నిరూపక జ్యామితి
ముఖ్యాంశాలు
| # | భావన | వివరణ |
|---|---|---|
| 1 | దూర సూత్రం | A(x₁,y₁) & B(x₂,y₂) మధ్య దూరం = √[(x₂–x₁)²+(y₂–y₁)²] |
| 2 | విభాగ సూత్రం | AB ని m:n నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించే బిందువు = [(mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n)] |
| 3 | మధ్య బిందువు | AB యొక్క మధ్య బిందువు = [(x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2] |
| 4 | త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రం | గురుత్వ కేంద్రం G = [(x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3] |
| 5 | రేఖ యొక్క వాలు | m = (y₂–y₁)/(x₂–x₁); సమాంతర రేఖ→m=0, లంబ రేఖ→m=∞ |
| 6 | రేఖ యొక్క సమీకరణం | y–y₁ = m(x–x₁) లేదా ax+by+c=0 |
| 7 | త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం | ½ |
15 అభ్యాస బహుళైచ్ఛిక ప్రశ్నలు
-
(3,4) మరియు (–1,1) మధ్య దూరం A) 3 B) 4 C) 5 D) 6
సమాధానం: C
పరిష్కారం: √[(–1–3)²+(1–4)²]=√(16+9)=5
శార్ట్కట్: 3-4-5 పైథాగరియన్ త్రయం
ట్యాగ్: దూర సూత్రం -
(7, –5) మరియు (3, 9) ల మధ్య బిందువు A) (5,2) B) (5,–2) C) (2,5) D) (–2,5)
సమాధానం: A
పరిష్కారం: [(7+3)/2, (–5+9)/2] = (5,2)
శార్ట్కట్: x మరియు y లను విడివిడిగా సగటు చేయండి
ట్యాగ్: మధ్య బిందువు -
ఒక రేఖ ధన x-అక్షంతో 45° కోణం చేస్తుంది. దాని వాలు A) 0 B) 1 C) –1 D) √3
సమాధానం: B
పరిష్కారం: m = tan 45° = 1
శార్ట్కట్: tan θ వాలును నేరుగా ఇస్తుంది
ట్యాగ్: వాలు -
శీర్షాలు (0,0), (4,0), (0,3) గల త్రిభుజం వైశాల్యం A) 6 B) 12 C) 7 D) 5
సమాధానం: A
పరిష్కారం: ½×భూమి×ఎత్తు = ½×4×3 = 6
శార్ట్కట్: లంబకోణ త్రిభుజం ⇒ ½×కాళ్ల లబ్ధం
ట్యాగ్: వైశాల్యం -
(2,1), (6,3), (4,9) ల గురుత్వ కేంద్రం A) (4,13/3) B) (12,13) C) (4,4) D) (4,13)
సమాధానం: A
పరిష్కారం: [(2+6+4)/3, (1+3+9)/3] = (12/3,13/3)
శార్ట్కట్: నిరూపకాలను కూడి ÷3 చేయండి
ట్యాగ్: గురుత్వ కేంద్రం -
(1,2) మరియు (7,8) లను 1:2 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించే బిందువు A) (3,4) B) (4,3) C) (5,6) D) (6,5)
సమాధానం: A
పరిష్కారం: x=(1×7+2×1)/3=9/3=3; y=(1×8+2×2)/3=12/3=4
శార్ట్కట్: భారిత సగటు
ట్యాగ్: విభాగ సూత్రం -
3x–4y+12=0 రేఖ యొక్క వాలు A) 3/4 B) –3/4 C) 4/3 D) –4/3
సమాధానం: A
పరిష్కారం: y=(3/4)x+3 గా తిరిగి రాయండి ⇒ m=3/4
శార్ట్కట్: ax+by+c=0 కోసం, m=–a/b
ట్యాగ్: రేఖ సమీకరణం -
(2,k) బిందువు 5x–2y=10 రేఖపై ఉండేందుకు k విలువ A) 0 B) 5 C) –5 D) 2
సమాధానం: A
పరిష్కారం: 5(2)–2k=10 ⇒ 10–2k=10 ⇒ k=0
శార్ట్కట్: x ని ప్రతిక్షేపించి, y కోసం సాధించండి
ట్యాగ్: రేఖ సమీకరణం -
మూల బిందువు నుండి (7,24) బిందువు దూరం A) 25 B) 24 C) 31 D) 30
సమాధానం: A
పరిష్కారం: √(7²+24²)=√(49+576)=√625=25
శార్ట్కట్: 7-24-25 త్రయం
ట్యాగ్: దూర సూత్రం -
