ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖಾಗಣಿತ
ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು
| # | ಪರಿಕಲ್ಪನೆ | ವಿವರಣೆ |
|---|---|---|
| 1 | ದೂರ ಸೂತ್ರ | A(x₁,y₁) & B(x₂,y₂) ನಡುವಿನ ದೂರ = √[(x₂–x₁)²+(y₂–y₁)²] |
| 2 | ವಿಭಾಗ ಸೂತ್ರ | AB ಯನ್ನು m:n ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕವಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸುವ ಬಿಂದು = [(mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n)] |
| 3 | ಮಧ್ಯಬಿಂದು | AB ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು = [(x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2] |
| 4 | ತ್ರಿಕೋನದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದು | ಕೇಂದ್ರಬಿಂದು G = [(x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3] |
| 5 | ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು | m = (y₂–y₁)/(x₂–x₁); ಸಮತಲ→m=0, ಲಂಬ→m=∞ |
| 6 | ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ | y–y₁ = m(x–x₁) ಅಥವಾ ax+by+c=0 |
| 7 | ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ | ½ |
15 ಅಭ್ಯಾಸ ಬಹುಯಾಚಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು
-
(3,4) ಮತ್ತು (–1,1) ನಡುವಿನ ದೂರ A) 3 B) 4 C) 5 D) 6
ಉತ್ತರ: C
ಪರಿಹಾರ: √[(–1–3)²+(1–4)²]=√(16+9)=5
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: 3-4-5 ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ತ್ರಿಪದಿ
ಟ್ಯಾಗ್: ದೂರ ಸೂತ್ರ -
(7, –5) ಮತ್ತು (3, 9) ರ ಮಧ್ಯಬಿಂದು A) (5,2) B) (5,–2) C) (2,5) D) (–2,5)
ಉತ್ತರ: A
ಪರಿಹಾರ: [(7+3)/2, (–5+9)/2] = (5,2)
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: x ಮತ್ತು y ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಸರಾಸರಿ ಮಾಡಿ
ಟ್ಯಾಗ್: ಮಧ್ಯಬಿಂದು -
ಒಂದು ರೇಖೆ ಧನಾತ್ಮಕ x-ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ 45° ಕೋನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅದರ ಇಳಿಜಾರು A) 0 B) 1 C) –1 D) √3
ಉತ್ತರ: B
ಪರಿಹಾರ: m = tan 45° = 1
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: tan θ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ನೀಡುತ್ತದೆ
ಟ್ಯಾಗ್: ಇಳಿಜಾರು -
ಶೃಂಗಗಳು (0,0), (4,0), (0,3) ಇರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ A) 6 B) 12 C) 7 D) 5
ಉತ್ತರ: A
ಪರಿಹಾರ: ½×ಪಾದ×ಎತ್ತರ = ½×4×3 = 6
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ ⇒ ½×ಕಾಲುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ
ಟ್ಯಾಗ್: ವಿಸ್ತೀರ್ಣ -
(2,1), (6,3), (4,9) ರ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದು A) (4,13/3) B) (12,13) C) (4,4) D) (4,13)
ಉತ್ತರ: A
ಪರಿಹಾರ: [(2+6+4)/3, (1+3+9)/3] = (12/3,13/3)
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕೂಡಿ ÷3
ಟ್ಯಾಗ್: ಕೇಂದ್ರಬಿಂದು -
