LCM اور HCF
کلیدی تصورات اور فارمولے
| # | تصور | مختصر وضاحت |
|---|---|---|
| 1 | پرائم-فیکٹر طریقہ | ہر عدد کو اجزائے ضربی میں توڑیں؛ LCM = تمام اجزائے ضربی کی اعلیٰ ترین طاقتوں کا حاصل ضرب، HCF = مشترکہ اجزائے ضربی کی کم ترین طاقتوں کا حاصل ضرب۔ |
| 2 | LCM × HCF = حاصل ضرب | کسی بھی دو مثبت صحیح اعداد a اور b کے لیے: LCM(a,b) × HCF(a,b) = a × b۔ |
| 3 | تقسیم کا طریقہ | بڑے عدد کو چھوٹے عدد سے بار بار تقسیم کریں؛ باقی ماندہ نیا مقسوم علیہ بن جاتا ہے یہاں تک کہ صفر آجائے؛ آخری غیر صفر باقی ماندہ = HCF۔ |
| 4 | باہمی مفرد اعداد | دو ایسے اعداد جن کا HCF 1 ہو؛ ان کا LCM صرف ان کا حاصل ضرب ہوتا ہے۔ |
| 5 | کسرتوں کا LCM | LCM = LCM(عددوں) ÷ HCF(مقاموں)؛ کسرتوں کا HCF = HCF(عددوں) ÷ LCM(مقاموں)۔ |
| 6 | باقی ماندہ کی یکسانی | اگر N کو a, b, c… سے تقسیم کرنے پر ایک ہی باقی r آئے تو N = k × LCM(a,b,c…) + r۔ |
10 مشق کے MCQs
-
دو اعداد کا HCF 12 ہے اور ان کا حاصل ضرب 2592 ہے۔ ان کا LCM معلوم کریں۔ جواب: 216
حل: LCM × HCF = حاصل ضرب ⇒ LCM = 2592 / 12 = 216
شارٹ کٹ: HCF معلوم ہونے پر براہ راست تقسیم۔
ٹیگ: LCM-HCF-حاصل ضرب تعلق -
وہ چھوٹے سے چھوٹا 3 ہندسی عدد معلوم کریں جو 12، 15 اور 18 سے پورا پورا تقسیم ہو۔ جواب: 180
حل: LCM(12,15,18)=180؛ 3 ہندسیوں میں پہلا ضرب 180 خود ہے۔
شارٹ کٹ: پہلے LCM، پھر رینج میں پہلا ضرب۔
ٹیگ: چھوٹے سے چھوٹا تقسیم ہونے والا عدد -
دو باہمی مفرد اعداد کا LCM 255 ہے۔ اگر ایک عدد 15 ہے، تو دوسرا ہے جواب: 17
حل: باہمی مفرد اعداد کے لیے، LCM = حاصل ضرب ⇒ 255 = 15 × x ⇒ x = 17
شارٹ کٹ: جب HCF = 1 ہو تو حاصل ضرب = LCM۔
ٹیگ: باہمی مفرد خصوصیت -
تین گھنٹیاں 8، 12 اور 18 منٹ کے وقفے سے بجتی ہیں۔ اگر وہ صبح 8:00 بجے ایک ساتھ بجیں، تو اگلی بار کب ایک ساتھ بجیں گی؟ جواب: 9:12 am
حل: LCM(8,12,18)=72 منٹ ⇒ 8:00 + 72 منٹ = 9:12 am
شارٹ کٹ: وقفوں کا LCM ایک ساتھ ہونے کا دورانیہ دیتا ہے۔
ٹیگ: حقیقی زندگی LCM -
1.5، 2.5 اور 3.5 کا HCF معلوم کریں۔ جواب: 0.5
حل: صحیح اعداد بنائیں: 15، 25، 35 → HCF = 5 → 10 سے تقسیم کریں ⇒ 0.5
شارٹ کٹ: اعشاریہ ہٹائیں، HCF معلوم کریں، اعشاریہ واپس لائیں۔
ٹیگ: اعشاریہ HCF -
دو اعداد کا تناسب 3:4 ہے اور ان کا HCF 8 ہے۔ ان کا مجموعہ ہے جواب: 56
حل: اعداد = 3×8 = 24 اور 4×8 = 32؛ مجموعہ = 56
شارٹ کٹ: HCF سے تناسب کی اصطلاحات کو ضرب دیں۔
ٹیگ: تناسب اور HCF -
وہ سب سے بڑا عدد جو 403، 434 اور 465 کو تقسیم کرے اور ہر صورت میں 3 باقی رہے، ہے جواب: 31
حل: 3 کو منہا کریں: 400، 431، 462 → HCF = 31
شارٹ کٹ: باقی ماندہ ایڈجسٹمنٹ → کم شدہ اعداد کا HCF۔
ٹیگ: مشترکہ باقی ماندہ -
کسرتوں 2/3، 4/5، 5/6 کا LCM ہے جواب: 20
حل: LCM(عدد)=2×4×5=40؛ HCF(مقام)=1؛ LCM(کسر)=40/1=40 → لیکن مختصر شکل 20/1=20
شارٹ کٹ: LCM(عدد)/HCF(مقام)۔
ٹیگ: کسر LCM -
وہ چھوٹے سے چھوٹا مربع عدد معلوم کریں جو 8، 12 اور 15 سے تقسیم ہو۔ جواب: 3600
حل: LCM(8,12,15)=120؛ کامل مربع بنائیں ⇒ 120×2×3×5=3600
شارٹ کٹ: پہلے LCM، پھر مربع بنانے کے لیے غائب اجزائے ضربی کے جوڑے ضرب دیں۔
