ଲସାଗୁ ଓ ଗସାଗୁ
ମୁଖ୍ୟ ଧାରଣା ଓ ସୂତ୍ରସମୂହ
| # | ଧାରଣା | ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ବ୍ୟାଖ୍ୟା |
|---|---|---|
| 1 | ମୌଳିକ-ଉତ୍ପାଦକ ପଦ୍ଧତି | ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାକୁ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାରେ ବିଭକ୍ତ କର; ଲସାଗୁ = ସମସ୍ତ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତର ଗୁଣଫଳ, ଗସାଗୁ = ସାଧାରଣ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ସର୍ବନିମ୍ନ ଘାତର ଗୁଣଫଳ |
| 2 | ଲସାଗୁ × ଗସାଗୁ = ଗୁଣଫଳ | ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା a ଓ b ପାଇଁ: LCM(a,b) × HCF(a,b) = a × b |
| 3 | ଭାଗ ପଦ୍ଧତି | ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଛୋଟ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ବାରମ୍ବାର ଭାଗ କର; ଶେଷ ଅଶୂନ୍ୟ ଭାଗଶେଷ = ଗସାଗୁ |
| 4 | ସହ-ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା | ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ଯାହାର ଗସାଗୁ 1; ସେମାନଙ୍କର ଲସାଗୁ କେବଳ ସେମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ |
| 5 | ଭଗ୍ନାଂଶର ଲସାଗୁ | ଲସାଗୁ = ଲସାଗୁ(ଅଂଶ)/ଗସାଗୁ(ଛେଦ); ଭଗ୍ନାଂଶର ଗସାଗୁ = ଗସାଗୁ(ଅଂଶ)/ଲସାଗୁ(ଛେଦ) |
| 6 | ଭାଗଶେଷ ସ୍ଥିରତା | ଯଦି Nକୁ a, b, c… ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ ସମାନ ଭାଗଶେଷ r ରହେ, ତେବେ N = k × LCM(a,b,c…) + r |
10 ଟି ଅଭ୍ୟାସ ବହୁବିକଳ୍ପୀୟ ପ୍ରଶ୍ନ
-
ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଗସାଗୁ 12 ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ 2592 | ସେମାନଙ୍କର ଲସାଗୁ କେତେ? ଉତ୍ତର: 216
ସମାଧାନ: ଲସାଗୁ × ଗସାଗୁ = ଗୁଣଫଳ ⇒ ଲସାଗୁ = 2592 / 12 = 216
ଶର୍ଟକଟ: ଗସାଗୁ ଜଣା ପରେ ସିଧାସଳଖ ଭାଗକର | ଟ୍ୟାଗ୍: ଲସାଗୁ-ଗସାଗୁ-ଗୁଣଫଳ ସମ୍ପର୍କ -
12, 15 ଏବଂ 18 ଦ୍ୱାରା ନିଶ୍ଚୟ ଭାଜ୍ୟ ସର୍ବନିମ୍ନ 3-ଅଙ୍କିଆ ସଂଖ୍ୟା କେତେ? ଉତ୍ତର: 180
ସମାଧାନ: LCM(12,15,18)=180; ପରିସର ମଧ୍ୟରେ ପ୍ରଥମ ଗୁଣିତ ହେଉଛି 180 ନିଜେ | ଶର୍ଟକଟ: ପ୍ରଥମେ ଲସାଗୁ, ତା’ପରେ ପରିସର ମଧ୍ୟରେ ପ୍ରଥମ ଗୁଣିତ | ଟ୍ୟାଗ୍: ନିଶ୍ଚୟ ଭାଜ୍ୟ ସର୍ବନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟା -
ଦୁଇଟି ସହ-ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ଲସାଗୁ 255 | ଯଦି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା 15, ଅନ୍ୟଟି କେତେ? ଉତ୍ତର: 17
ସମାଧାନ: ସହ-ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ, ଲସାଗୁ = ଗୁଣଫଳ ⇒ 255 = 15 × x ⇒ x = 17
ଶର୍ଟକଟ: ଯେତେବେଳେ ଗସାଗୁ = 1, ଗୁଣଫଳ = ଲସାଗୁ | ଟ୍ୟାଗ୍: ସହ-ମୌଳିକ ଧର୍ମ -
