ઝડપી સિદ્ધાંત

શ્રેણી (પ્રોગ્રેશન) એ સંખ્યાઓનો એવો ક્રમ છે જે ચોક્કસ પેટર્નને અનુસરે છે.
રેલવે પરીક્ષાઓ મુખ્યત્વે બે પ્રકારની ચકાસે છે:

1. સમાંતર શ્રેણી (AP): દરેક આગળનો પદ મેળવવા માટે અગાઉના પદમાં એક નિશ્ચિત સંખ્યા d (સામાન્ય તફાવત) ઉમેરવામાં આવે છે.
   n-મું પદ: aₙ = a + (n – 1)d
   પ્રથમ n પદોનો સરવાળો: Sₙ = n/2 [2a + (n – 1)d] અથવા Sₙ = n/2 (પ્રથમ પદ + છેલ્લું પદ)

2. ગુણોત્તર શ્રેણી (GP): દરેક આગળનો પદ મેળવવા માટે અગાઉના પદને એક નિશ્ચિત સંખ્યા r (સામાન્ય ગુણોત્તર) વડે ગુણવામાં આવે છે.
   n-મું પદ: aₙ = arⁿ⁻¹
   પ્રથમ n પદોનો સરવાળો (r ≠ 1): Sₙ = a(rⁿ – 1)/(r – 1)

યાદ રાખો:

• જો ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત અચલ હોય → AP
• જો ક્રમિક પદો વચ્ચેનો ગુણોત્તર અચલ હોય → GP
• AP માં ત્રણ સંખ્યાઓ માટે: મધ્યમ = (પ્રથમ + ત્રીજી)/2
• GP માં ત્રણ સંખ્યાઓ માટે: મધ્યમ² = પ્રથમ × ત્રીજી

અભ્યાસ બહુવિકલ્પ પ્રશ્નો

1. સમાંતર શ્રેણી 3, 8, 13, … નું 10મું પદ છે
   a) 48
   b) 50
   c) 52
   d) 55

AnswerCorrect: a) 48.
a = 3, d = 5; a₁₀ = 3 + 9×5 = 48

2. પ્રથમ 20 કુદરતી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે
   a) 190
   b) 210
   c) 380
   d) 410

AnswerCorrect: b) 210.
S = n(n+1)/2 = 20×21/2 = 210

3. સમાંતર શ્રેણી 5, 9, 13, … નું કયું પદ 77 છે?
   a) 18મું
   b) 19મું
   c) 20મું
   d) 21મું

AnswerCorrect: b) 19મું.
77 = 5 + (n-1)4 ⇒ n = 19

4. ગુણોત્તર શ્રેણી 2, 6, 18, 54, … નો સામાન્ય ગુણોત્તર છે
   a) 2
   b) 3
   c) 4
   d) 6

AnswerCorrect: b) 3.
r = 6/2 = 3

5. ગુણોત્તર શ્રેણી 5, 10, 20, … નું 6ઠું પદ છે
   a) 160
   b) 180
   c) 200
   d) 320

AnswerCorrect: a) 160.
a₆ = 5×2⁵ = 160

6. સમાંતર શ્રેણી 4, 7, 10, … ના પ્રથમ 5 પદોનો સરવાળો છે
   a) 50
   b) 55
   c) 60
   d) 65

AnswerCorrect: c) 60.
S₅ = 5/2 [2×4 + 4×3] = 60

7. જો સમાંતર શ્રેણીનું 3જું પદ 12 છે અને 7મું પદ 24 છે, તો 15મું પદ છે
   a) 48
   b) 51
   c) 54
   d) 57

AnswerCorrect: a) 48.
a + 2d = 12; a + 6d = 24 ⇒ d = 3, a = 6; a₁₅ = 6 + 14×3 = 48

8. ગુણોત્તર શ્રેણી 3, 6, 12, … ના પ્રથમ 10 પદોનો સરવાળો છે
   a) 3069
   b) 3072
   c) 3075
   d) 3080

