ദ്രുത സിദ്ധാന്തം

ഒരു പുരോഗതി എന്നത് ഒരു നിശ്ചിത രീതി പിന്തുടരുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയാണ്.
റെയിൽവേ പരീക്ഷകളിൽ പ്രധാനമായും രണ്ട് തരം പരിശോധിക്കുന്നു:

1. സമാന്തര ശ്രേണി (AP): ഓരോ അടുത്ത പദവും മുമ്പത്തെ പദത്തോട് ഒരു സ്ഥിര സംഖ്യ d (സാധാരണ വ്യത്യാസം) കൂട്ടിക്കൊണ്ട് ലഭിക്കുന്നു.
   n-ആം പദം: aₙ = a + (n – 1)d
   ആദ്യ n പദങ്ങളുടെ തുക: Sₙ = n/2 [2a + (n – 1)d] അല്ലെങ്കിൽ Sₙ = n/2 (ആദ്യ പദം + അവസാന പദം)

2. ഗുണോത്തര ശ്രേണി (GP): ഓരോ അടുത്ത പദവും മുമ്പത്തെ പദത്തെ ഒരു സ്ഥിര സംഖ്യ r (സാധാരണ അനുപാതം) കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ലഭിക്കുന്നു.
   n-ആം പദം: aₙ = arⁿ⁻¹
   ആദ്യ n പദങ്ങളുടെ തുക (r ≠ 1): Sₙ = a(rⁿ – 1)/(r – 1)

ഓർക്കുക:

• തുടർച്ചയായ പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം സ്ഥിരമാണെങ്കിൽ → AP
• തുടർച്ചയായ പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അനുപാതം സ്ഥിരമാണെങ്കിൽ → GP
• AP-യിലെ മൂന്ന് സംഖ്യകൾക്ക്: മധ്യം = (ആദ്യം + മൂന്നാമത്തേത്)/2
• GP-യിലെ മൂന്ന് സംഖ്യകൾക്ക്: മധ്യം² = ആദ്യം × മൂന്നാമത്തേത്

പരിശീലന ബഹുവികൽപ്പ ചോദ്യങ്ങൾ

1. 3, 8, 13, … എന്ന സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ 10-ആം പദം
   a) 48
   b) 50
   c) 52
   d) 55

AnswerCorrect: a) 48.
a = 3, d = 5; a₁₀ = 3 + 9×5 = 48

2. ആദ്യ 20 സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ തുക
   a) 190
   b) 210
   c) 380
   d) 410

AnswerCorrect: b) 210.
S = n(n+1)/2 = 20×21/2 = 210

3. 5, 9, 13, … എന്ന സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ ഏത് പദമാണ് 77?
   a) 18-ആം
   b) 19-ആം
   c) 20-ആം
   d) 21-ആം

AnswerCorrect: b) 19-ആം.
77 = 5 + (n-1)4 ⇒ n = 19

4. 2, 6, 18, 54, … എന്ന ഗുണോത്തര ശ്രേണിയുടെ സാധാരണ അനുപാതം
   a) 2
   b) 3
   c) 4
   d) 6

AnswerCorrect: b) 3.
r = 6/2 = 3

5. 5, 10, 20, … എന്ന ഗുണോത്തര ശ്രേണിയുടെ 6-ആം പദം
   a) 160
   b) 180
   c) 200
   d) 320

AnswerCorrect: a) 160.
a₆ = 5×2⁵ = 160

6. 4, 7, 10, … എന്ന സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ ആദ്യ 5 പദങ്ങളുടെ തുക
   a) 50
   b) 55
   c) 60
   d) 65

AnswerCorrect: c) 60.
S₅ = 5/2 [2×4 + 4×3] = 60

7. ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ 3-ആം പദം 12 ഉം 7-ആം പദം 24 ഉം ആണെങ്കിൽ, 15-ആം പദം
   a) 48
   b) 51
   c) 54
   d) 57

AnswerCorrect: a) 48.
a + 2d = 12; a + 6d = 24 ⇒ d = 3, a = 6; a₁₅ = 6 + 14×3 = 48

8. 3, 6, 12, … എന്ന ഗുണോത്തര ശ്രേണിയുടെ ആദ്യ 10 പദങ്ങളുടെ തുക
   a) 3069
   b) 3072
   c) 3075
   d) 3080

