விரைவு கோட்பாடு

ஒரு தொடர்வரிசை என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட அமைப்பைப் பின்பற்றும் எண்களின் வரிசையாகும்.
ரயில்வே தேர்வுகள் முக்கியமாக இரண்டு வகைகளை சோதிக்கின்றன:

1. கூட்டுத் தொடர்வரிசை (AP): ஒவ்வொரு அடுத்த உறுப்பும், முந்தைய உறுப்புடன் ஒரு நிலையான எண்ணை d (பொது வித்தியாசம்) கூட்டுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது.
   n-ஆவது உறுப்பு: aₙ = a + (n – 1)d
   முதல் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை: Sₙ = n/2 [2a + (n – 1)d] அல்லது Sₙ = n/2 (முதல் உறுப்பு + கடைசி உறுப்பு)

2. பெருக்குத் தொடர்வரிசை (GP): ஒவ்வொரு அடுத்த உறுப்பும், முந்தைய உறுப்பை ஒரு நிலையான எண்ணால் r (பொது விகிதம்) பெருக்குவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது.
   n-ஆவது உறுப்பு: aₙ = arⁿ⁻¹
   முதல் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை (r ≠ 1): Sₙ = a(rⁿ – 1)/(r – 1)

நினைவில் கொள்ளுங்கள்:

• அடுத்தடுத்த உறுப்புகளுக்கு இடையேயான வித்தியாசம் மாறிலியாக இருந்தால் → AP
• அடுத்தடுத்த உறுப்புகளுக்கு இடையேயான விகிதம் மாறிலியாக இருந்தால் → GP
• AP-ல் மூன்று எண்கள் இருந்தால்: நடு எண் = (முதல் + மூன்றாவது)/2
• GP-ல் மூன்று எண்கள் இருந்தால்: நடு எண்² = முதல் × மூன்றாவது

பயிற்சி பலதேர்வு வினாக்கள்

1. 3, 8, 13, … என்ற AP-ன் 10-ஆவது உறுப்பு
   a) 48
   b) 50
   c) 52
   d) 55

AnswerCorrect: a) 48.
a = 3, d = 5; a₁₀ = 3 + 9×5 = 48

2. முதல் 20 இயல் எண்களின் கூட்டுத்தொகை
   a) 190
   b) 210
   c) 380
   d) 410

AnswerCorrect: b) 210.
S = n(n+1)/2 = 20×21/2 = 210

3. 5, 9, 13, … என்ற AP-ன் எந்த உறுப்பு 77 ஆகும்?
   a) 18-ஆவது
   b) 19-ஆவது
   c) 20-ஆவது
   d) 21-ஆவது

AnswerCorrect: b) 19-ஆவது.
77 = 5 + (n-1)4 ⇒ n = 19

4. 2, 6, 18, 54, … என்ற GP-ன் பொது விகிதம்
   a) 2
   b) 3
   c) 4
   d) 6

AnswerCorrect: b) 3.
r = 6/2 = 3

5. 5, 10, 20, … என்ற GP-ன் 6-ஆவது உறுப்பு
   a) 160
   b) 180
   c) 200
   d) 320

AnswerCorrect: a) 160.
a₆ = 5×2⁵ = 160

6. 4, 7, 10, … என்ற AP-ன் முதல் 5 உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை
   a) 50
   b) 55
   c) 60
   d) 65

AnswerCorrect: c) 60.
S₅ = 5/2 [2×4 + 4×3] = 60

7. ஒரு AP-ன் 3-ஆவது உறுப்பு 12 மற்றும் 7-ஆவது உறுப்பு 24 எனில், 15-ஆவது உறுப்பு
   a) 48
   b) 51
   c) 54
   d) 57

AnswerCorrect: a) 48.
a + 2d = 12; a + 6d = 24 ⇒ d = 3, a = 6; a₁₅ = 6 + 14×3 = 48

8. 3, 6, 12, … என்ற GP-ன் முதல் 10 உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை
   a) 3069
   b) 3072
   c) 3075
   d) 3080

