निर्देशक भूमिती
मुख्य संकल्पना
| # | संकल्पना | स्पष्टीकरण |
|---|---|---|
| 1 | अंतर सूत्र | A(x₁,y₁) & B(x₂,y₂) मधील अंतर = √[(x₂–x₁)²+(y₂–y₁)²] |
| 2 | विभाग सूत्र | AB रेषाखंड m:n या गुणोत्तरात आंतररित्या विभाजित करणारा बिंदू = [(mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n)] |
| 3 | मध्यबिंदू | AB चा मध्यबिंदू = [(x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2] |
| 4 | त्रिकोणाचा मध्यगासंपातबिंदू | मध्यगासंपातबिंदू G = [(x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3] |
| 5 | रेषेचा चढ | m = (y₂–y₁)/(x₂–x₁); क्षैतिज→m=0, उभी→m=∞ |
| 6 | रेषेचे समीकरण | y–y₁ = m(x–x₁) किंवा ax+by+c=0 |
| 7 | त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ | ½ |
15 सराव बहुपर्यायी प्रश्न
-
(3,4) आणि (–1,1) मधील अंतर आहे A) 3 B) 4 C) 5 D) 6
उत्तर: C
उकल: √[(–1–3)²+(1–4)²]=√(16+9)=5
शॉर्टकट: 3-4-5 पायथागोरस त्रिकूट
टॅग: अंतर सूत्र -
(7, –5) आणि (3, 9) यांचा मध्यबिंदू आहे A) (5,2) B) (5,–2) C) (2,5) D) (–2,5)
उत्तर: A
उकल: [(7+3)/2, (–5+9)/2] = (5,2)
शॉर्टकट: x आणि y स्वतंत्रपणे सरासरी काढा
टॅग: मध्यबिंदू -
एक रेषा धन x-अक्षासोबत 45° कोन करते. तिचा चढ आहे A) 0 B) 1 C) –1 D) √3
उत्तर: B
उकल: m = tan 45° = 1
शॉर्टकट: tan θ चढ देतो
टॅग: चढ -
शिरोबिंदू (0,0), (4,0), (0,3) असलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आहे A) 6 B) 12 C) 7 D) 5
उत्तर: A
उकल: ½×पाया×उंची = ½×4×3 = 6
शॉर्टकट: काटकोन त्रिकोण ⇒ ½×पायांचा गुणाकार
टॅग: क्षेत्रफळ -
(2,1), (6,3), (4,9) यांचा मध्यगासंपातबिंदू आहे A) (4,13/3) B) (12,13) C) (4,4) D) (4,13)
उत्तर: A
उकल: [(2+6+4)/3, (1+3+9)/3] = (12/3,13/3)
शॉर्टकट: निर्देशकांची बेरीज ÷3
टॅग: मध्यगासंपातबिंदू -
(1,2) आणि (7,8) यांना आंतररित्या 1:2 या गुणोत्तरात विभाजित करणारा बिंदू आहे A) (3,4) B) (4,3) C) (5,6) D) (6,5)
उत्तर: A
उकल: x=(1×7+2×1)/3=9/3=3; y=(1×8+2×2)/3=12/3=4
शॉर्टकट: भारित सरासरी
टॅग: विभाग सूत्र -
3x–4y+12=0 या रेषेचा चढ आहे A) 3/4 B) –3/4 C) 4/3 D) –4/3
उत्तर: A
उकल: y=(3/4)x+3 असे पुन्हा लिहा ⇒ m=3/4
शॉर्टकट: ax+by+c=0 साठी, m=–a/b
टॅग: रेषेचे समीकरण -
k चे मूल्य ज्यासाठी (2,k) हा बिंदू 5x–2y=10 या रेषेवर आहे A) 0 B) 5 C) –5 D) 2
उत्तर: A
उकल: 5(2)–2k=10 ⇒ 10–2k=10 ⇒ k=0
शॉर्टकट: x टाका, y सोडवा
टॅग: रेषेचे समीकरण -
(7,24) या बिंदूचे मूळबिंदूपासूनचे अंतर आहे A) 25 B) 24 C) 31 D) 30
उत्तर: A
उकल: √(7²+24²)=√(49+576)=√625=25
शॉर्टकट: 7-24-25 त्रिकूट
