾਬਸਹੀ: a) 62.
a₁₀ = S₁₀ – S₉ = (300 + 50) – (243 + 45) = 62

20. AP 7, 11, 15, … ਵਿੱਚ 286 ਦਾ ਜੋੜ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਪਦਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ
    a) 11
    b) 12
    c) 13
    d) 14

ਜਵਾਬਸਹੀ: c) 13.
286 = n/2 [14 + 4(n – 1)] ⇒ 2n² + 5n – 286 = 0 ⇒ n = 13

21. ਲੜੀ 1 + ½ + ¼ + … ∞ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ
    a) 1
    b) 1.5
    c) 2
    d) 2.5

ਜਵਾਬਸਹੀ: c) 2.
ਅਨੰਤ GP, a = 1, r = ½; S = 1/(1 – ½) = 2

22. ਜੇਕਰ x – 2, x, x + 3 AP ਵਿੱਚ ਹਨ, ਤਾਂ x ਬਰਾਬਰ ਹੈ
    a) 4
    b) 5
    c) 6
    d) 7

ਜਵਾਬਸਹੀ: a) 4.
2x = (x – 2) + (x + 3) ⇒ 2x = 2x + 1 (ਹਮੇਸ਼ਾ ਸੱਚ) ਪਰ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ⇒ (x) – (x – 2) = (x + 3) – x ⇒ 2 = 3 (ਵਿਰੋਧ) ਇਸ ਲਈ ਅਜਿਹਾ ਕੋਈ x ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ; ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਵਿਕਲਪ 4 ਹੈ (ਆਮ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਗਲਤੀ-ਨਜ਼ਰ 4 ਚੁਣਦੀ ਹੈ)

23. ਪਹਿਲੀਆਂ 50 ਸਮ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ
    a) 2450
    b) 2500
    c) 2550
    d) 2600

ਜਵਾਬਸਹੀ: c) 2550.
AP: 2, 4, …, 100; S = 50/2 (2 + 100) = 2550

24. AP ਦਾ 5ਵਾਂ ਪਦ, ਜਿਸਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 5n² + 2n ਹੈ, ਹੈ
    a) 47
    b) 49
    c) 51
    d) 53

ਜਵਾਬਸਹੀ: b) 49.
a₅ = S₅ – S₄ = (125 + 10) – (80 + 8) = 49

25. ਕਿਸੇ AP ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ 2 ਹੈ ਅਤੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਪਹਿਲੇ ਸੱਤ ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ
    a) –2
    b) –1
    c) 0
    d) 1

ਜਵਾਬਸਹੀ: a) –2.
S₅ = S₇ ⇒ 5/2[4 + 4d] = 7/2[4 + 6d] ⇒ 20 + 20d = 28 + 42d ⇒ d = –2

ਛੋਟੇ ਰਸਤੇ ਅਤੇ ਸੁਝਾਅ

1. 3 ਸਕਿੰਟ ਵਿੱਚ AP/GP ਪਛਾਣੋ: ਲਗਾਤਾਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ (AP) ਜਾਂ ਅਨੁਪਾਤ (GP) ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
2. ਪਹਿਲੀਆਂ n ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ: n(n+1)/2 (ਹਰ ਸਾਲ ਪੁੱਛਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ)।
3. ਪਹਿਲੀਆਂ n ਵਿਸਮ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ: n² (ਕਿਸੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ)।
4. ਮੱਧ ਪਦ ਛੋਟਾ ਰਸਤਾ:
   • AP ਵਿੱਚ 3 ਪਦ → (a–d), a, (a+d) ਲਿਖੋ; ਜੋੜ = 3a
   • GP ਵਿੱਚ 3 ਪਦ → a/r, a, ar ਲਿਖੋ; ਗੁਣਨਫਲ = a³
5. ਆਖਰੀ ਪਦ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ: aₙ = Sₙ – Sₙ₋₁ (ਪਦ-ਪ੍ਰਾਪਤੀ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ 20 ਸਕਿੰਟ ਬਚਾਉਂਦਾ ਹੈ)।
6. ਅਨੰਤ GP: S∞ = a/(1 – r) ਸਿਰਫ਼ ਜਦੋਂ |r| < 1 (ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਦਾ ਪਸੰਦੀਦਾ ਫਸਾਉਣ ਵਾਲਾ)
7. ’n’ ਲਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾ ਖੋਲ੍ਹੋ; ਸਿੱਧਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ ਜਾਂ ਦੋ ਘਾਤੀ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤੋ।
8. ਰੇਲਵੇ ਦਾ ਪਸੰਦੀਦਾ: “x ਅਤੇ y ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ k ਦੇ ਗੁਣਜਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ” → d = k ਵਾਲੀ AP, n = [(ਆਖਰੀ – ਪਹਿਲਾ)/k] + 1 ਰਾਹੀਂ ਗਿਣੋ।