ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତି
ମୁଖ୍ୟ ଧାରଣାସମୂହ
| # | ଧାରଣା | ବ୍ୟାଖ୍ୟା |
|---|---|---|
| 1 | ଦୂରତା ସୂତ୍ର | A(x₁,y₁) ଓ B(x₂,y₂) ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା = √[(x₂–x₁)²+(y₂–y₁)²] |
| 2 | ଖଣ୍ଡ ସୂତ୍ର | AB କୁ m:n ଅନୁପାତରେ ଆଭ୍ୟନ୍ତରୀଣ ଭାଗ କରୁଥିବା ବିନ୍ଦୁ = [(mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n)] |
| 3 | ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ | AB ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ = [(x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2] |
| 4 | ତ୍ରିଭୁଜର କେନ୍ଦ୍ରକ | କେନ୍ଦ୍ରକ G = [(x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3] |
| 5 | ରେଖାର ଢାଲ | m = (y₂–y₁)/(x₂–x₁); ଭୂସମାନ୍ତର→m=0, ଭୂଲମ୍ବ→m=∞ |
| 6 | ରେଖାର ସମୀକରଣ | y–y₁ = m(x–x₁) କିମ୍ବା ax+by+c=0 |
| 7 | ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ | ½ |
15 ଅଭ୍ୟାସ ବହୁବିକଳ୍ପୀୟ ପ୍ରଶ୍ନ
-
(3,4) ଓ (–1,1) ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା ହେଉଛି A) 3 B) 4 C) 5 D) 6
ଉତ୍ତର: C
ସମାଧାନ: √[(–1–3)²+(1–4)²]=√(16+9)=5
ଶର୍ଟକଟ୍: 3-4-5 ପାଇଥାଗୋରିଆନ୍ ଟ୍ରିପଲେଟ୍
ଟ୍ୟାଗ୍: ଦୂରତା ସୂତ୍ର -
(7, –5) ଓ (3, 9) ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ହେଉଛି A) (5,2) B) (5,–2) C) (2,5) D) (–2,5)
ଉତ୍ତର: A
ସମାଧାନ: [(7+3)/2, (–5+9)/2] = (5,2)
ଶର୍ଟକଟ୍: x ଓ y କୁ ପୃଥକ୍ ଭାବେ ହାରାହାରି କରନ୍ତୁ
ଟ୍ୟାଗ୍: ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ -
ଏକ ରେଖା ଧନାତ୍ମକ x-ଅକ୍ଷ ସହିତ 45° କୋଣ କରେ। ଏହାର ଢାଲ ହେଉଛି A) 0 B) 1 C) –1 D) √3
ଉତ୍ତର: B
ସମାଧାନ: m = tan 45° = 1
ଶର୍ଟକଟ୍: tan θ ଢାଲ ପ୍ରଦାନ କରେ
ଟ୍ୟାଗ୍: ଢାଲ -
ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ (0,0), (4,0), (0,3) ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ହେଉଛି A) 6 B) 12 C) 7 D) 5
ଉତ୍ତର: A
ସମାଧାନ: ½×ଭୂମି×ଉଚ୍ଚତା = ½×4×3 = 6
ଶର୍ଟକଟ୍: ସମକୋଣୀ ⇒ ½×ବାହୁଦ୍ୱୟର ଗୁଣଫଳ
ଟ୍ୟାଗ୍: କ୍ଷେତ୍ରଫଳ -
(2,1), (6,3), (4,9) ର କେନ୍ଦ୍ରକ ହେଉଛି A) (4,13/3) B) (12,13) C) (4,4) D) (4,13)
ଉତ୍ତର: A
ସମାଧାନ: [(2+6+4)/3, (1+3+9)/3] = (12/3,13/3)
ଶର୍ଟକଟ୍: ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ଯୋଗଫଳ ÷3
