निर्देशांक ज्यामिति
मुख्य अवधारणाएँ
| # | अवधारणा | व्याख्या |
|---|---|---|
| 1 | दूरी सूत्र | A(x₁,y₁) और B(x₂,y₂) के बीच की दूरी = √[(x₂–x₁)²+(y₂–y₁)²] |
| 2 | खंड सूत्र | AB को m:n के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करने वाला बिंदु = [(mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n)] |
| 3 | मध्य-बिंदु | AB का मध्य-बिंदु = [(x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2] |
| 4 | त्रिभुज का केन्द्रक | केन्द्रक G = [(x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3] |
| 5 | रेखा की प्रवणता | m = (y₂–y₁)/(x₂–x₁); क्षैतिज→m=0, ऊर्ध्वाधर→m=∞ |
| 6 | रेखा का समीकरण | y–y₁ = m(x–x₁) या ax+by+c=0 |
| 7 | त्रिभुज का क्षेत्रफल | ½ |
15 अभ्यास बहुविकल्पीय प्रश्न
-
(3,4) और (–1,1) के बीच की दूरी है A) 3 B) 4 C) 5 D) 6
उत्तर: C
हल: √[(–1–3)²+(1–4)²]=√(16+9)=5
शॉर्टकट: 3-4-5 पाइथागोरस त्रिक
टैग: दूरी सूत्र -
(7, –5) और (3, 9) का मध्य-बिंदु है A) (5,2) B) (5,–2) C) (2,5) D) (–2,5)
उत्तर: A
हल: [(7+3)/2, (–5+9)/2] = (5,2)
शॉर्टकट: x और y को अलग-अलग औसत निकालें
टैग: मध्य-बिंदु -
एक रेखा धनात्मक x-अक्ष के साथ 45° का कोण बनाती है। इसकी प्रवणता है A) 0 B) 1 C) –1 D) √3
उत्तर: B
हल: m = tan 45° = 1
शॉर्टकट: tan θ प्रवणता सीधे देता है
टैग: प्रवणता -
शीर्षों (0,0), (4,0), (0,3) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है A) 6 B) 12 C) 7 D) 5
उत्तर: A
हल: ½×आधार×ऊँचाई = ½×4×3 = 6
शॉर्टकट: समकोण त्रिभुज ⇒ ½×पादों का गुणनफल
टैग: क्षेत्रफल -
(2,1), (6,3), (4,9) का केन्द्रक है A) (4,13/3) B) (12,13) C) (4,4) D) (4,13)
उत्तर: A
हल: [(2+6+4)/3, (1+3+9)/3] = (12/3,13/3)
शॉर्टकट: निर्देशांकों का योग ÷3
टैग: केन्द्रक -
बिंदु (1,2) और (7,8) को 1:2 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करने वाला बिंदु है A) (3,4) B) (4,3) C) (5,6) D) (6,5)
उत्तर: A
हल: x=(1×7+2×1)/3=9/3=3; y=(1×8+2×2)/3=12/3=4
शॉर्टकट: भारित औसत
टैग: खंड सूत्र -
रेखा 3x–4y+12=0 की प्रवणता है A) 3/4 B) –3/4 C) 4/3 D) –4/3
उत्तर: A
हल: y=(3/4)x+3 के रूप में लिखें ⇒ m=3/4
शॉर्टकट: ax+by+c=0 के लिए, m=–a/b
टैग: रेखा समीकरण -
k का वह मान जिसके लिए (2,k), रेखा 5x–2y=10 पर स्थित है A) 0 B) 5 C) –5 D) 2
उत्तर: A
हल: 5(2)–2k=10 ⇒ 10–2k=10 ⇒ k=0
शॉर्टकट: x रखें, y के लिए हल करें
टैग: रेखा समीकरण -
मूलबिंदु से बिंदु (7,24) की दूरी है A) 25 B) 24 C) 31 D) 30
उत्तर: A
हल: √(7²+24²)=√(49+576)=√625=25
शॉर्टकट: 7-24-25 त्रिक
टैग: दूरी सूत्र -
