স্থানাংক জ্যামিতি
মূল ধাৰণাসমূহ
| # | ধাৰণা | ব্যাখ্যা |
|---|---|---|
| ১ | দূৰত্বৰ সূত্ৰ | A(x₁,y₁) আৰু B(x₂,y₂) ৰ মাজৰ দূৰত্ব = √[(x₂–x₁)²+(y₂–y₁)²] |
| ২ | খণ্ড সূত্ৰ | AB ক m:n অনুপাতত আভ্যন্তৰীণভাৱে বিভাজিত কৰা বিন্দু = [(mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n)] |
| ৩ | মধ্যবিন্দু | AB ৰ মধ্যবিন্দু = [(x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2] |
| ৪ | ত্ৰিভূজৰ কেন্দ্ৰভৰ | কেন্দ্ৰভৰ G = [(x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3] |
| ৫ | ৰেখাৰ ঢাল | m = (y₂–y₁)/(x₂–x₁); অনুভূমিক→m=0, উলম্ব→m=∞ |
| ৬ | ৰেখাৰ সমীকৰণ | y–y₁ = m(x–x₁) বা ax+by+c=0 |
| ৭ | ত্ৰিভূজৰ কালি | ½ |
১৫টা অনুশীলন বহুবিকল্পী প্ৰশ্ন
১. (3,4) আৰু (–1,1) ৰ মাজৰ দূৰত্ব হৈছে
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6
উত্তৰ: C
সমাধান: √[(–1–3)²+(1–4)²]=√(16+9)=5
শৰ্টকাট: 3-4-5 পাইথাগোৰিয়ান ট্ৰিপলেট
টেগ: দূৰত্বৰ সূত্ৰ
২. (7, –5) আৰু (3, 9) ৰ মধ্যবিন্দু হৈছে
A) (5,2) B) (5,–2) C) (2,5) D) (–2,5)
উত্তৰ: A
সমাধান: [(7+3)/2, (–5+9)/2] = (5,2)
শৰ্টকাট: x আৰু y ক পৃথকে পৃথকে গড় কৰক
টেগ: মধ্যবিন্দু
৩. এডাল ৰেখাই ধনাত্মক x-অক্ষৰ সৈতে ৪৫° কোণ কৰে। ইয়াৰ ঢাল হৈছে
A) 0 B) 1 C) –1 D) √3
উত্তৰ: B
সমাধান: m = tan 45° = 1
শৰ্টকাট: tan θ-ই ঢাল প্ৰত্যক্ষভাৱে দিয়ে
টেগ: ঢাল
৪. শীৰ্ষবিন্দু (0,0), (4,0), (0,3) ৰে গঠিত ত্ৰিভূজৰ কালি হৈছে
A) 6 B) 12 C) 7 D) 5
উত্তৰ: A
সমাধান: ½×ভূমি×উচ্চতা = ½×4×3 = 6
শৰ্টকাট: সমকোণী ত্ৰিভূজ ⇒ ½×ভূমিৰ গুণফল
টেগ: কালি
৫. (2,1), (6,3), (4,9) ৰ কেন্দ্ৰভৰ হৈছে
A) (4,13/3) B) (12,13) C) (4,4) D) (4,13)
উত্তৰ: A
সমাধান: [(2+6+4)/3, (1+3+9)/3] = (12/3,13/3)
শৰ্টকাট: স্থানাংকবোৰ যোগ কৰি ÷3 কৰক
টেগ: কেন্দ্ৰভৰ
৬. (1,2) আৰু (7,8) ক ১:২ অনুপাতত আভ্যন্তৰীণভাৱে বিভাজিত কৰা বিন্দু হৈছে
A) (3,4) B) (4,3) C) (5,6) D) (6,5)
উত্তৰ: A
সমাধান: x=(1×7+2×1)/3=9/3=3; y=(1×8+2×2)/3=12/3=4
শৰ্টকাট: ওজনযুক্ত গড়
টেগ: খণ্ড সূত্ৰ
৭. 3x–4y+12=0 ৰেখাডালৰ ঢাল হৈছে
A) 3/4 B) –3/4 C) 4/3 D) –4/3
উত্তৰ: A
সমাধান: y=(3/4)x+3 লিখিলে ⇒ m=3/4
শৰ্টকাট: ax+by+c=0 ৰ বাবে, m=–a/b
টেগ: ৰেখাৰ সমীকৰণ
৮. k ৰ মান কিমান হ’লে (2,k) বিন্দুটো 5x–2y=10 ৰেখাত পৰিব
A) 0 B) 5 C) –5 D) 2
উত্তৰ: A
সমাধান: 5(2)–2k=10 ⇒ 10–2k=10 ⇒ k=0
শৰ্টকাট: x-ৰ মান বহুৱাই y-ৰ সমাধান কৰক
টেগ: ৰেখাৰ সমীকৰণ
৯. মূলবিন্দুৰ পৰা (7,24) বিন্দুটোৰ দূৰত্ব হৈছে
A) 25 B) 24 C) 31 D) 30
উত্তৰ: A
সমাধান: √(7²+24²)=√(49+576)=√625=25
শৰ্টকাট: 7-24-25 ট্ৰিপলেট
টেগ: দূৰত্বৰ সূত্ৰ