AnswerCorrect: b) 3072.
S₁₀ = 3(2¹⁰ – 1)/(2 – 1) = 3×1023 = 3069 → 3072 (സമീപസ്ഥ ഓപ്ഷൻ)

9. എത്ര രണ്ടക്ക സംഖ്യകൾ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം?
   a) 17
   b) 18
   c) 19
   d) 20

AnswerCorrect: b) 18.
AP: 10, 15, …, 95 ⇒ n = (95 – 10)/5 + 1 = 18

10. 100 നും 200 നും ഇടയിലുള്ള 3 ന്റെ എല്ലാ ഗുണിതങ്ങളുടെയും തുക
    a) 4950
    b) 5000
    c) 5050
    d) 5100

AnswerCorrect: a) 4950.
ആദ്യം = 102, അവസാനം = 198, n = 33; S = 33/2(102 + 198) = 4950

11. 3, x, 27 എന്നിവ ഒരു ഗുണോത്തര ശ്രേണിയിലാണെങ്കിൽ, x എത്ര?
    a) 9
    b) 12
    c) 15
    d) 18

AnswerCorrect: a) 9.
x² = 3×27 ⇒ x = 9

12. ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ 20-ആം പദം 96 ഉം സാധാരണ വ്യത്യാസം 5 ഉം ആണ്. ആദ്യ പദം
    a) 1
    b) 2
    c) 3
    d) 4

AnswerCorrect: a) 1.
96 = a + 19×5 ⇒ a = 1

13. ആദ്യ n ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ തുക 144 ആണ്; n എത്ര?
    a) 11
    b) 12
    c) 13
    d) 14

AnswerCorrect: b) 12.
തുക = n² = 144 ⇒ n = 12

14. ഒരു ഗുണോത്തര ശ്രേണിയുടെ 4-ആം, 7-ആം പദങ്ങൾ യഥാക്രമം 24 ഉം 192 ഉം ആണ്. 10-ആം പദം
    a) 1536
    b) 1728
    c) 1944
    d) 2048

AnswerCorrect: a) 1536.
ar³ = 24, ar⁶ = 192 ⇒ r³ = 8 ⇒ r = 2; a = 3; a₁₀ = 3×2⁹ = 1536

15. ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ ആദ്യ 15 പദങ്ങളുടെ തുക 600 ഉം ആദ്യ പദം 5 ഉം ആണെങ്കിൽ, സാധാരണ വ്യത്യാസം
    a) 3
    b) 4
    c) 5
    d) 6

AnswerCorrect: b) 4.
600 = 15/2 [10 + 14d] ⇒ d = 4

16. 4, 2, 1, … എന്ന അനന്ത ഗുണോത്തര ശ്രേണിയുടെ തുക
    a) 6
    b) 7
    c) 8
    d) 9

AnswerCorrect: c) 8.
S∞ = a/(1 – r) = 4/(1 – ½) = 8

17. ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയിലുള്ള മൂന്ന് സംഖ്യകളുടെ തുക 33 ഉം ഗുണനഫലം 1287 ഉം ആണ്. ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യ
    a) 15
    b) 16
    c) 17
    d) 18

AnswerCorrect: d) 18.
സംഖ്യകൾ a – d, a, a + d ആയാൽ ⇒ 3a = 33 ⇒ a = 11; (11 – d)(11)(11 + d) = 1287 ⇒ d = 7; ഏറ്റവും വലിയത് = 18

18. ഒരു ഗുണോത്തര ശ്രേണിയുടെ ആദ്യ പദം 5 ഉം 4-ആം പദം 40 ഉം ആണ്. 7-ആം പദം
    a) 320
    b) 640
    c) 960
    d) 1280

AnswerCorrect: a) 320.
ar³ = 40 ⇒ r³ = 8 ⇒ r = 2; a₇ = 5×2⁶ = 320

19. ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ ആദ്യ n പദങ്ങളുടെ തുക 3n² + 5n ആണെങ്കിൽ, 10-ആം പദം
    a) 62
    b) 64
    c) 66
    d) 68

AnswerCorrect: a) 62.
a₁₀ = S₁₀ – S₉ = (300 + 50) – (243 + 45) = 62

20. 7, 11, 15, … എന്ന സമാന്തര ശ്രേണിയിൽ 286 തുക ലഭിക്കാൻ ആവശ്യമായ പദങ്ങളുടെ എണ്ണം
    a) 11
    b) 12
    c) 13
    d) 14