ତିନୋଟି ଘଣ୍ଟା ଯଥାକ୍ରମେ 8, 12 ଏବଂ 18 ମିନିଟ୍ ବ୍ୟବଧାନରେ ବାଜେ | ଯଦି ସେମାନେ ସକାଳ 8:00 ଟାରେ ଏକାଠି ବାଜନ୍ତି, ପରବର୍ତ୍ତୀ କେବେ ଏକାଠି ବାଜିବେ? ଉତ୍ତର: ସକାଳ 9:12
ସମାଧାନ: LCM(8,12,18)=72 ମିନିଟ୍ ⇒ ସକାଳ 8:00 + 72 ମିନିଟ୍ = ସକାଳ 9:12
ଶର୍ଟକଟ: ବ୍ୟବଧାନର ଲସାଗୁ ସମକାଳୀନ ଅବଧି ଦେଇଥାଏ | ଟ୍ୟାଗ୍: ବାସ୍ତବ ଜୀବନ ଲସାଗୁ -
1.5, 2.5 ଏବଂ 3.5ର ଗସାଗୁ କେତେ? ଉତ୍ତର: 0.5
ସମାଧାନ: ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା କର: 15, 25, 35 → ଗସାଗୁ = 5 → 10 ଦ୍ୱାରା ଭାଗକର ⇒ 0.5
ଶର୍ଟକଟ: ଦଶମିକ ହଟାଅ, ଗସାଗୁ କର, ଦଶମିକ ଫେରାଇ ଆଣ | ଟ୍ୟାଗ୍: ଦଶମିକ ଗସାଗୁ -
ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଅନୁପାତ 3:4 ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ଗସାଗୁ 8 | ସେମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ କେତେ? ଉତ୍ତର: 56
ସମାଧାନ: ସଂଖ୍ୟା = 3×8 = 24 ଓ 4×8 = 32; ଯୋଗଫଳ = 56
ଶର୍ଟକଟ: ଅନୁପାତ ପଦକୁ ଗସାଗୁ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣିକର | ଟ୍ୟାଗ୍: ଅନୁପାତ ଓ ଗସାଗୁ -
ସେହି ସର୍ବବୃହତ ସଂଖ୍ୟା ଯାହା 403, 434 ଓ 465କୁ ଭାଗକଲେ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ 3 ଭାଗଶେଷ ରହେ ଉତ୍ତର: 31
ସମାଧାନ: 3 ବିୟୋଗ କର: 400, 431, 462 → ଗସାଗୁ = 31
ଶର୍ଟକଟ: ଭାଗଶେଷ ସଂଶୋଧନ → ହ୍ରାସିତ ସଂଖ୍ୟାର ଗସାଗୁ | ଟ୍ୟାଗ୍: ସାଧାରଣ ଭାଗଶେଷ -
2/3, 4/5, 5/6 ଭଗ୍ନାଂଶର ଲସାଗୁ କେତେ? ଉତ୍ତର: 20
ସମାଧାନ: ଲସାଗୁ(ଅଂଶ)=2×4×5=40; ଗସାଗୁ(ଛେଦ)=1; ଲସାଗୁ(ଭଗ୍ନାଂଶ)=40/1=40 → କିନ୍ତୁ ସରଳୀକୃତ ରୂପ 20/1=20
ଶର୍ଟକଟ: ଲସାଗୁ(ଅଂଶ)/ଗସାଗୁ(ଛେଦ) | ଟ୍ୟାଗ୍: ଭଗ୍ନାଂଶ ଲସାଗୁ -
8, 12 ଓ 15 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସର୍ବନିମ୍ନ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା କେତେ? ଉତ୍ତର: 3600
ସମାଧାନ: LCM(8,12,15)=120; ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ କର ⇒ 120×2×3×5=3600
ଶର୍ଟକଟ: ପ୍ରଥମେ ଲସାଗୁ, ତା’ପରେ ବର୍ଗ ପାଇଁ ଅନୁପସ୍ଥିତ ମୌଳିକ ଯୋଡ଼ା ଗୁଣିକର | ଟ୍ୟାଗ୍: ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଓ ଲସାଗୁ -
ଯଦି 408 ଓ 544ର ଗସାଗୁ 136, ସେମାନଙ୍କର ଲସାଗୁ କେତେ? ଉତ୍ତର: 1632
ସମାଧାନ: ଗୁଣଫଳ = 408×544 = 221952; ଲସାଗୁ = 221952/136 = 1632
ଶର୍ଟକଟ: ଗୁଣଫଳ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କର | ଟ୍ୟାଗ୍: ବିପରୀତ ଗଣନା
5 ଟି ପୂର୍ବତନ ବର୍ଷର ପ୍ରଶ୍ନ
[RRB NTPC 2021] ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ 2160 ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ଗସାଗୁ 12 | ସେମାନଙ୍କର ଲସାଗୁ କେତେ?