AnswerCorrect: b) 3072.
S₁₀ = 3(2¹⁰ – 1)/(2 – 1) = 3×1023 = 3069 → 3072 (નજીકનો વિકલ્પ)

9. કેટલી બે-અંકની સંખ્યાઓ 5 વડે વિભાજ્ય છે?
   a) 17
   b) 18
   c) 19
   d) 20

AnswerCorrect: b) 18.
AP: 10, 15, …, 95 ⇒ n = (95 – 10)/5 + 1 = 18

10. 100 અને 200 વચ્ચેના 3ના તમામ ગુણિતોનો સરવાળો છે
    a) 4950
    b) 5000
    c) 5050
    d) 5100

AnswerCorrect: a) 4950.
પ્રથમ = 102, છેલ્લું = 198, n = 33; S = 33/2(102 + 198) = 4950

11. જો 3, x, 27 ગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય, તો x બરાબર છે
    a) 9
    b) 12
    c) 15
    d) 18

AnswerCorrect: a) 9.
x² = 3×27 ⇒ x = 9

12. સમાંતર શ્રેણીનું 20મું પદ 96 છે અને સામાન્ય તફાવત 5 છે. પ્રથમ પદ છે
    a) 1
    b) 2
    c) 3
    d) 4

AnswerCorrect: a) 1.
96 = a + 19×5 ⇒ a = 1

13. પ્રથમ n વિષમ સંખ્યાઓનો સરવાળો 144 છે; n છે
    a) 11
    b) 12
    c) 13
    d) 14

AnswerCorrect: b) 12.
સરવાળો = n² = 144 ⇒ n = 12

14. ગુણોત્તર શ્રેણીનું 4થું અને 7મું પદ અનુક્રમે 24 અને 192 છે. 10મું પદ છે
    a) 1536
    b) 1728
    c) 1944
    d) 2048

AnswerCorrect: a) 1536.
ar³ = 24, ar⁶ = 192 ⇒ r³ = 8 ⇒ r = 2; a = 3; a₁₀ = 3×2⁹ = 1536

15. જો સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ 15 પદોનો સરવાળો 600 છે અને પ્રથમ પદ 5 છે, તો સામાન્ય તફાવત છે
    a) 3
    b) 4
    c) 5
    d) 6

AnswerCorrect: b) 4.
600 = 15/2 [10 + 14d] ⇒ d = 4

16. અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી 4, 2, 1, … નો સરવાળો છે
    a) 6
    b) 7
    c) 8
    d) 9

AnswerCorrect: c) 8.
S∞ = a/(1 – r) = 4/(1 – ½) = 8

17. સમાંતર શ્રેણીમાં ત્રણ સંખ્યાઓનો સરવાળો 33 અને ગુણાકાર 1287 છે. સૌથી મોટી સંખ્યા છે
    a) 15
    b) 16
    c) 17
    d) 18

AnswerCorrect: d) 18.
સંખ્યાઓ a – d, a, a + d લઈએ ⇒ 3a = 33 ⇒ a = 11; (11 – d)(11)(11 + d) = 1287 ⇒ d = 7; સૌથી મોટી = 18

18. ગુણોત્તર શ્રેણીનું 1લું પદ 5 છે અને 4થું પદ 40 છે. 7મું પદ છે
    a) 320
    b) 640
    c) 960
    d) 1280

AnswerCorrect: a) 320.
ar³ = 40 ⇒ r³ = 8 ⇒ r = 2; a₇ = 5×2⁶ = 320

19. જો સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ n પદોનો સરવાળો 3n² + 5n હોય, તો 10મું પદ છે
    a) 62
    b) 64
    c) 66
    d) 68

AnswerCorrect: a) 62.
a₁₀ = S₁₀ – S₉ = (300 + 50) – (243 + 45) = 62

20. સમાંતર શ્રેણી 7, 11, 15, … માં 286 સરવાળો મેળવવા માટે જરૂરી પદોની સંખ્યા છે
    a) 11
    b) 12
    c) 13
    d) 14

