ଦ୍ରୁତ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ

ଏକ ପ୍ରଗତି ହେଉଛି ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଏକ କ୍ରମ ଯାହା ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ପ୍ରକାରକୁ ଅନୁସରଣ କରେ।
ରେଳବାଇ ପରୀକ୍ଷାରେ ମୁଖ୍ୟତଃ ଦୁଇ ପ୍ରକାର ପରୀକ୍ଷା କରାଯାଏ:

1. ଅନ୍ତର (ଏପି): ପ୍ରତ୍ୟେକ ପରବର୍ତ୍ତୀ ପଦ ପୂର୍ବବର୍ତ୍ତୀ ପଦରେ ଏକ ସ୍ଥିର ସଂଖ୍ୟା d (ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର) ଯୋଗ କରି ପ୍ରାପ୍ତ ହୁଏ।
   n-ତମ ପଦ: aₙ = a + (n – 1)d
   ପ୍ରଥମ n ପଦର ସମଷ୍ଟି: Sₙ = n/2 [2a + (n – 1)d] କିମ୍ବା Sₙ = n/2 (ପ୍ରଥମ ପଦ + ଶେଷ ପଦ)

2. ଗୁଣୋତ୍ତର (ଜିପି): ପ୍ରତ୍ୟେକ ପରବର୍ତ୍ତୀ ପଦ ପୂର୍ବବର୍ତ୍ତୀ ପଦକୁ ଏକ ସ୍ଥିର ସଂଖ୍ୟା r (ସାଧାରଣ ଅନୁପାତ) ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରି ପ୍ରାପ୍ତ ହୁଏ।
   n-ତମ ପଦ: aₙ = arⁿ⁻¹
   ପ୍ରଥମ n ପଦର ସମଷ୍ଟି (r ≠ 1): Sₙ = a(rⁿ – 1)/(r – 1)

ମନେରଖନ୍ତୁ:

• ଯଦି କ୍ରମାଗତ ପଦମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଅନ୍ତର ସ୍ଥିର ଥାଏ → ଏପି
• ଯଦି କ୍ରମାଗତ ପଦମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଅନୁପାତ ସ୍ଥିର ଥାଏ → ଜିପି
• ଏପିରେ ଥିବା ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ: ମଧ୍ୟମ = (ପ୍ରଥମ + ତୃତୀୟ)/2
• ଜିପିରେ ଥିବା ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ: ମଧ୍ୟମ² = ପ୍ରଥମ × ତୃତୀୟ

ଅଭ୍ୟାସ ବହୁବିକଳ୍ପୀୟ ପ୍ରଶ୍ନ

1. ଏପି 3, 8, 13, … ର 10ମ ପଦ ହେଉଛି
   a) 48
   b) 50
   c) 52
   d) 55

ଉତ୍ତରସଠିକ୍: a) 48.
a = 3, d = 5; a₁₀ = 3 + 9×5 = 48

2. ପ୍ରଥମ 20ଟି ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ହେଉଛି
   a) 190
   b) 210
   c) 380
   d) 410

ଉତ୍ତରସଠିକ୍: b) 210.
S = n(n+1)/2 = 20×21/2 = 210

3. ଏପି 5, 9, 13, … ର କେଉଁ ପଦ 77 ଅଟେ?
   a) 18ମ
   b) 19ମ
   c) 20ମ
   d) 21ମ

ଉତ୍ତରସଠିକ୍: b) 19ମ.
77 = 5 + (n-1)4 ⇒ n = 19

4. ଜିପି 2, 6, 18, 54, … ର ସାଧାରଣ ଅନୁପାତ ହେଉଛି
   a) 2
   b) 3
   c) 4
   d) 6

ଉତ୍ତରସଠିକ୍: b) 3.
r = 6/2 = 3

5. ଜିପି 5, 10, 20, … ର 6ଷ୍ଠ ପଦ ହେଉଛି
   a) 160
   b) 180
   c) 200
   d) 320

ଉତ୍ତରସଠିକ୍: a) 160.
a₆ = 5×2⁵ = 160

6. ଏପି 4, 7, 10, … ର ପ୍ରଥମ 5 ପଦର ସମଷ୍ଟି ହେଉଛି
   a) 50
   b) 55
   c) 60
   d) 65

ଉତ୍ତରସଠିକ୍: c) 60.
S₅ = 5/2 [2×4 + 4×3] = 60

7. ଯଦି ଏକ ଏପିର 3ୟ ପଦ 12 ଏବଂ 7ମ ପଦ 24 ହୁଏ, ତେବେ 15ମ ପଦ ହେବ
   a) 48
   b) 51
   c) 54
   d) 57

ଉତ୍ତରସଠିକ୍: a) 48.
a + 2d = 12; a + 6d = 24 ⇒ d = 3, a = 6; a₁₅ = 6 + 14×3 = 48

8. ଜିପି 3, 6, 12, … ର ପ୍ରଥମ 10 ପଦର ସମଷ୍ଟି ହେଉଛି
   a) 3069
   b) 3072
   c) 3075
   d) 3080

