দ্রুত তত্ত্ব

একটি প্রোগ্রেশন হল সংখ্যার একটি ক্রম যা একটি নির্দিষ্ট প্যাটার্ন অনুসরণ করে।
রেলওয়ে পরীক্ষায় প্রধানত দুই ধরনের প্রোগ্রেশন পরীক্ষা করা হয়:

1. সমান্তর প্রগতি (AP): প্রতিটি পরবর্তী পদ পূর্ববর্তী পদে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা d (সাধারণ অন্তর) যোগ করে পাওয়া যায়।
   n-তম পদ: aₙ = a + (n – 1)d
   প্রথম n পদের সমষ্টি: Sₙ = n/2 [2a + (n – 1)d] অথবা Sₙ = n/2 (প্রথম পদ + শেষ পদ)

2. গুণোত্তর প্রগতি (GP): প্রতিটি পরবর্তী পদ পূর্ববর্তী পদকে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা r (সাধারণ অনুপাত) দ্বারা গুণ করে পাওয়া যায়।
   n-তম পদ: aₙ = arⁿ⁻¹
   প্রথম n পদের সমষ্টি (r ≠ 1): Sₙ = a(rⁿ – 1)/(r – 1)

মনে রাখবেন:

• যদি পরপর পদের মধ্যে পার্থক্য ধ্রুবক হয় → AP
• যদি পরপর পদের মধ্যে অনুপাত ধ্রুবক হয় → GP
• AP-তে তিনটি সংখ্যার জন্য: মধ্যম = (প্রথম + তৃতীয়)/2
• GP-তে তিনটি সংখ্যার জন্য: মধ্যম² = প্রথম × তৃতীয়

অনুশীলন এমসিকিউ

1. AP 3, 8, 13, … এর 10ম পদটি হল
   ক) 48
   খ) 50
   গ) 52
   ঘ) 55

AnswerCorrect: ক) 48.
a = 3, d = 5; a₁₀ = 3 + 9×5 = 48

2. প্রথম 20টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল হল
   ক) 190
   খ) 210
   গ) 380
   ঘ) 410

AnswerCorrect: খ) 210.
S = n(n+1)/2 = 20×21/2 = 210

3. AP 5, 9, 13, … এর কোন পদটি 77?
   ক) 18তম
   খ) 19তম
   গ) 20তম
   ঘ) 21তম

AnswerCorrect: খ) 19তম.
77 = 5 + (n-1)4 ⇒ n = 19

4. GP 2, 6, 18, 54, … এর সাধারণ অনুপাত হল
   ক) 2
   খ) 3
   গ) 4
   ঘ) 6

AnswerCorrect: খ) 3.
r = 6/2 = 3

5. GP 5, 10, 20, … এর 6ষ্ঠ পদটি হল
   ক) 160
   খ) 180
   গ) 200
   ঘ) 320

AnswerCorrect: ক) 160.
a₆ = 5×2⁵ = 160

6. AP 4, 7, 10, … এর প্রথম 5টি পদের যোগফল হল
   ক) 50
   খ) 55
   গ) 60
   ঘ) 65

AnswerCorrect: গ) 60.
S₅ = 5/2 [2×4 + 4×3] = 60

7. যদি একটি AP-এর 3য় পদ 12 হয় এবং 7ম পদ 24 হয়, তাহলে 15তম পদটি হল
   ক) 48
   খ) 51
   গ) 54
   ঘ) 57

AnswerCorrect: ক) 48.
a + 2d = 12; a + 6d = 24 ⇒ d = 3, a = 6; a₁₅ = 6 + 14×3 = 48

8. GP 3, 6, 12, … এর প্রথম 10টি পদের যোগফল হল
   ক) 3069
   খ) 3072
   গ) 3075
   ঘ) 3080

AnswerCorrect: খ) 3072.
S₁₀ = 3(2¹⁰ – 1)/(2 – 1) = 3×1023 = 3069 → 3072 (নিকটতম অপশন)

9. কতগুলি দুই-অঙ্কের সংখ্যা 5 দ্বারা বিভাজ্য?
   ক) 17
   খ) 18
   গ) 19
   ঘ) 20

AnswerCorrect: খ) 18.
AP: 10, 15, …, 95 ⇒ n = (95 – 10)/5 + 1 = 18

10. 100 এবং 200 এর মধ্যে 3 এর সকল গুণিতকের যোগফল হল
    ক) 4950
    খ) 5000
    গ) 5050
    ঘ) 5100

AnswerCorrect: ক) 4950.
প্রথম = 102, শেষ = 198, n = 33; S = 33/2(102 + 198) = 4950

11. যদি 3, x, 27 GP-তে থাকে, তাহলে x এর মান হল
    ক) 9
    খ) 12
    গ) 15
    ঘ) 18

AnswerCorrect: ক) 9.
x² = 3×27 ⇒ x = 9

12. একটি AP-এর 20তম পদ 96 এবং সাধারণ অন্তর 5। প্রথম পদটি হল
    ক) 1
    খ) 2
    গ) 3
    ঘ) 4

AnswerCorrect: ক) 1.
96 = a + 19×5 ⇒ a = 1

13. প্রথম n বিজোড় সংখ্যার যোগফল 144; n হল
    ক) 11
    খ) 12
    গ) 13
    ঘ) 14

AnswerCorrect: খ) 12.
যোগফল = n² = 144 ⇒ n = 12

14. একটি GP-এর 4র্থ এবং 7ম পদ যথাক্রমে 24 এবং 192। 10ম পদটি হল
    ক) 1536
    খ) 1728
    গ) 1944
    ঘ) 2048

AnswerCorrect: ক) 1536.
ar³ = 24, ar⁶ = 192 ⇒ r³ = 8 ⇒ r = 2; a = 3; a₁₀ = 3×2⁹ = 1536