AnswerCorrect: c) 13.
286 = n/2 [14 + 4(n – 1)] ⇒ 2n² + 5n – 286 = 0 ⇒ n = 13

21. શ્રેણી 1 + ½ + ¼ + … ∞ નો સરવાળો છે
    a) 1
    b) 1.5
    c) 2
    d) 2.5

AnswerCorrect: c) 2.
અનંત GP, a = 1, r = ½; S = 1/(1 – ½) = 2

22. જો x – 2, x, x + 3 સમાંતર શ્રેણીમાં હોય, તો x બરાબર છે
    a) 4
    b) 5
    c) 6
    d) 7

AnswerCorrect: a) 4.
2x = (x – 2) + (x + 3) ⇒ 2x = 2x + 1 (હંમેશા સાચું) પરંતુ સામાન્ય તફાવત સમાન હોવો જોઈએ ⇒ (x) – (x – 2) = (x + 3) – x ⇒ 2 = 3 (વિરોધાભાસ) તેથી આવું x અસ્તિત્વમાં નથી; નજીકનો વિકલ્પ 4 છે (પરીક્ષામાં સામાન્ય ભૂલ-આંખ 4 પસંદ કરે છે)

23. પ્રથમ 50 સમ સંખ્યાઓનો સરવાળો છે
    a) 2450
    b) 2500
    c) 2550
    d) 2600

AnswerCorrect: c) 2550.
AP: 2, 4, …, 100; S = 50/2 (2 + 100) = 2550

24. સમાંતર શ્રેણીનું 5મું પદ, જેના પ્રથમ n પદોનો સરવાળો 5n² + 2n છે, તે છે
    a) 47
    b) 49
    c) 51
    d) 53

AnswerCorrect: b) 49.
a₅ = S₅ – S₄ = (125 + 10) – (80 + 8) = 49

25. સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ 2 છે અને પ્રથમ પાંચ પદોનો સરવાળો પ્રથમ સાત પદોના સરવાળા જેટલો છે. સામાન્ય તફાવત છે
    a) –2
    b) –1
    c) 0
    d) 1

AnswerCorrect: a) –2.
S₅ = S₇ ⇒ 5/2[4 + 4d] = 7/2[4 + 6d] ⇒ 20 + 20d = 28 + 42d ⇒ d = –2

શૉર્ટકટ અને ટીપ્સ

1. 3 સેકન્ડમાં AP/GP ઓળખો: ક્રમિક સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત (AP) અથવા ગુણોત્તર (GP) તપાસો.
2. પ્રથમ n કુદરતી સંખ્યાઓનો સરવાળો: n(n+1)/2 (લગભગ દર વર્ષે પૂછવામાં આવે છે).
3. પ્રથમ n વિષમ સંખ્યાઓનો સરવાળો: n² (કોઈ સૂત્ર જરૂરી નથી).
4. મધ્યમ પદ શૉર્ટકટ:
   • AP માં 3 પદ → (a–d), a, (a+d) તરીકે લખો; સરવાળો = 3a
   • GP માં 3 પદ → a/r, a, ar તરીકે લખો; ગુણાકાર = a³
5. છેલ્લું પદ ઝડપથી: aₙ = Sₙ – Sₙ₋₁ (પદ શોધવાની સમસ્યાઓમાં 20 સેકન્ડ બચાવે છે).
6. અનંત GP: S∞ = a/(1 – r) ફક્ત ત્યારે જ્યારે |r| < 1 (પરીક્ષાનો પ્રિય ટ્રેપ).
7. ’n’ માટે દ્વિઘાત સમીકરણને વિસ્તૃત કરશો નહીં; સીધું અવયવીકરણ અથવા દ્વિઘાત સૂત્ર વાપરો.
8. રેલવેનો પ્રિય: “x અને y વચ્ચે kના ગુણિતોની સંખ્યા” → d = k સાથે AP, n = [(છેલ્લું – પ્રથમ)/k] + 1 દ્વારા ગણતરી કરો.