ଉତ୍ତରସଠିକ୍: b) 3072.
S₁₀ = 3(2¹⁰ – 1)/(2 – 1) = 3×1023 = 3069 → 3072 (ନିକଟତମ ବିକଳ୍ପ)

9. କେତୋଟି ଦ୍ୱି-ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା 5 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ?
   a) 17
   b) 18
   c) 19
   d) 20

ଉତ୍ତରସଠିକ୍: b) 18.
ଏପି: 10, 15, …, 95 ⇒ n = (95 – 10)/5 + 1 = 18

10. 100 ଏବଂ 200 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମସ୍ତ 3ର ଗୁଣିତକର ସମଷ୍ଟି ହେଉଛି
    a) 4950
    b) 5000
    c) 5050
    d) 5100

ଉତ୍ତରସଠିକ୍: a) 4950.
ପ୍ରଥମ = 102, ଶେଷ = 198, n = 33; S = 33/2(102 + 198) = 4950

11. ଯଦି 3, x, 27 ଜିପିରେ ଥାଆନ୍ତି, ତେବେ x ସହ ସମାନ ହେବ
    a) 9
    b) 12
    c) 15
    d) 18

ଉତ୍ତରସଠିକ୍: a) 9.
x² = 3×27 ⇒ x = 9

12. ଏକ ଏପିର 20ମ ପଦ 96 ଏବଂ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର 5 ଅଟେ। ପ୍ରଥମ ପଦ ହେଉଛି
    a) 1
    b) 2
    c) 3
    d) 4

ଉତ୍ତରସଠିକ୍: a) 1.
96 = a + 19×5 ⇒ a = 1

13. ପ୍ରଥମ n ଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି 144; n ହେଉଛି
    a) 11
    b) 12
    c) 13
    d) 14

ଉତ୍ତରସଠିକ୍: b) 12.
ସମଷ୍ଟି = n² = 144 ⇒ n = 12

14. ଏକ ଜିପିର 4ର୍ଥ ଏବଂ 7ମ ପଦ ଯଥାକ୍ରମେ 24 ଏବଂ 192 ଅଟେ। 10ମ ପଦ ହେଉଛି
    a) 1536
    b) 1728
    c) 1944
    d) 2048

ଉତ୍ତରସଠିକ୍: a) 1536.
ar³ = 24, ar⁶ = 192 ⇒ r³ = 8 ⇒ r = 2; a = 3; a₁₀ = 3×2⁹ = 1536

15. ଯଦି ଏକ ଏପିର ପ୍ରଥମ 15 ପଦର ସମଷ୍ଟି 600 ଏବଂ ପ୍ରଥମ ପଦ 5 ହୁଏ, ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର ହେଉଛି
    a) 3
    b) 4
    c) 5
    d) 6

ଉତ୍ତରସଠିକ୍: b) 4.
600 = 15/2 [10 + 14d] ⇒ d = 4

16. ଅନନ୍ତ ଜିପି 4, 2, 1, … ର ସମଷ୍ଟି ହେଉଛି
    a) 6
    b) 7
    c) 8
    d) 9

ଉତ୍ତରସଠିକ୍: c) 8.
S∞ = a/(1 – r) = 4/(1 – ½) = 8

17. ଏପିରେ ଥିବା ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି 33 ଏବଂ ଗୁଣଫଳ 1287 ଅଟେ। ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି
    a) 15
    b) 16
    c) 17
    d) 18

ଉତ୍ତରସଠିକ୍: d) 18.
ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ a – d, a, a + d ⇒ 3a = 33 ⇒ a = 11; (11 – d)(11)(11 + d) = 1287 ⇒ d = 7; ସର୍ବାଧିକ = 18

18. ଏକ ଜିପିର 1ମ ପଦ 5 ଏବଂ 4ର୍ଥ ପଦ 40 ଅଟେ। 7ମ ପଦ ହେଉଛି
    a) 320
    b) 640
    c) 960
    d) 1280

ଉତ୍ତରସଠିକ୍: a) 320.
ar³ = 40 ⇒ r³ = 8 ⇒ r = 2; a₇ = 5×2⁶ = 320

19. ଯଦି ଏକ ଏପିର ପ୍ରଥମ n ପଦର ସମଷ୍ଟି 3n² + 5n ହୁଏ, 10ମ ପଦ ହେଉଛି
    a) 62
    b) 64
    c) 66
    d) 68

ଉତ୍ତରସଠିକ୍: a) 62.
a₁₀ = S₁₀ – S₉ = (300 + 50) – (243 + 45) = 62

20. ଏପି 7, 11, 15, … ରେ 286 ର ସମଷ୍ଟି ପାଇଁ ଆବଶ୍ୟକ ପଦସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି
    a) 11
    b) 12
    c) 13
    d) 14