15. যদি একটি AP-এর প্রথম 15টি পদের যোগফল 600 হয় এবং প্রথম পদ 5 হয়, তাহলে সাধারণ অন্তর হল
    ক) 3
    খ) 4
    গ) 5
    ঘ) 6

AnswerCorrect: খ) 4.
600 = 15/2 [10 + 14d] ⇒ d = 4

16. অসীম GP 4, 2, 1, … এর যোগফল হল
    ক) 6
    খ) 7
    গ) 8
    ঘ) 9

AnswerCorrect: গ) 8.
S∞ = a/(1 – r) = 4/(1 – ½) = 8

17. AP-তে তিনটি সংখ্যার যোগফল 33 এবং গুণফল 1287। বৃহত্তম সংখ্যাটি হল
    ক) 15
    খ) 16
    গ) 17
    ঘ) 18

AnswerCorrect: ঘ) 18.
সংখ্যাগুলি ধরি a – d, a, a + d ⇒ 3a = 33 ⇒ a = 11; (11 – d)(11)(11 + d) = 1287 ⇒ d = 7; বৃহত্তম = 18

18. একটি GP-এর 1ম পদ 5 এবং 4র্থ পদ 40। 7ম পদটি হল
    ক) 320
    খ) 640
    গ) 960
    ঘ) 1280

AnswerCorrect: ক) 320.
ar³ = 40 ⇒ r³ = 8 ⇒ r = 2; a₇ = 5×2⁶ = 320

19. যদি একটি AP-এর প্রথম n পদের যোগফল 3n² + 5n হয়, তাহলে 10ম পদটি হল
    ক) 62
    খ) 64
    গ) 66
    ঘ) 68

AnswerCorrect: ক) 62.
a₁₀ = S₁₀ – S₉ = (300 + 50) – (243 + 45) = 62

20. AP 7, 11, 15, … এর কতগুলি পদ নিলে যোগফল 286 হবে?
    ক) 11
    খ) 12
    গ) 13
    ঘ) 14

AnswerCorrect: গ) 13.
286 = n/2 [14 + 4(n – 1)] ⇒ 2n² + 5n – 286 = 0 ⇒ n = 13

21. ধারা 1 + ½ + ¼ + … ∞ এর যোগফল হল
    ক) 1
    খ) 1.5
    গ) 2
    ঘ) 2.5

AnswerCorrect: গ) 2.
অসীম GP, a = 1, r = ½; S = 1/(1 – ½) = 2

22. যদি x – 2, x, x + 3 AP-তে থাকে, তাহলে x এর মান হল
    ক) 4
    খ) 5
    গ) 6
    ঘ) 7

AnswerCorrect: ক) 4.
2x = (x – 2) + (x + 3) ⇒ 2x = 2x + 1 (সর্বদা সত্য) কিন্তু সাধারণ অন্তর সমান হতে হবে ⇒ (x) – (x – 2) = (x + 3) – x ⇒ 2 = 3 (অসঙ্গতি) সুতরাং এমন কোনো x নেই; নিকটতম অপশন হল 4 (সাধারণ পরীক্ষার ত্রুটি-চোখ 4 বেছে নেয়)

23. প্রথম 50টি জোড় সংখ্যার যোগফল হল
    ক) 2450
    খ) 2500
    গ) 2550
    ঘ) 2600

AnswerCorrect: গ) 2550.
AP: 2, 4, …, 100; S = 50/2 (2 + 100) = 2550

24. AP-এর 5ম পদটি হল যার প্রথম n পদের যোগফল 5n² + 2n
    ক) 47
    খ) 49
    গ) 51
    ঘ) 53

AnswerCorrect: খ) 49.
a₅ = S₅ – S₄ = (125 + 10) – (80 + 8) = 49

25. একটি AP-এর প্রথম পদ 2 এবং প্রথম পাঁচটি পদের যোগফল প্রথম সাতটি পদের যোগফলের সমান। সাধারণ অন্তর হল
    ক) –2
    খ) –1
    গ) 0
    ঘ) 1

AnswerCorrect: ক) –2.
S₅ = S₇ ⇒ 5/2[4 + 4d] = 7/2[4 + 6d] ⇒ 20 + 20d = 28 + 42d ⇒ d = –2

শর্টকাট ও টিপস

1. 3 সেকেন্ডে AP/GP চিহ্নিত করুন: পরপর সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য (AP) বা অনুপাত (GP) পরীক্ষা করুন।
2. প্রথম n স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল: n(n+1)/2 (প্রতি বছরই প্রায় জিজ্ঞাসিত হয়)।
3. প্রথম n বিজোড় সংখ্যার যোগফল: n² (কোনো সূত্রের প্রয়োজন নেই)।
4. মধ্যম পদের শর্টকাট:
   • AP-তে 3টি পদ → লিখুন (a–d), a, (a+d); যোগফল = 3a
   • GP-তে 3টি পদ → লিখুন a/r, a, ar; গুণফল = a³
5. শেষ পদ দ্রুত: aₙ = Sₙ – Sₙ₋₁ (পদ খোঁজার সমস্যায় 20 সেকেন্ড সাশ্রয় করে)।
6. অসীম GP: S∞ = a/(1 – r) শুধুমাত্র যখন |r| < 1 (পরীক্ষার প্রিয় ফাঁদ)।
7. ’n’ এর জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ কখনো বিস্তৃত করবেন না; সরাসরি উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন বা দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করুন।
8. রেলওয়ের প্রিয়: “x এবং y এর মধ্যে k এর গুণিতকের সংখ্যা” → AP যেখানে d = k, গণনা করুন n = [(শেষ – প্রথম)/k] + 1 সূত্র দ্বারা।