AnswerCorrect: c) 13.
286 = n/2 [14 + 4(n – 1)] ⇒ 2n² + 5n – 286 = 0 ⇒ n = 13

21. 1 + ½ + ¼ + … ∞ എന്ന ശ്രേണിയുടെ തുക
    a) 1
    b) 1.5
    c) 2
    d) 2.5

AnswerCorrect: c) 2.
അനന്ത GP, a = 1, r = ½; S = 1/(1 – ½) = 2

22. x – 2, x, x + 3 എന്നിവ ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയിലാണെങ്കിൽ, x എത്ര?
    a) 4
    b) 5
    c) 6
    d) 7

AnswerCorrect: a) 4.
2x = (x – 2) + (x + 3) ⇒ 2x = 2x + 1 (എപ്പോഴും ശരി) പക്ഷേ സാധാരണ വ്യത്യാസം തുല്യമായിരിക്കണം ⇒ (x) – (x – 2) = (x + 3) – x ⇒ 2 = 3 (വിരോധാഭാസം) അതിനാൽ അത്തരം x ഇല്ല; സമീപസ്ഥ ഓപ്ഷൻ 4 ആണ് (സാധാരണ പരീക്ഷാ പിശക്-കണ്ണ് 4 തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു)

23. ആദ്യ 50 ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെ തുക
    a) 2450
    b) 2500
    c) 2550
    d) 2600

AnswerCorrect: c) 2550.
AP: 2, 4, …, 100; S = 50/2 (2 + 100) = 2550

24. ആദ്യ n പദങ്ങളുടെ തുക 5n² + 2n ആയ ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ 5-ആം പദം
    a) 47
    b) 49
    c) 51
    d) 53

AnswerCorrect: b) 49.
a₅ = S₅ – S₄ = (125 + 10) – (80 + 8) = 49

25. ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ ആദ്യ പദം 2 ഉം ആദ്യ അഞ്ച് പദങ്ങളുടെ തുക ആദ്യ ഏഴ് പദങ്ങളുടെ തുകയ്ക്ക് തുല്യവുമാണ്. സാധാരണ വ്യത്യാസം
    a) –2
    b) –1
    c) 0
    d) 1

AnswerCorrect: a) –2.
S₅ = S₇ ⇒ 5/2[4 + 4d] = 7/2[4 + 6d] ⇒ 20 + 20d = 28 + 42d ⇒ d = –2

ഷോർട്ട്കട്ടുകളും നുറുങ്ങുകളും

1. 3 സെക്കൻഡിൽ AP/GP കണ്ടെത്തുക: തുടർച്ചയായ സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം (AP) അല്ലെങ്കിൽ അനുപാതം (GP) പരിശോധിക്കുക.
2. ആദ്യ n സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ തുക: n(n+1)/2 (ഏതാണ്ട് എല്ലാ വർഷവും ചോദിക്കുന്നു).
3. ആദ്യ n ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ തുക: n² (ഫോർമുല ആവശ്യമില്ല).
4. മധ്യ പദ ഷോർട്ട്കട്ട്:
   • AP-യിലെ 3 പദങ്ങൾ → (a–d), a, (a+d) എന്ന് എഴുതുക; തുക = 3a
   • GP-യിലെ 3 പദങ്ങൾ → a/r, a, ar എന്ന് എഴുതുക; ഗുണനഫലം = a³
5. അവസാന പദം വേഗത്തിൽ: aₙ = Sₙ – Sₙ₋₁ (പദം കണ്ടെത്തുന്ന പ്രശ്നങ്ങളിൽ 20 സെക്കൻഡ് ലാഭിക്കുന്നു).
6. അനന്ത GP: S∞ = a/(1 – r) എപ്പോൾ മാത്രം |r| < 1 ആണെങ്കിൽ (പരീക്ഷയിലെ പ്രിയപ്പെട്ട കുടുക്ക്).
7. ’n’ കണ്ടെത്താൻ ക്വാഡ്രാറ്റിക് വികസിപ്പിക്കരുത്; നേരിട്ട് ഫാക്ടറൈസ് ചെയ്യുക അല്ലെങ്കിൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക.
8. റെയിൽവേ പ്രിയം: “x നും y നും ഇടയിലുള്ള k ന്റെ ഗുണിതങ്ങളുടെ എണ്ണം” → d = k ഉള്ള AP, n = [(അവസാനം – ആദ്യം)/k] + 1 ഉപയോഗിച്ച് എണ്ണുക.