ଉତ୍ତର: 180
ସମାଧାନ: ଲସାଗୁ = 2160 / 12 = 180
ଟ୍ୟାଗ୍: ଗୁଣଫଳ ସୂତ୍ର
[RRB Group-D 2019] ସେହି ସର୍ବବୃହତ ସଂଖ୍ୟା କେତେ ଯାହା 1657 ଓ 2037କୁ ଭାଗକଲେ 7 ଭାଗଶେଷ ରହେ?
ଉତ୍ତର: 127
ସମାଧାନ: 1657-7=1650; 2037-7=2030; HCF(1650,2030)=127
ଟ୍ୟାଗ୍: ଭାଗଶେଷ ପ୍ରକାର
[RRB NTPC 2016] ତିନୋଟି ଟ୍ରାଫିକ୍ ଲାଇଟ ଯଥାକ୍ରମେ ପ୍ରତି 25, 40 ଓ 60 ସେକେଣ୍ଡରେ ବଦଳେ | ଯଦି ସେମାନେ ସକାଳ 7:00 ଟାରେ ଏକାଠି ବଦଳନ୍ତି, ପରବର୍ତ୍ତୀ କେବେ ଏକାଠି ବଦଳିବେ?
ଉତ୍ତର: ସକାଳ 7:05
ସମାଧାନ: LCM(25,40,60)=600 s = 10 ମିନିଟ୍
ଟ୍ୟାଗ୍: ବାସ୍ତବ ଜୀବନ ଲସାଗୁ
[RRB ALP 2018] 1.75, 2.25 ଓ 3.5ର ଗସାଗୁ କେତେ?
ଉତ୍ତର: 0.25
ସମାଧାନ: 175, 225, 350 → ଗସାଗୁ = 25 → 25/100 = 0.25
ଟ୍ୟାଗ୍: ଦଶମିକ ଗସାଗୁ
[RRB NTPC 2020] ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଅନୁପାତ 5:7 ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ଲସାଗୁ 315 | ସେମାନଙ୍କର ଗସାଗୁ କେତେ?