टॅग: अंतर सूत्र -
जर A(1,2), B(5,6), C(9,2), तर ΔABC हा आहे A) समभुज B) काटकोन C) समद्विभुज D) विषमभुज
उत्तर: C
उकल: AB=√32, BC=√32, AC=8 ⇒ AB=BC
शॉर्टकट: अंतरांची तुलना करा
टॅग: अंतर -
y=mx+c ही रेषा (2,3) आणि (4,7) मधून जाते. m शोधा. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
उत्तर: B
उकल: m=(7–3)/(4–2)=4/2=2
शॉर्टकट: (y₂–y₁)/(x₂–x₁)
टॅग: चढ -
शिरोबिंदू (0,0), (3,0), (3,2), (0,2) असलेल्या चौकोनाचे क्षेत्रफळ आहे A) 5 B) 6 C) 7 D) 8
उत्तर: B
उकल: आयत 3×2 = 6
शॉर्टकट: ग्रिडच्या चौरसांची गणना करा
टॅग: क्षेत्रफळ -
(3,4) या बिंदूचा x-अक्षावरील प्रतिबिंब आहे A) (3,–4) B) (–3,4) C) (–3,–4) D) (4,3)
उत्तर: A
उकल: x समान, y चिन्ह उलटे
शॉर्टकट: x-अक्षावरील प्रतिबिंब ⇒ y→–y
टॅग: प्रतिबिंब -
जर AB चा चढ ½ असेल आणि A(2,–1), B(x,3), तर x= A) 6 B) 10 C) –6 D) 4
उत्तर: B
उकल: (3–(–1))/(x–2)=½ ⇒ 4/(x–2)=½ ⇒ x–2=8 ⇒ x=10
शॉर्टकट: झटपट चौरस गुणाकार करा
टॅग: चढ -
(–2,5) हा बिंदू कोणत्या चरणात आहे? A) I B) II C) III D) IV
उत्तर: B
उकल: x ऋण, y धन
शॉर्टकट: II चरणाचे चिन्ह (–,+)
टॅग: चरण
गती ट्रिक्स
| परिस्थिती | शॉर्टकट | उदाहरण |
|---|---|---|
| काटकोन त्रिकोणाचे शिरोबिंदू | निर्धारक ऐवजी ½×पाया×उंची वापरा | (0,0),(a,0),(0,b) ⇒ क्षेत्रफळ=½ab |
| समरेखता तपासणी | क्षेत्रफळ = 0 किंवा AB चा चढ = BC चा चढ | बिंदू (1,2),(3,4),(5,6) ⇒ चढ नेहमी 1 |
| मध्यगासंपातबिंदू लक्षात ठेवा | “बेरीज करा आणि 3 ने भागा” | (1,1),(4,3),(7,5) ⇒ G=(12/3,9/3)=(4,3) |
| प्रमाणित रेषेतून चढ | m = –(x चा सहगुणक)/(y चा सहगुणक) | 2x–5y+7=0 ⇒ m=2/5 |
| ग्रिडवरील अंतर | Δx & Δy मोजा, पायथागोरस त्रिकूट शोधा | (5,1)→(9,4): Δx=4, Δy=3 ⇒ अंतर=5 |
द्रुत पुनरावलोकन
| मुद्दा | तपशील |
|---|---|
| 1 | अंतर सूत्र नेहमी धन मूल्य देते—शेवटी वर्गमूळ घ्या. |
| 2 | मध्यबिंदू = निर्देशकांची सरासरी. |
| 3 | मध्यगासंपातबिंदू मध्यगेला 2:1 या गुणोत्तरात विभाजित करतो; निर्देशक हे साधे मध्यमान असतात. |
| 4 | चढ tan θ → θ=45° देते m=1; θ=0° देते m=0. |
| 5 | क्षैतिज रेषेचे समीकरण: y = k; उभी: x = k. |
| 6 | क्षेत्रफळ सूत्र चिन्हित मूल्य देते—क्षेत्रफळासाठी निरपेक्ष मूल्य वापरा. |
| 7 | तीन बिंदू समरेखीय ⇒ त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = 0. |
| 8 | x-अक्षावरील प्रतिबिंब: y → –y; y-अक्षावरील प्रतिबिंब: x → –x. |
| 9 | विभाग सूत्र बाह्यरित्या देखील कार्य करते—फक्त –m:n गुणोत्तर वापरा. |
| 10 | चरण, चढ किंवा आकार कल्पनेसाठी नेहमी रफ प्लॉट काढा. |
BETA
