کوآرڈینیٹ جیومیٹری
کلیدی تصورات
| # | تصور | وضاحت |
|---|---|---|
| 1 | فاصلے کا فارمولا | A(x₁,y₁) اور B(x₂,y₂) کے درمیان فاصلہ = √[(x₂–x₁)²+(y₂–y₁)²] |
| 2 | سیکشن فارمولا | نقطہ جو AB کو m:n کے تناسب میں اندرونی طور پر تقسیم کرتا ہے = [(mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n)] |
| 3 | وسطانی نقطہ | AB کا وسطانی نقطہ = [(x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2] |
| 4 | مثلث کا مرکز ثقل | مرکز ثقل G = [(x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3] |
| 5 | خط کی ڈھلوان | m = (y₂–y₁)/(x₂–x₁); افقی→m=0, عمودی→m=∞ |
| 6 | خط کی مساوات | y–y₁ = m(x–x₁) یا ax+by+c=0 |
| 7 | مثلث کا رقبہ | ½ |
15 مشق کے MCQs
-
(3,4) اور (–1,1) کے درمیان فاصلہ ہے A) 3 B) 4 C) 5 D) 6
جواب: C
حل: √[(–1–3)²+(1–4)²]=√(16+9)=5
شارٹ کٹ: 3-4-5 فیثاغورث ٹرپلٹ
ٹیگ: فاصلے کا فارمولا -
(7, –5) اور (3, 9) کا وسطانی نقطہ ہے A) (5,2) B) (5,–2) C) (2,5) D) (–2,5)
جواب: A
حل: [(7+3)/2, (–5+9)/2] = (5,2)
شارٹ کٹ: x اور y کو الگ الگ اوسط کریں
ٹیگ: وسطانی نقطہ -
ایک خط مثبت x-axis کے ساتھ 45° بناتا ہے۔ اس کی ڈھلوان ہے A) 0 B) 1 C) –1 D) √3
جواب: B
حل: m = tan 45° = 1
شارٹ کٹ: tan θ براہ راست ڈھلوان دیتا ہے
ٹیگ: ڈھلوان -
راس (0,0), (4,0), (0,3) والے مثلث کا رقبہ ہے A) 6 B) 12 C) 7 D) 5
جواب: A
حل: ½×قاعدہ×اونچائی = ½×4×3 = 6
شارٹ کٹ: قائم الزاویہ ⇒ ½×ٹانگوں کا حاصل ضرب
ٹیگ: رقبہ -
(2,1), (6,3), (4,9) کا مرکز ثقل ہے A) (4,13/3) B) (12,13) C) (4,4) D) (4,13)
جواب: A
حل: [(2+6+4)/3, (1+3+9)/3] = (12/3,13/3)
شارٹ کٹ: کوآرڈینیٹس کو جمع کریں ÷3
ٹیگ: مرکز ثقل -
نقطہ جو (1,2) اور (7,8) کو اندرونی طور پر 1:2 کے تناسب میں تقسیم کرتا ہے A) (3,4) B) (4,3) C) (5,6) D) (6,5)
جواب: A
حل: x=(1×7+2×1)/3=9/3=3; y=(1×8+2×2)/3=12/3=4
شارٹ کٹ: وزن دار اوسط
ٹیگ: سیکشن فارمولا -
خط 3x–4y+12=0 کی ڈھلوان ہے A) 3/4 B) –3/4 C) 4/3 D) –4/3
جواب: A
حل: y=(3/4)x+3 لکھیں ⇒ m=3/4
شارٹ کٹ: ax+by+c=0 کے لیے، m=–a/b
ٹیگ: خط کی مساوات -
k کی وہ قیمت جس کے لیے (2,k) خط 5x–2y=10 پر واقع ہے A) 0 B) 5 C) –5 D) 2
جواب: A
حل: 5(2)–2k=10 ⇒ 10–2k=10 ⇒ k=0
شارٹ کٹ: x ڈالیں، y حل کریں
ٹیگ: خط کی مساوات -
نقطہ (7,24) کا مبدا سے فاصلہ ہے A) 25 B) 24 C) 31 D) 30
جواب: A
حل: √(7²+24²)=√(49+576)=√625=25
شارٹ کٹ: 7-24-25 ٹرپلٹ
ٹیگ: فاصلے کا فارمولا -
