लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) और महत्तम समापवर्तक (HCF)
मुख्य अवधारणाएं और सूत्र
| # | अवधारणा | संक्षिप्त व्याख्या |
|---|---|---|
| 1 | अभाज्य-गुणनखंड विधि | प्रत्येक संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ें; LCM = सभी अभाज्य संख्याओं की उच्चतम घातों का गुणनफल, HCF = उभयनिष्ठ अभाज्य संख्याओं की निम्नतम घातों का गुणनफल। |
| 2 | LCM × HCF = गुणनफल | किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए: LCM(a,b) × HCF(a,b) = a × b। |
| 3 | भाग विधि | बड़ी संख्या को छोटी संख्या से बार-बार भाग दें; शेषफल नया भाजक बन जाता है जब तक कि शून्य न हो; अंतिम गैर-शून्य शेषफल = HCF। |
| 4 | सह-अभाज्य संख्याएं | दो संख्याएं जिनका HCF 1 है; उनका LCM केवल उनका गुणनफल होता है। |
| 5 | भिन्नों का LCM | LCM = LCM(अंश) ÷ HCF(हर); भिन्नों का HCF = HCF(अंश) ÷ LCM(हर)। |
| 6 | शेषफल संगति | यदि N को a, b, c… से भाग देने पर समान शेषफल r बचता है, तो N = k × LCM(a,b,c…) + r। |
10 अभ्यास बहुविकल्पीय प्रश्न
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दो संख्याओं का HCF 12 है और उनका गुणनफल 2592 है। उनका LCM ज्ञात कीजिए। उत्तर: 216
हल: LCM × HCF = गुणनफल ⇒ LCM = 2592 / 12 = 216
शॉर्टकट: HCF ज्ञात होने पर सीधा भाग।
टैग: LCM-HCF-गुणनफल संबंध -
वह छोटी से छोटी 3-अंकीय संख्या ज्ञात कीजिए जो 12, 15 और 18 से पूर्णतः विभाज्य है। उत्तर: 180
हल: LCM(12,15,18)=180; 3-अंकीय सबसे छोटा गुणज 180 ही है।
शॉर्टकट: पहले LCM, फिर सीमा में पहला गुणज।
टैग: विभाज्य सबसे छोटी संख्या -
दो सह-अभाज्य संख्याओं का LCM 255 है। यदि एक संख्या 15 है, तो दूसरी है उत्तर: 17
हल: सह-अभाज्य संख्याओं के लिए, LCM = गुणनफल ⇒ 255 = 15 × x ⇒ x = 17
शॉर्टकट: HCF = 1 होने पर गुणनफल = LCM।
टैग: सह-अभाज्य गुण -
तीन घंटियाँ क्रमशः 8, 12 और 18 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। यदि वे सुबह 8:00 बजे एक साथ बजती हैं, तो अगली बार कब एक साथ बजेंगी? उत्तर: 9:12 am
हल: LCM(8,12,18)=72 मिनट ⇒ 8:00 + 72 मिनट = 9:12 am
शॉर्टकट: अंतरालों का LCM एक साथ बजने का समय देता है।
टैग: वास्तविक जीवन LCM -
1.5, 2.5 और 3.5 का HCF ज्ञात कीजिए। उत्तर: 0.5
हल: पूर्णांक बनाएं: 15, 25, 35 → HCF = 5 → 10 से भाग दें ⇒ 0.5
शॉर्टकट: दशमलव हटाएं, HCF ज्ञात करें, दशमलव पुनर्स्थापित करें।
टैग: दशमलव HCF -
दो संख्याएं 3:4 के अनुपात में हैं और उनका HCF 8 है। उनका योग है उत्तर: 56
हल: संख्याएं = 3×8 = 24 और 4×8 = 32; योग = 56
शॉर्टकट: अनुपात पदों को HCF से गुणा करें।
टैग: अनुपात और HCF -
वह बड़ी से बड़ी संख्या जो 403, 434 और 465 को विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में 3 शेष बचाती है, है उत्तर: 31
हल: 3 घटाएं: 400, 431, 462 → HCF = 31
शॉर्टकट: शेषफल समायोजन → घटाई गई संख्याओं का HCF।
टैग: उभयनिष्ठ शेषफल -
भिन्नों 2/3, 4/5, 5/6 का LCM है उत्तर: 20
हल: LCM(अंश)=2×4×5=40; HCF(हर)=1; LCM(भिन्न)=40/1=40 → लेकिन सरलीकृत रूप 20/1=20
शॉर्टकट: LCM(अंश)/HCF(हर)।
टैग: भिन्न LCM -
वह छोटी से छोटी पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो 8, 12 और 15 से विभाज्य है। उत्तर: 3600
हल: LCM(8,12,15)=120; पूर्ण वर्ग बनाएं ⇒ 120×2×3×5=3600
शॉर्टकट: पहले LCM, फिर वर्ग बनाने के लिए लुप्त अभाज्य जोड़े से गुणा करें।
टैग: पूर्ण वर्ग और LCM -
यदि 408 और 544 का HCF 136 है, तो उनका LCM है उत्तर: 1632
हल: गुणनफल = 408×544 = 221952; LCM = 221952/136 = 1632
शॉर्टकट: गुणनफल सूत्र का उपयोग करें।
टैग: विपरीत गणना
5 पिछले वर्षों के प्रश्न
[RRB NTPC 2021] दो संख्याओं का गुणनफल 2160 है और उनका HCF 12 है। उनका LCM ज्ञात कीजिए।
उत्तर: 180
हल: LCM = 2160 / 12 = 180
टैग: गुणनफल सूत्र
[RRB Group-D 2019] वह बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो 1657 और 2037 को विभाजित करने पर 7 शेष बचाती है।
उत्तर: 127
हल: 1657-7=1650; 2037-7=2030; HCF(1650,2030)=127
टैग: शेषफल प्रकार
[RRB NTPC 2016] तीन यातायात बत्तियाँ क्रमशः 25, 40 और 60 सेकंड के बाद बदलती हैं। यदि वे सुबह 7:00 बजे एक साथ बदलती हैं, तो अगली बार कब एक साथ बदलेंगी?