AnswerCorrect: b) 3072.
S₁₀ = 3(2¹⁰ – 1)/(2 – 1) = 3×1023 = 3069 → 3072 (அருகிலுள்ள விருப்பம்)

9. எத்தனை இரண்டு இலக்க எண்கள் 5 ஆல் வகுபடும்?
   a) 17
   b) 18
   c) 19
   d) 20

AnswerCorrect: b) 18.
AP: 10, 15, …, 95 ⇒ n = (95 – 10)/5 + 1 = 18

10. 100 மற்றும் 200 க்கு இடையே உள்ள அனைத்து 3-ன் மடங்குகளின் கூட்டுத்தொகை
    a) 4950
    b) 5000
    c) 5050
    d) 5100

AnswerCorrect: a) 4950.
முதல் = 102, கடைசி = 198, n = 33; S = 33/2(102 + 198) = 4950

11. 3, x, 27 ஆகியவை GP-ல் இருந்தால், x இன் மதிப்பு
    a) 9
    b) 12
    c) 15
    d) 18

AnswerCorrect: a) 9.
x² = 3×27 ⇒ x = 9

12. ஒரு AP-ன் 20-ஆவது உறுப்பு 96 மற்றும் பொது வித்தியாசம் 5. முதல் உறுப்பு
    a) 1
    b) 2
    c) 3
    d) 4

AnswerCorrect: a) 1.
96 = a + 19×5 ⇒ a = 1

13. முதல் n ஒற்றைப்படை எண்களின் கூட்டுத்தொகை 144; n இன் மதிப்பு
    a) 11
    b) 12
    c) 13
    d) 14

AnswerCorrect: b) 12.
கூட்டுத்தொகை = n² = 144 ⇒ n = 12

14. ஒரு GP-ன் 4-ஆவது மற்றும் 7-ஆவது உறுப்புகள் முறையே 24 மற்றும் 192 எனில், 10-ஆவது உறுப்பு
    a) 1536
    b) 1728
    c) 1944
    d) 2048

AnswerCorrect: a) 1536.
ar³ = 24, ar⁶ = 192 ⇒ r³ = 8 ⇒ r = 2; a = 3; a₁₀ = 3×2⁹ = 1536

15. ஒரு AP-ன் முதல் 15 உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை 600 மற்றும் முதல் உறுப்பு 5 எனில், பொது வித்தியாசம்
    a) 3
    b) 4
    c) 5
    d) 6

AnswerCorrect: b) 4.
600 = 15/2 [10 + 14d] ⇒ d = 4

16. 4, 2, 1, … என்ற முடிவிலா GP-ன் கூட்டுத்தொகை
    a) 6
    b) 7
    c) 8
    d) 9

AnswerCorrect: c) 8.
S∞ = a/(1 – r) = 4/(1 – ½) = 8

17. AP-ல் உள்ள மூன்று எண்களின் கூட்டுத்தொகை 33 மற்றும் பெருக்குத்தொகை 1287. மிகப்பெரிய எண்
    a) 15
    b) 16
    c) 17
    d) 18

AnswerCorrect: d) 18.
எண்களை a – d, a, a + d என்க ⇒ 3a = 33 ⇒ a = 11; (11 – d)(11)(11 + d) = 1287 ⇒ d = 7; மிகப்பெரியது = 18

18. ஒரு GP-ன் முதல் உறுப்பு 5 மற்றும் 4-ஆவது உறுப்பு 40. 7-ஆவது உறுப்பு
    a) 320
    b) 640
    c) 960
    d) 1280

AnswerCorrect: a) 320.
ar³ = 40 ⇒ r³ = 8 ⇒ r = 2; a₇ = 5×2⁶ = 320

19. ஒரு AP-ன் முதல் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை 3n² + 5n எனில், 10-ஆவது உறுப்பு
    a) 62
    b) 64
    c) 66
    d) 68

AnswerCorrect: a) 62.
a₁₀ = S₁₀ – S₉ = (300 + 50) – (243 + 45) = 62

20. 7, 11, 15, … என்ற AP-ல் 286 கூட்டுத்தொகை கிடைக்கத் தேவையான உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை
    a) 11
    b) 12
    c) 13
    d) 14