اگر A(1,2), B(5,6), C(9,2)، تو ΔABC ہے A) متساوی الاضلاع B) قائم الزاویہ C) متساوی الساقین D) مختلف الاضلاع
جواب: C
حل: AB=√32, BC=√32, AC=8 ⇒ AB=BC
شارٹ کٹ: فاصلے موازنہ کریں
ٹیگ: فاصلہ -
خط y=mx+c (2,3) اور (4,7) سے گزرتا ہے۔ m معلوم کریں۔ A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
جواب: B
حل: m=(7–3)/(4–2)=4/2=2
شارٹ کٹ: (y₂–y₁)/(x₂–x₁)
ٹیگ: ڈھلوان -
راس (0,0), (3,0), (3,2), (0,2) والے چوکور کا رقبہ ہے A) 5 B) 6 C) 7 D) 8
جواب: B
حل: مستطیل 3×2 = 6
شارٹ کٹ: گرڈ کے مربع گنیں
ٹیگ: رقبہ -
(3,4) کا x-axis پر عکس ہے A) (3,–4) B) (–3,4) C) (–3,–4) D) (4,3)
جواب: A
حل: x وہی، y کی علامت الٹ جاتی ہے
شارٹ کٹ: x-axis عکس ⇒ y→–y
ٹیگ: عکس -
اگر AB کی ڈھلوان ½ ہے اور A(2,–1), B(x,3)، تو x= A) 6 B) 10 C) –6 D) 4
جواب: B
حل: (3–(–1))/(x–2)=½ ⇒ 4/(x–2)=½ ⇒ x–2=8 ⇒ x=10
شارٹ کٹ: فوری طور پر کراس ضرب کریں
ٹیگ: ڈھلوان -
نقطہ (–2,5) کس ربع میں واقع ہے؟ A) I B) II C) III D) IV
جواب: B
حل: x منفی، y مثبت
شارٹ کٹ: II ربع کی علامت (–,+)
ٹیگ: ربع
تیز چالوں
| صورت حال | شارٹ کٹ | مثال |
|---|---|---|
| قائم الزاویہ مثلث کے راس | ڈیٹرمنینٹ کے بجائے ½×قاعدہ×اونچائی استعمال کریں | (0,0),(a,0),(0,b) ⇒ رقبہ=½ab |
| خطی ہونے کی جانچ | رقبہ = 0 یا ڈھلوانیں AB = BC | نقاط (1,2),(3,4),(5,6) ⇒ ڈھلوان ہمیشہ 1 |
| مرکز ثقل یاد رکھنا | “جمع کریں اور 3 سے تقسیم کریں” | (1,1),(4,3),(7,5) ⇒ G=(12/3,9/3)=(4,3) |
| معیاری خط سے ڈھلوان | m = –(x کا عددی سر)/(y کا عددی سر) | 2x–5y+7=0 ⇒ m=2/5 |
| گرڈ پر فاصلہ | Δx اور Δy گنیں، فیثاغورث ٹرپلٹس دیکھیں | (5,1)→(9,4): Δx=4, Δy=3 ⇒ فاصلہ=5 |
فوری جائزہ
| نقطہ | تفصیل |
|---|---|
| 1 | فاصلے کا فارمولا ہمیشہ مثبت قیمت دیتا ہے—آخری میں مربع جذر لیں۔ |
| 2 | وسطانی نقطہ = کوآرڈینیٹس کا اوسط۔ |
| 3 | مرکز ثقل وسطانیہ کو 2:1 میں تقسیم کرتا ہے؛ کوآرڈینیٹس سادہ اوسط ہیں۔ |
| 4 | ڈھلوان tan θ → θ=45° دیتا ہے m=1؛ θ=0° دیتا ہے m=0۔ |
| 5 | افقی خط کی مساوات: y = k؛ عمودی: x = k۔ |
| 6 | رقبے کا فارمولا علامتی قیمت واپس کرتا ہے—رقبے کے لیے مطلق قیمت استعمال کریں۔ |
| 7 | تین نقاط خطی ہوں ⇒ مثلث کا رقبہ = 0۔ |
| 8 | x-axis پر عکس: y → –y؛ y-axis پر: x → –x۔ |
| 9 | سیکشن فارمولا خارجی طور پر بھی کام کرتا ہے—صرف –m:n تناسب استعمال کریں۔ |
| 10 | ہمیشہ ربع، ڈھلوان یا شکل کو تصور کرنے کے لیے خاکہ بنائیں۔ |
BETA