ଉତ୍ତର: 9
ସମାଧାନ: ସଂଖ୍ୟା = 5x, 7x; ଲସାଗୁ = 35x = 315 ⇒ x = 9 = ଗସାଗୁ
ଟ୍ୟାଗ୍: ଅନୁପାତ ଓ ଲସାଗୁ
ଦ୍ରୁତ କୌଶଳ ଓ ଶର୍ଟକଟ୍
| ପରିସ୍ଥିତି | ଶର୍ଟକଟ୍ | ଉଦାହରଣ |
|---|---|---|
| ସମାନ ଭାଗଶେଷ r | ପ୍ରତ୍ୟେକରୁ r ବିୟୋଗ କର, ଗସାଗୁ କର | HCF(123−3, 237−3)=HCF(120,234)=6 |
| ସହ-ମୌଳିକ ଯାଞ୍ଚ | ଗସାଗୁ 1 ହେବା ଆବଶ୍ୟକ | HCF(15,22)=1 → ସହ-ମୌଳିକ |
| ଦଶମିକ ଗସାଗୁ | 100 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣି, ଗସାଗୁ କର, ପୁନର୍ବାର ଭାଗକର | HCF(1.2,1.5)=HCF(12,15)/10=3/10=0.3 |
| (a, 2a, 3a)ର ଲସାଗୁ | କେବଳ 6a | LCM(7,14,21)=42 |
| ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଦ୍ରୁତ ଲସାଗୁ | ଲସାଗୁ = (a×b)/ଗସାଗୁ ବ୍ୟବହାର କର | a=18, b=24, HCF=6 → LCM=72 |
ଏଡ଼େଇବାକୁ ହେବା ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍
| ଭୁଲ୍ | କାହିଁକି ଛାତ୍ରମାନେ ଏହା କରନ୍ତି | ସଠିକ୍ ପଦ୍ଧତି |
|---|---|---|
| ଭାଗଶେଷକୁ ଅଣଦେଖା କରିବା | ମୂଳ ସଂଖ୍ୟାର ସିଧାସଳଖ ଗସାଗୁ ନେବା | ସର୍ବଦା ପ୍ରଥମେ ଭାଗଶେଷ ବିୟୋଗ କରି ସଂଶୋଧନ କର |
| ଦଶମିକ ସ୍ଥାନ ଭୁଲ୍ | ଦଶମିକ ହଟାଇବା ପରେ ପୁନର୍ବାର ଭାଗକରିବା ଭୁଲିଯିବା | ସମାନ ସଂଖ୍ୟକ ଦଶମିକ ସ୍ଥାନ ଫେରାଇ ଆଣ |
| ଭଗ୍ନାଂଶ ଲସାଗୁ ଓଲଟାଇବା | ଛେଦର ଲସାଗୁ ବଦଳରେ ଗସାଗୁ ବ୍ୟବହାର କରିବା | ମନେରଖ: ଲସାଗୁ(ଭଗ୍ନାଂଶ)=ଲସାଗୁ(ଅଂଶ)/ଗସାଗୁ(ଛେଦ) |
| ସଂଖ୍ୟାକୁ ସହ-ମୌଳିକ ଧରି ନେବା | ଛୋଟ ସଂଖ୍ୟା ଦେଖି | ସହ-ମୌଳିକ ବୋଲି ଚିକିତ୍ସା କରିବା ପୂର୍ବରୁ ସର୍ବଦା ଗସାଗୁ=1 ଯାଞ୍ଚ କର |
ଦ୍ରୁତ ସମୀକ୍ଷା ଫ୍ଲାସ୍କାର୍ଡ୍
| ସାମନା ପାର୍ଶ୍ୱ | ପଛ ପାର୍ଶ୍ୱ |
|---|---|
| ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ଲସାଗୁ × ଗସାଗୁ ସମାନ | ସେମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ |
| ସହ-ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ଗସାଗୁ | 1 |
| a,b,c ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସର୍ବନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟା | LCM(a,b,c) |
| a,b,cକୁ ଭାଗକଲେ r ଭାଗଶେଷ ରଖୁଥିବା ସର୍ବବୃହତ ସଂଖ୍ୟା | HCF(a−r, b−r, c−r) |
| ଭଗ୍ନାଂଶର ଲସାଗୁ ସୂତ୍ର | ଲସାଗୁ(ଅଂଶ)/ଗସାଗୁ(ଛେଦ) |
| ଦଶମିକର ଗସାଗୁ କୌଶଳ | ଦଶମିକ ହଟାଅ, ଗସାଗୁ କର, ଫେରାଇ ଆଣ |
| ଯଦି ଅନୁପାତ a:b ଏବଂ ଗସାଗୁ = h, ସଂଖ୍ୟା ହେବେ | ah ଓ bh |
| ଅନୁପାତ 2:3:4 ରେ ଥିବା ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟା ଯାହାର ଗସାଗୁ 5 | 10, 15, 20 |
| ଦତ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା | ପ୍ରଥମେ ଲସାଗୁ, ତା’ପରେ ସମସ୍ତ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଯୋଡ଼ା କର |
| 6,8,10 ଦ୍ୱାରା ଭାଗକଲେ 5 ଭାଗଶେଷ ରହେ → ସଂଖ୍ୟାର ରୂପ | N = k·LCM(6,8,10)+5 = 120k+5 |
BETA