ଟ୍ୟାଗ୍: କେନ୍ଦ୍ରକ -
(1,2) ଓ (7,8) କୁ 1:2 ଅନୁପାତରେ ଆଭ୍ୟନ୍ତରୀଣ ଭାଗ କରୁଥିବା ବିନ୍ଦୁ ହେଉଛି A) (3,4) B) (4,3) C) (5,6) D) (6,5)
ଉତ୍ତର: A
ସମାଧାନ: x=(1×7+2×1)/3=9/3=3; y=(1×8+2×2)/3=12/3=4
ଶର୍ଟକଟ୍: ଓଜନିତ ହାରାହାରି
ଟ୍ୟାଗ୍: ଖଣ୍ଡ ସୂତ୍ର -
3x–4y+12=0 ରେଖାର ଢାଲ ହେଉଛି A) 3/4 B) –3/4 C) 4/3 D) –4/3
ଉତ୍ତର: A
ସମାଧାନ: ପୁନଃଲେଖନ କରନ୍ତୁ y=(3/4)x+3 ⇒ m=3/4
ଶର୍ଟକଟ୍: ax+by+c=0 ପାଇଁ, m=–a/b
ଟ୍ୟାଗ୍: ରେଖା ସମୀକରଣ -
k ର ମୂଲ୍ୟ ଯେଉଁଥିପାଇଁ (2,k) ରେଖା 5x–2y=10 ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ହେବ A) 0 B) 5 C) –5 D) 2
ଉତ୍ତର: A
ସମାଧାନ: 5(2)–2k=10 ⇒ 10–2k=10 ⇒ k=0
ଶର୍ଟକଟ୍: x ରଖି, y ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ
ଟ୍ୟାଗ୍: ରେଖା ସମୀକରଣ -
ମୂଳବିନ୍ଦୁ ଠାରୁ ବିନ୍ଦୁ (7,24) ର ଦୂରତା ହେଉଛି A) 25 B) 24 C) 31 D) 30
ଉତ୍ତର: A
ସମାଧାନ: √(7²+24²)=√(49+576)=√625=25
ଶର୍ଟକଟ୍: 7-24-25 ଟ୍ରିପଲେଟ୍
ଟ୍ୟାଗ୍: ଦୂରତା ସୂତ୍ର -
ଯଦି A(1,2), B(5,6), C(9,2), ତେବେ ΔABC ହେଉଛି A) ସମବାହୁ B) ସମକୋଣୀ C) ସମଦ୍ୱିବାହୁ D) ବିଷମବାହୁ
ଉତ୍ତର: C
ସମାଧାନ: AB=√32, BC=√32, AC=8 ⇒ AB=BC
ଶର୍ଟକଟ୍: ଦୂରତା ତୁଳନା କରନ୍ତୁ
ଟ୍ୟାଗ୍: ଦୂରତା -
y=mx+c ରେଖା (2,3) ଓ (4,7) ବିନ୍ଦୁ ମାଧ୍ୟମରେ ଗତି କରେ। m ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ। A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
ଉତ୍ତର: B
ସମାଧାନ: m=(7–3)/(4–2)=4/2=2
ଶର୍ଟକଟ୍: (y₂–y₁)/(x₂–x₁)
ଟ୍ୟାଗ୍: ଢାଲ -
ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ (0,0), (3,0), (3,2), (0,2) ବିଶିଷ୍ଟ ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ହେଉଛି A) 5 B) 6 C) 7 D) 8
ଉତ୍ତର: B
ସମାଧାନ: ଆୟତ 3×2 = 6
ଶର୍ଟକଟ୍: ଗ୍ରିଡ୍ ବର୍ଗଗୁଡ଼ିକୁ ଗଣନା କରନ୍ତୁ
ଟ୍ୟାଗ୍: କ୍ଷେତ୍ରଫଳ -
x-ଅକ୍ଷ ଉପରେ (3,4) ର ପ୍ରତିବିମ୍ବ ହେଉଛି A) (3,–4) B) (–3,4) C) (–3,–4) D) (4,3)
ଉତ୍ତର: A
ସମାଧାନ: x ସମାନ, y ଚିହ୍ନ ବିପରୀତ
ଶର୍ଟକଟ୍: x-ଅକ୍ଷ ପ୍ରତିବିମ୍ବ ⇒ y→–y
ଟ୍ୟାଗ୍: ପ୍ରତିବିମ୍ବ -
ଯଦି AB ର ଢାଲ ½ ଏବଂ A(2,–1), B(x,3), ତେବେ x= A) 6 B) 10 C) –6 D) 4
ଉତ୍ତର: B
ସମାଧାନ: (3–(–1))/(x–2)=½ ⇒ 4/(x–2)=½ ⇒ x–2=8 ⇒ x=10
ଶର୍ଟକଟ୍: ଶୀଘ୍ର କ୍ରସ୍-ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ
ଟ୍ୟାଗ୍: ଢାଲ -
ବିନ୍ଦୁ (–2,5) କେଉଁ ଚତୁର୍ଥାଂଶରେ ଅବସ୍ଥିତ? A) I B) II C) III D) IV
ଉତ୍ତର: B
ସମାଧାନ: x ଋଣାତ୍ମକ, y ଧନାତ୍ମକ