ଉତ୍ତରସଠିକ୍: c) 13.
286 = n/2 [14 + 4(n – 1)] ⇒ 2n² + 5n – 286 = 0 ⇒ n = 13

21. ଶ୍ରେଣୀ 1 + ½ + ¼ + … ∞ ର ସମଷ୍ଟି ହେଉଛି
    a) 1
    b) 1.5
    c) 2
    d) 2.5

ଉତ୍ତରସଠିକ୍: c) 2.
ଅନନ୍ତ ଜିପି, a = 1, r = ½; S = 1/(1 – ½) = 2

22. ଯଦି x – 2, x, x + 3 ଏପିରେ ଥାଆନ୍ତି, ତେବେ x ସହ ସମାନ ହେବ
    a) 4
    b) 5
    c) 6
    d) 7

ଉତ୍ତରସଠିକ୍: a) 4.
2x = (x – 2) + (x + 3) ⇒ 2x = 2x + 1 (ସର୍ବଦା ସତ୍ୟ) କିନ୍ତୁ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର ସମାନ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ⇒ (x) – (x – 2) = (x + 3) – x ⇒ 2 = 3 (ବିରୋଧ) ତେଣୁ ଏପରି କୌଣସି x ନାହିଁ; ନିକଟତମ ବିକଳ୍ପ ହେଉଛି 4 (ସାଧାରଣ ପରୀକ୍ଷା ତ୍ରୁଟି-ଆଖି 4 ବାଛେ)

23. ପ୍ରଥମ 50ଟି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ହେଉଛି
    a) 2450
    b) 2500
    c) 2550
    d) 2600

ଉତ୍ତରସଠିକ୍: c) 2550.
ଏପି: 2, 4, …, 100; S = 50/2 (2 + 100) = 2550

24. ଯେଉଁ ଏପିର ପ୍ରଥମ n ପଦର ସମଷ୍ଟି 5n² + 2n, ତାହାର 5ମ ପଦ ହେଉଛି
    a) 47
    b) 49
    c) 51
    d) 53

ଉତ୍ତରସଠିକ୍: b) 49.
a₅ = S₅ – S₄ = (125 + 10) – (80 + 8) = 49

25. ଏକ ଏପିର ପ୍ରଥମ ପଦ 2 ଏବଂ ପ୍ରଥମ ପାଞ୍ଚଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି ପ୍ରଥମ ସାତଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି ସହ ସମାନ ଅଟେ। ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର ହେଉଛି
    a) –2
    b) –1
    c) 0
    d) 1

ଉତ୍ତରସଠିକ୍: a) –2.
S₅ = S₇ ⇒ 5/2[4 + 4d] = 7/2[4 + 6d] ⇒ 20 + 20d = 28 + 42d ⇒ d = –2

ଶର୍ଟକଟ୍ ଏବଂ ଟିପ୍ସ

1. 3 ସେକେଣ୍ଡରେ ଏପି/ଜିପି ଚିହ୍ନିବା: କ୍ରମାଗତ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଅନ୍ତର (ଏପି) କିମ୍ବା ଅନୁପାତ (ଜିପି) ଯାଞ୍ଚ କରନ୍ତୁ।
2. ପ୍ରଥମ n ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି: n(n+1)/2 (ପ୍ରାୟ ପ୍ରତିବର୍ଷ ପଚରାଯାଏ)।
3. ପ୍ରଥମ n ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି: n² (କୌଣସି ସୂତ୍ର ଆବଶ୍ୟକ ନାହିଁ)।
4. ମଧ୍ୟମ ପଦ ଶର୍ଟକଟ୍:
   • ଏପିରେ 3 ପଦ → (a–d), a, (a+d) ଭାବରେ ଲେଖନ୍ତୁ; ସମଷ୍ଟି = 3a
   • ଜିପିରେ 3 ପଦ → a/r, a, ar ଭାବରେ ଲେଖନ୍ତୁ; ଗୁଣଫଳ = a³
5. ଶେଷ ପଦ ଶୀଘ୍ର: aₙ = Sₙ – Sₙ₋₁ (ପଦ ଖୋଜିବାର ସମସ୍ୟାରେ 20 ସେକେଣ୍ଡ ସଞ୍ଚୟ କରେ)।
6. ଅନନ୍ତ ଜିପି: S∞ = a/(1 – r) କେବଳ ଯେତେବେଳେ |r| < 1 (ପରୀକ୍ଷାର ପ୍ରିୟ ଫାନ୍ଦ)।
7. ’n’ ପାଇଁ ଦ୍ୱିଘାତୀକୁ କେବେ ବିସ୍ତାର କରନ୍ତୁ ନାହିଁ; ସିଧାସଳଖ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କିମ୍ବା ଦ୍ୱିଘାତ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ।
8. ରେଳବାଇ ପ୍ରିୟ: “x ଏବଂ y ମଧ୍ୟରେ kର ଗୁଣିତକ ସଂଖ୍ୟା” → d = k ସହିତ ଏପି, n = [(ଶେଷ – ପ୍ରଥମ)/k] + 1 ମାଧ୍ୟମରେ ଗଣନା କରନ୍ତୁ।