ٹیگ: کامل مربع اور LCM -
اگر 408 اور 544 کا HCF 136 ہے، تو ان کا LCM ہے جواب: 1632
حل: حاصل ضرب = 408×544 = 221952؛ LCM = 221952/136 = 1632
شارٹ کٹ: حاصل ضرب فارمولا استعمال کریں۔
ٹیگ: ریورس حساب
5 پچھلے سال کے سوالات
[RRB NTPC 2021] دو اعداد کا حاصل ضرب 2160 ہے اور ان کا HCF 12 ہے۔ ان کا LCM معلوم کریں۔
جواب: 180
حل: LCM = 2160 / 12 = 180
ٹیگ: حاصل ضرب فارمولا
[RRB Group-D 2019] وہ سب سے بڑا عدد معلوم کریں جو 1657 اور 2037 کو تقسیم کرے اور 7 باقی رہے۔
جواب: 127
حل: 1657-7=1650؛ 2037-7=2030؛ HCF(1650,2030)=127
ٹیگ: باقی ماندہ قسم
[RRB NTPC 2016] تین ٹریفک لائٹس ہر 25، 40 اور 60 سیکنڈ بعد بدلتی ہیں۔ اگر وہ صبح 7:00 بجے ایک ساتھ بدلیں، تو اگلی بار کب ایک ساتھ بدلیں گی؟
جواب: 7:05 am
حل: LCM(25,40,60)=600 s = 10 منٹ
ٹیگ: حقیقی زندگی LCM
[RRB ALP 2018] 1.75، 2.25 اور 3.5 کا HCF ہے
جواب: 0.25
حل: 175، 225، 350 → HCF = 25 → 25/100 = 0.25
ٹیگ: اعشاریہ HCF
[RRB NTPC 2020] دو اعداد کا تناسب 5:7 ہے اور ان کا LCM 315 ہے۔ ان کا HCF معلوم کریں۔
جواب: 9
حل: اعداد = 5x، 7x؛ LCM = 35x = 315 ⇒ x = 9 = HCF
ٹیگ: تناسب اور LCM
اسپیڈ ٹرکس اور شارٹ کٹس
| صورت حال | شارٹ کٹ | مثال |
|---|---|---|
| ایک ہی باقی r | ہر ایک سے r منہا کریں، HCF معلوم کریں | HCF(123−3, 237−3)=HCF(120,234)=6 |
| باہمی مفرد چیک | HCF 1 ہونا چاہیے | HCF(15,22)=1 → باہمی مفرد |
| اعشاریہ HCF | 100 سے ضرب دیں، HCF معلوم کریں، واپس تقسیم کریں | HCF(1.2,1.5)=HCF(12,15)/10=3/10=0.3 |
| (a, 2a, 3a) کا LCM | صرف 6a | LCM(7,14,21)=42 |
| 2 عددی LCM فوری | LCM = (a×b)/HCF استعمال کریں | a=18, b=24, HCF=6 → LCM=72 |
عام غلطیاں جن سے بچنا ہے
| غلطی | طلباء یہ کیوں کرتے ہیں | درست طریقہ |
|---|---|---|
| باقی ماندہ کو نظر انداز کرنا | اصل اعداد کا HCF لینا | ہمیشہ باقی ماندہ منہا کر کے ایڈجسٹ کریں |
| اعشاریہ کی غلط پوزیشن | اعشاریہ ہٹانے کے بعد واپس تقسیم کرنا بھول جانا | اعشاریہ جگہوں کی ایک ہی تعداد واپس لائیں |
| کسر LCM الٹا کرنا | مقامات کا LCM کی بجائے HCF استعمال کرنا | یاد رکھیں: LCM(کسر)=LCM(عدد)/HCF(مقام) |
| اعداد کو باہمی مفرد سمجھ لینا | چھوٹے اعداد دیکھ کر | ہمیشہ باہمی مفرد سمجھنے سے پہلے HCF=1 کی تصدیق کریں |
فوری نظر ثانی فلیش کارڈز
| سامنے | پیچھے |
|---|---|
| دو اعداد کے لیے LCM × HCF برابر ہے | ان کے حاصل ضرب کے |
| باہمی مفرد اعداد کا HCF | 1 |
| a,b,c سے تقسیم ہونے والا چھوٹے سے چھوٹا عدد | LCM(a,b,c) |
| a,b,c کو تقسیم کرنے والا سب سے بڑا عدد جو باقی r چھوڑے | HCF(a−r, b−r, c−r) |
| کسرتوں کے LCM کا فارمولا | LCM(عدد)/HCF(مقام) |
| اعشاریہ کا HCF ٹرک | اعشاریہ ہٹائیں، HCF معلوم کریں، واپس لائیں |
| اگر تناسب a:b اور HCF = h، تو اعداد ہیں | ah اور bh |
| تناسب 2:3:4 میں تین اعداد جن کا HCF 5 ہے | 10، 15، 20 |
| دیے گئے اعداد سے تقسیم ہونے والا کامل مربع | پہلے LCM، پھر تمام اجزائے ضربی کے جوڑے بنائیں |
| 6,8,10 سے تقسیم کرنے پر باقی 5 → عدد کی شکل | N = k·LCM(6,8,10)+5 = 120k+5 |
BETA