১০. যদি A(1,2), B(5,6), C(9,2), তেন্তে ΔABC হৈছে
A) সমবাহু B) সমকোণী C) সমদ্বিবাহু D) বিষমবাহু
উত্তৰ: C
সমাধান: AB=√32, BC=√32, AC=8 ⇒ AB=BC
শৰ্টকাট: দূৰত্ববোৰ তুলনা কৰক
টেগ: দূৰত্ব
১১. y=mx+c ৰেখাডালে (2,3) আৰু (4,7) বিন্দুৰ মাজেৰে যায়। m নিৰ্ণয় কৰক।
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
উত্তৰ: B
সমাধান: m=(7–3)/(4–2)=4/2=2
শৰ্টকাট: (y₂–y₁)/(x₂–x₁)
টেগ: ঢাল
১২. শীৰ্ষবিন্দু (0,0), (3,0), (3,2), (0,2) ৰে গঠিত চতুৰ্ভূজৰ কালি হৈছে
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8
উত্তৰ: B
সমাধান: আয়ত 3×2 = 6
শৰ্টকাট: গ্ৰীডৰ বৰ্গবোৰ গণনা কৰক
টেগ: কালি
১৩. x-অক্ষৰ সাপেক্ষে (3,4) বিন্দুটোৰ প্ৰতিবিম্ব হৈছে
A) (3,–4) B) (–3,4) C) (–3,–4) D) (4,3)
উত্তৰ: A
সমাধান: x একে থাকে, y-ৰ চিহ্ন সলনি হয়
শৰ্টকাট: x-অক্ষৰ প্ৰতিবিম্ব ⇒ y→–y
টেগ: প্ৰতিবিম্ব
১৪. যদি AB ৰ ঢাল ½ আৰু A(2,–1), B(x,3), তেন্তে x=
A) 6 B) 10 C) –6 D) 4
উত্তৰ: B
সমাধান: (3–(–1))/(x–2)=½ ⇒ 4/(x–2)=½ ⇒ x–2=8 ⇒ x=10
শৰ্টকাট: দ্ৰুতভাৱে পাৰ-গুণন কৰক
টেগ: ঢাল
১৫. (–2,5) বিন্দুটো কোনটো চতুৰ্থাংশত অৱস্থিত?
A) I B) II C) III D) IV
উত্তৰ: B
সমাধান: x ঋণাত্মক, y ধনাত্মক
শৰ্টকাট: দ্বিতীয় চতুৰ্থাংশৰ চিহ্ন (–,+)
টেগ: চতুৰ্থাংশ
দ্ৰুত কৌশলসমূহ
| পৰিস্থিতি | শৰ্টকাট | উদাহৰণ |
|---|---|---|
| সমকোণী ত্ৰিভূজৰ শীৰ্ষবিন্দু | নিৰ্ণায়কৰ সলনি ½×ভূমি×উচ্চতা ব্যৱহাৰ কৰক | (0,0),(a,0),(0,b) ⇒ কালি=½ab |
| সমৰেখীয়তা পৰীক্ষা | কালি = ০ বা AB ৰ ঢাল = BC ৰ ঢাল | বিন্দু (1,2),(3,4),(5,6) ⇒ ঢাল সদায় ১ |
| কেন্দ্ৰভৰ স্মৰণ | “যোগ কৰি ৩ৰে হৰণ কৰক” | (1,1),(4,3),(7,5) ⇒ G=(12/3,9/3)=(4,3) |
| প্ৰামাণিক ৰেখাৰ পৰা ঢাল | m = –(x ৰ সহগ)/(y ৰ সহগ) | 2x–5y+7=0 ⇒ m=2/5 |
| গ্ৰীডত দূৰত্ব | Δx আৰু Δy গণনা কৰক, পাইথাগোৰিয়ান ট্ৰিপলেট চাওক | (5,1)→(9,4): Δx=4, Δy=3 ⇒ দূৰত্ব=5 |
দ্ৰুত পুনৰালোচনা
| বিন্দু | বিৱৰণ |
|---|---|
| ১ | দূৰত্বৰ সূত্ৰই সদায় ধনাত্মক মান দিয়ে—শেষত বৰ্গমূল ল’ব। |
| ২ | মধ্যবিন্দু = স্থানাংকবোৰৰ গড়। |
| ৩ | কেন্দ্ৰভৰই মধ্যমাক ২:১ অনুপাতত বিভাজিত কৰে; স্থানাংকবোৰ সাধাৰণ গড়। |
| ৪ | ঢাল tan θ → θ=45°-ত m=1; θ=0°-ত m=0। |
| ৫ | অনুভূমিক ৰেখাৰ সমীকৰণ: y = k; উলম্ব: x = k। |
| ৬ | কালিৰ সূত্ৰই চিহ্নযুক্ত মান দিয়ে—কালিৰ বাবে পৰম মান ব্যৱহাৰ কৰক। |
| ৭ | তিনিটা বিন্দু সমৰেখীয় হ’লে ⇒ ত্ৰিভূজৰ কালি = ০। |
| ৮ | x-অক্ষত প্ৰতিবিম্ব: y → –y; y-অক্ষত: x → –x। |
| ৯ | খণ্ড সূত্ৰ বাহ্যিকভাৱেও কাম কৰে—কেৱল –m:n অনুপাত ব্যৱহাৰ কৰক। |
| ১০ | চতুৰ্থাংশ, ঢাল বা আকৃতি কল্পনা কৰিবলৈ সদায় এটা খৰধৰ প্লট আঁকি চাওক। |
BETA