A(1,2), B(5,6), C(9,2) అయితే, ΔABC ఏ రకమైన త్రిభుజం? A) సమబాహు B) లంబకోణ C) సమద్విబాహు D) విషమబాహు
సమాధానం: C
పరిష్కారం: AB=√32, BC=√32, AC=8 ⇒ AB=BC
శార్ట్కట్: దూరాలను పోల్చండి
ట్యాగ్: దూరం -
y=mx+c రేఖ (2,3) మరియు (4,7) బిందువుల గుండా పోతుంది. m ను కనుగొనండి. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
సమాధానం: B
పరిష్కారం: m=(7–3)/(4–2)=4/2=2
శార్ట్కట్: (y₂–y₁)/(x₂–x₁)
ట్యాగ్: వాలు -
శీర్షాలు (0,0), (3,0), (3,2), (0,2) గల చతుర్భుజం వైశాల్యం A) 5 B) 6 C) 7 D) 8
సమాధానం: B
పరిష్కారం: దీర్ఘచతురస్రం 3×2 = 6
శార్ట్కట్: గ్రిడ్ చతురస్రాలను లెక్కించండి
ట్యాగ్: వైశాల్యం -
x-అక్షం పరంగా (3,4) బిందువు యొక్క ప్రతిబింబం A) (3,–4) B) (–3,4) C) (–3,–4) D) (4,3)
సమాధానం: A
పరిష్కారం: x అదే, y గుర్తు మారుతుంది
శార్ట్కట్: x-అక్షం ప్రతిబింబం ⇒ y→–y
ట్యాగ్: ప్రతిబింబం -
AB యొక్క వాలు ½ మరియు A(2,–1), B(x,3) అయితే, x విలువ A) 6 B) 10 C) –6 D) 4
సమాధానం: B
పరిష్కారం: (3–(–1))/(x–2)=½ ⇒ 4/(x–2)=½ ⇒ x–2=8 ⇒ x=10
శార్ట్కట్: త్వరగా గుణకారం చేయండి
ట్యాగ్: వాలు -
(–2,5) బిందువు ఏ పాదంలో ఉంటుంది? A) I B) II C) III D) IV
సమాధానం: B
పరిష్కారం: x ఋణాత్మకం, y ధనాత్మకం
శార్ట్కట్: II పాదం గుర్తు (–,+)
ట్యాగ్: పాదాలు
వేగ ట్రిక్స్
| పరిస్థితి | శార్ట్కట్ | ఉదాహరణ |
|---|---|---|
| లంబకోణ త్రిభుజ శీర్షాలు | నిర్ణాయకం కంటే ½×భూమి×ఎత్తు ఉపయోగించండి | (0,0),(a,0),(0,b) ⇒ వైశాల్యం=½ab |
| సరేఖీయత తనిఖీ | వైశాల్యం = 0 లేదా AB వాలు = BC వాలు | బిందువులు (1,2),(3,4),(5,6) ⇒ వాలు ఎల్లప్పుడూ 1 |
| గురుత్వ కేంద్రం గుర్తుంచుకోవడం | “కూడి 3 తో భాగించండి” | (1,1),(4,3),(7,5) ⇒ G=(12/3,9/3)=(4,3) |
| ప్రామాణిక రేఖ నుండి వాలు | m = –(x గుణకం)/(y గుణకం) | 2x–5y+7=0 ⇒ m=2/5 |
| గ్రిడ్ పై దూరం | Δx & Δy లను లెక్కించి, పైథాగరియన్ త్రయాలు చూడండి | (5,1)→(9,4): Δx=4, Δy=3 ⇒ దూరం=5 |
త్వరిత పునరావలోకనం
| బిందువు | వివరణ |
|---|---|
| 1 | దూర సూత్రం ఎల్లప్పుడూ ధనాత్మక విలువను ఇస్తుంది—చివర్లో వర్గమూలం తీసుకోండి. |
| 2 | మధ్య బిందువు = నిరూపకాల సగటు. |
| 3 | గురుత్వ కేంద్రం మధ్యగత రేఖను 2:1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది; నిరూపకాలు సాధారణ సగటు. |
| 4 | వాలు tan θ → θ=45° అయితే m=1; θ=0° అయితే m=0. |
| 5 | సమాంతర రేఖ సమీకరణం: y = k; లంబ రేఖ: x = k. |
| 6 | వైశాల్య సూత్రం గుర్తు ఉన్న విలువను ఇస్తుంది—వైశాల్యం కోసం సంపూర్ణ విలువ ఉపయోగించండి. |
| 7 | మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు అయితే ⇒ త్రిభుజ వైశాల్యం = 0. |
| 8 | x-అక్షంలో ప్రతిబింబం: y → –y; y-అక్షంలో: x → –x. |
| 9 | విభాగ సూత్రం బాహ్యంగా కూడా పనిచేస్తుంది—కేవలం –m:n నిష్పత్తి ఉపయోగించండి. |
| 10 | పాదం, వాలు లేదా ఆకారాన్ని దృశ్యమానం చేయడానికి ఎల్లప్పుడూ సుమారు ప్లాట్ గీయండి. |
BETA