उत्तर: 7:05 am
हल: LCM(25,40,60)=600 सेकंड = 10 मिनट
टैग: वास्तविक जीवन LCM
[RRB ALP 2018] 1.75, 2.25 और 3.5 का HCF है
उत्तर: 0.25
हल: 175, 225, 350 → HCF = 25 → 25/100 = 0.25
टैग: दशमलव HCF
[RRB NTPC 2020] दो संख्याएं 5:7 के अनुपात में हैं और उनका LCM 315 है। उनका HCF ज्ञात कीजिए।
उत्तर: 9
हल: माना संख्याएं = 5x, 7x; LCM = 35x = 315 ⇒ x = 9 = HCF
टैग: अनुपात और LCM
गति ट्रिक्स और शॉर्टकट
| स्थिति | शॉर्टकट | उदाहरण |
|---|---|---|
| समान शेषफल r | प्रत्येक में से r घटाएं, HCF ज्ञात करें | HCF(123−3, 237−3)=HCF(120,234)=6 |
| सह-अभाज्य जाँच | HCF 1 होना चाहिए | HCF(15,22)=1 → सह-अभाज्य |
| दशमलव HCF | 100 से गुणा करें, HCF ज्ञात करें, वापस भाग दें | HCF(1.2,1.5)=HCF(12,15)/10=3/10=0.3 |
| (a, 2a, 3a) का LCM | केवल 6a | LCM(7,14,21)=42 |
| 2-संख्या LCM शीघ्र | LCM = (a×b)/HCF का उपयोग करें | a=18, b=24, HCF=6 → LCM=72 |
सामान्य गलतियाँ जिनसे बचना है
| गलती | विद्यार्थी क्यों करते हैं | सही दृष्टिकोण |
|---|---|---|
| शेषफल की उपेक्षा | मूल संख्याओं का सीधे HCF लेना | हमेशा पहले शेषफल घटाकर समायोजित करें |
| दशमलव स्थान गलत | दशमलव हटाने के बाद वापस भाग देना भूल जाना | दशमलव स्थानों की समान संख्या पुनर्स्थापित करें |
| भिन्न LCM उल्टा | हर के LCM के बजाय HCF का उपयोग करना | याद रखें: LCM(भिन्न)=LCM(अंश)/HCF(हर) |
| संख्याओं को सह-अभाज्य मान लेना | छोटी संख्याएं देखकर | सह-अभाज्य मानने से पहले हमेशा HCF=1 सत्यापित करें |
त्वरित पुनरावलोकन फ्लैशकार्ड
| सामने | पीछे |
|---|---|
| दो संख्याओं के लिए LCM × HCF बराबर होता है | उनके गुणनफल के |
| सह-अभाज्य संख्याओं का HCF | 1 |
| a,b,c से विभाज्य सबसे छोटी संख्या | LCM(a,b,c) |
| a,b,c को विभाजित करने पर शेषफल r छोड़ने वाली बड़ी से बड़ी संख्या | HCF(a−r, b−r, c−r) |
| भिन्नों के LCM का सूत्र | LCM(अंश)/HCF(हर) |
| दशमलवों के HCF की ट्रिक | दशमलव हटाएं, HCF ज्ञात करें, पुनर्स्थापित करें |
| यदि अनुपात a:b और HCF = h, तो संख्याएं हैं | ah और bh |
| अनुपात 2:3:4 में तीन संख्याएं जिनका HCF 5 है, हैं | 10, 15, 20 |
| दी गई संख्याओं से विभाज्य पूर्ण वर्ग | पहले LCM, फिर सभी अभाज्य संख्याओं को जोड़े में लाएं |
| 6,8,10 से भाग देने पर शेषफल 5 → संख्या का रूप | N = k·LCM(6,8,10)+5 = 120k+5 |
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