यदि A(1,2), B(5,6), C(9,2), तो ΔABC है A) समबाहु B) समकोण C) समद्विबाहु D) विषमबाहु
उत्तर: C
हल: AB=√32, BC=√32, AC=8 ⇒ AB=BC
शॉर्टकट: दूरियों की तुलना करें
टैग: दूरी -
रेखा y=mx+c, बिंदुओं (2,3) और (4,7) से गुजरती है। m ज्ञात कीजिए। A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
उत्तर: B
हल: m=(7–3)/(4–2)=4/2=2
शॉर्टकट: (y₂–y₁)/(x₂–x₁)
टैग: प्रवणता -
शीर्षों (0,0), (3,0), (3,2), (0,2) वाले चतुर्भुज का क्षेत्रफल है A) 5 B) 6 C) 7 D) 8
उत्तर: B
हल: आयत 3×2 = 6
शॉर्टकट: ग्रिड वर्गों की गिनती करें
टैग: क्षेत्रफल -
x-अक्ष पर (3,4) का प्रतिबिंब है A) (3,–4) B) (–3,4) C) (–3,–4) D) (4,3)
उत्तर: A
हल: x समान, y का चिह्न बदल जाता है
शॉर्टकट: x-अक्ष प्रतिबिंब ⇒ y→–y
टैग: प्रतिबिंब -
यदि AB की प्रवणता ½ है और A(2,–1), B(x,3), तो x= A) 6 B) 10 C) –6 D) 4
उत्तर: B
हल: (3–(–1))/(x–2)=½ ⇒ 4/(x–2)=½ ⇒ x–2=8 ⇒ x=10
शॉर्टकट: शीघ्रता से वज्र-गुणन करें
टैग: प्रवणता -
बिंदु (–2,5) किस चतुर्थांश में स्थित है? A) I B) II C) III D) IV
उत्तर: B
हल: x ऋणात्मक, y धनात्मक
शॉर्टकट: II चतुर्थांश चिह्न (–,+)
टैग: चतुर्थांश
गति ट्रिक्स
| स्थिति | शॉर्टकट | उदाहरण |
|---|---|---|
| समकोण त्रिभुज के शीर्ष | सारणिक के बजाय ½×आधार×ऊँचाई का प्रयोग करें | (0,0),(a,0),(0,b) ⇒ क्षेत्रफल=½ab |
| संरेखता जाँच | क्षेत्रफल = 0 या प्रवणता AB = BC | बिंदु (1,2),(3,4),(5,6) ⇒ प्रवणता सदैव 1 |
| केन्द्रक याद रखना | “जोड़ें और 3 से भाग दें” | (1,1),(4,3),(7,5) ⇒ G=(12/3,9/3)=(4,3) |
| मानक रेखा से प्रवणता | m = –(x का गुणांक)/(y का गुणांक) | 2x–5y+7=0 ⇒ m=2/5 |
| ग्रिड पर दूरी | Δx और Δy की गिनती करें, पाइथागोरस त्रिक देखें | (5,1)→(9,4): Δx=4, Δy=3 ⇒ दूरी=5 |
त्वरित पुनरावृत्ति
| बिंदु | विवरण |
|---|---|
| 1 | दूरी सूत्र सदैव धनात्मक मान देता है—अंत में वर्गमूल लें। |
| 2 | मध्य-बिंदु = निर्देशांकों का औसत। |
| 3 | केन्द्रक माध्यिका को 2:1 में विभाजित करता है; निर्देशांक साधारण माध्य होते हैं। |
| 4 | प्रवणता tan θ → θ=45° देता है m=1; θ=0° देता है m=0। |
| 5 | क्षैतिज रेखा समीकरण: y = k; ऊर्ध्वाधर: x = k। |
| 6 | क्षेत्रफल सूत्र चिह्नित मान देता है—क्षेत्रफल के लिए निरपेक्ष मान का प्रयोग करें। |
| 7 | तीन बिंदु संरेख हों ⇒ त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0। |
| 8 | x-अक्ष में प्रतिबिंब: y → –y; y-अक्ष में: x → –x। |
| 9 | खंड सूत्र बाह्य रूप से भी कार्य करता है—बस –m:n अनुपात का प्रयोग करें। |
| 10 | चतुर्थांश, प्रवणता या आकृति को कल्पना करने के लिए सदैव रफ प्लॉट बनाएं। |
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