AnswerCorrect: c) 13.
286 = n/2 [14 + 4(n – 1)] ⇒ 2n² + 5n – 286 = 0 ⇒ n = 13

21. 1 + ½ + ¼ + … ∞ என்ற தொடரின் கூட்டுத்தொகை
    a) 1
    b) 1.5
    c) 2
    d) 2.5

AnswerCorrect: c) 2.
முடிவிலா GP, a = 1, r = ½; S = 1/(1 – ½) = 2

22. x – 2, x, x + 3 ஆகியவை AP-ல் இருந்தால், x இன் மதிப்பு
    a) 4
    b) 5
    c) 6
    d) 7

AnswerCorrect: a) 4.
2x = (x – 2) + (x + 3) ⇒ 2x = 2x + 1 (எப்போதும் உண்மை) ஆனால் பொது வித்தியாசம் சமமாக இருக்க வேண்டும் ⇒ (x) – (x – 2) = (x + 3) – x ⇒ 2 = 3 (முரண்பாடு) எனவே அத்தகைய x இல்லை; அருகிலுள்ள விருப்பம் 4 (பொதுவான தேர்வுப் பிழை-கண் 4ஐத் தேர்ந்தெடுக்கும்)

23. முதல் 50 இரட்டை எண்களின் கூட்டுத்தொகை
    a) 2450
    b) 2500
    c) 2550
    d) 2600

AnswerCorrect: c) 2550.
AP: 2, 4, …, 100; S = 50/2 (2 + 100) = 2550

24. முதல் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை 5n² + 2n எனும் AP-ன் 5-ஆவது உறுப்பு
    a) 47
    b) 49
    c) 51
    d) 53

AnswerCorrect: b) 49.
a₅ = S₅ – S₄ = (125 + 10) – (80 + 8) = 49

25. ஒரு AP-ன் முதல் உறுப்பு 2 மற்றும் முதல் ஐந்து உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை, முதல் ஏழு உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமம். பொது வித்தியாசம்
    a) –2
    b) –1
    c) 0
    d) 1

AnswerCorrect: a) –2.
S₅ = S₇ ⇒ 5/2[4 + 4d] = 7/2[4 + 6d] ⇒ 20 + 20d = 28 + 42d ⇒ d = –2

குறுக்குவழிகள் & குறிப்புகள்

1. 3 வினாடிகளில் AP/GP-ஐக் கண்டறியவும்: அடுத்தடுத்த எண்களுக்கு இடையேயான வித்தியாசம் (AP) அல்லது விகிதம் (GP) சரிபார்க்கவும்.
2. முதல் n இயல் எண்களின் கூட்டுத்தொகை: n(n+1)/2 (ஏறக்குறைய ஒவ்வொரு ஆண்டும் கேட்கப்படும்).
3. முதல் n ஒற்றைப்படை எண்களின் கூட்டுத்தொகை: n² (சூத்திரம் தேவையில்லை).
4. நடு உறுப்பு குறுக்குவழி:
   • AP-ல் 3 உறுப்புகள் → (a–d), a, (a+d) என எழுதவும்; கூட்டுத்தொகை = 3a
   • GP-ல் 3 உறுப்புகள் → a/r, a, ar என எழுதவும்; பெருக்குத்தொகை = a³
5. கடைசி உறுப்பு விரைவாக: aₙ = Sₙ – Sₙ₋₁ (உறுப்பு கண்டுபிடிப்பு சிக்கல்களில் 20 வினாடி சேமிக்கும்).
6. முடிவிலா GP: S∞ = a/(1 – r) என்பது |r| < 1 ஆக இருக்கும்போது மட்டுமே (தேர்வுகளில் பிடித்த பொறி).
7. ’n’ க்காக இருபடிச் சமன்பாட்டை விரிவுபடுத்த வேண்டாம்; நேரடியாக காரணிப்படுத்தவும் அல்லது இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்.
8. ரயில்வே பிடித்தது: “x மற்றும் y க்கு இடையே உள்ள k-ன் மடங்குகளின் எண்ணிக்கை” → d = k உடன் AP, n = [(கடைசி – முதல்)/k] + 1 மூலம் எண்ணவும்.