ଶର୍ଟକଟ୍: II ଚତୁର୍ଥାଂଶ ଚିହ୍ନ (–,+)
ଟ୍ୟାଗ୍: ଚତୁର୍ଥାଂଶ
ଦ୍ରୁତ ଟ୍ରିକ୍
| ପରିସ୍ଥିତି | ଶର୍ଟକଟ୍ | ଉଦାହରଣ |
|---|---|---|
| ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ | ନିର୍ଣ୍ଣାୟକ ପରିବର୍ତ୍ତେ ½×ଭୂମି×ଉଚ୍ଚତା ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ | (0,0),(a,0),(0,b) ⇒ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ=½ab |
| ସରଳରେଖୀୟତା ଯାଞ୍ଚ | କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 0 କିମ୍ବା AB ର ଢାଲ = BC ର ଢାଲ | ବିନ୍ଦୁ (1,2),(3,4),(5,6) ⇒ ଢାଲ ସର୍ବଦା 1 |
| କେନ୍ଦ୍ରକ ସ୍ମରଣ | “ଯୋଗ କରି 3 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରନ୍ତୁ” | (1,1),(4,3),(7,5) ⇒ G=(12/3,9/3)=(4,3) |
| ମାନକ ରେଖାରୁ ଢାଲ | m = –(x ର ସହଗ) / (y ର ସହଗ) | 2x–5y+7=0 ⇒ m=2/5 |
| ଗ୍ରିଡ୍ ଉପରେ ଦୂରତା | Δx ଓ Δy ଗଣନା କରନ୍ତୁ, ପାଇଥାଗୋରିଆନ୍ ଟ୍ରିପଲେଟ୍ ଖୋଜନ୍ତୁ | (5,1)→(9,4): Δx=4, Δy=3 ⇒ ଦୂରତା=5 |
ଶୀଘ୍ର ସମୀକ୍ଷା
| ବିନ୍ଦୁ | ବିବରଣୀ |
|---|---|
| 1 | ଦୂରତା ସୂତ୍ର ସର୍ବଦା ଧନାତ୍ମକ ମୂଲ୍ୟ ଦେଏ—ଶେଷରେ ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ। |
| 2 | ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ = ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କର ହାରାହାରି। |
| 3 | କେନ୍ଦ୍ରକ ମଧ୍ୟିକାକୁ 2:1 ରେ ବିଭକ୍ତ କରେ; ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ସରଳ ହାରାହାରି। |
| 4 | ଢାଲ tan θ → θ=45° ପାଇଁ m=1; θ=0° ପାଇଁ m=0। |
| 5 | ଭୂସମାନ୍ତର ରେଖା ସମୀକରଣ: y = k; ଭୂଲମ୍ବ: x = k। |
| 6 | କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର ଚିହ୍ନିତ ମୂଲ୍ୟ ଫେରାଏ—କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ପାଇଁ ପରମ ମୂଲ୍ୟ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ। |
| 7 | ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁ ସରଳରେଖୀୟ ⇒ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 0। |
| 8 | x-ଅକ୍ଷରେ ପ୍ରତିବିମ୍ବ: y → –y; y-ଅକ୍ଷରେ: x → –x। |
| 9 | ଖଣ୍ଡ ସୂତ୍ର ବାହ୍ୟ ଭାବରେ ମଧ୍ୟ କାମ କରେ—କେବଳ –m:n ଅନୁପାତ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ। |
| 10 | ଚତୁର୍ଥାଂଶ, ଢାଲ କିମ୍ବା ଆକୃତି କଳ୍ପନା କରିବାକୁ ସର୍ବଦା ଖଡ଼ଖଡ଼ିଆ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରନ୍ତୁ। |
BETA