(1,2) ಮತ್ತು (7,8) ಅನ್ನು ಆಂತರಿಕವಾಗಿ 1:2 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸುವ ಬಿಂದು A) (3,4) B) (4,3) C) (5,6) D) (6,5)
ಉತ್ತರ: A
ಪರಿಹಾರ: x=(1×7+2×1)/3=9/3=3; y=(1×8+2×2)/3=12/3=4
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ತೂಕಿತ ಸರಾಸರಿ
ಟ್ಯಾಗ್: ವಿಭಾಗ ಸೂತ್ರ -
3x–4y+12=0 ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು A) 3/4 B) –3/4 C) 4/3 D) –4/3
ಉತ್ತರ: A
ಪರಿಹಾರ: ಪುನಃ ಬರೆಯಿರಿ y=(3/4)x+3 ⇒ m=3/4
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ax+by+c=0 ಗೆ, m=–a/b
ಟ್ಯಾಗ್: ರೇಖಾ ಸಮೀಕರಣ -
(2,k) ಬಿಂದು 5x–2y=10 ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವಂತೆ k ಯ ಮೌಲ್ಯ A) 0 B) 5 C) –5 D) 2
ಉತ್ತರ: A
ಪರಿಹಾರ: 5(2)–2k=10 ⇒ 10–2k=10 ⇒ k=0
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: x ಅನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿ, y ಗೆ ಪರಿಹರಿಸಿ
ಟ್ಯಾಗ್: ರೇಖಾ ಸಮೀಕರಣ -
ಮೂಲಬಿಂದುವಿನಿಂದ (7,24) ಬಿಂದುವಿನ ದೂರ A) 25 B) 24 C) 31 D) 30
ಉತ್ತರ: A
ಪರಿಹಾರ: √(7²+24²)=√(49+576)=√625=25
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: 7-24-25 ತ್ರಿಪದಿ
ಟ್ಯಾಗ್: ದೂರ ಸೂತ್ರ -
A(1,2), B(5,6), C(9,2) ಆದರೆ, ΔABC ಯು A) ಸಮಬಾಹು B) ಲಂಬಕೋನ C) ಸಮದ್ವಿಬಾಹು D) ವಿಷಮಬಾಹು
ಉತ್ತರ: C
ಪರಿಹಾರ: AB=√32, BC=√32, AC=8 ⇒ AB=BC
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ದೂರಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ
ಟ್ಯಾಗ್: ದೂರ -
y=mx+c ರೇಖೆಯು (2,3) ಮತ್ತು (4,7) ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. m ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
ಉತ್ತರ: B
ಪರಿಹಾರ: m=(7–3)/(4–2)=4/2=2
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: (y₂–y₁)/(x₂–x₁)
ಟ್ಯಾಗ್: ಇಳಿಜಾರು -
ಶೃಂಗಗಳು (0,0), (3,0), (3,2), (0,2) ಇರುವ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ A) 5 B) 6 C) 7 D) 8
ಉತ್ತರ: B
ಪರಿಹಾರ: ಆಯತ 3×2 = 6
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ಗ್ರಿಡ್ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಿ
ಟ್ಯಾಗ್: ವಿಸ್ತೀರ್ಣ -
x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ (3,4) ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರತಿಬಿಂಬ A) (3,–4) B) (–3,4) C) (–3,–4) D) (4,3)
ಉತ್ತರ: A
ಪರಿಹಾರ: x ಒಂದೇ, y ಚಿಹ್ನೆ ತಿರುಗಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: x-ಅಕ್ಷ ಪ್ರತಿಬಿಂಬ ⇒ y→–y
ಟ್ಯಾಗ್: ಪ್ರತಿಬಿಂಬ -
AB ಯ ಇಳಿಜಾರು ½ ಮತ್ತು A(2,–1), B(x,3) ಆದರೆ, x= A) 6 B) 10 C) –6 D) 4
ಉತ್ತರ: B
ಪರಿಹಾರ: (3–(–1))/(x–2)=½ ⇒ 4/(x–2)=½ ⇒ x–2=8 ⇒ x=10
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಅಡ್ಡಗುಣಿಸಿ
ಟ್ಯಾಗ್: ಇಳಿಜಾರು -
(–2,5) ಬಿಂದು ಯಾವ ಚತುರ್ಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ? A) I B) II C) III D) IV
ಉತ್ತರ: B
ಪರಿಹಾರ: x ಋಣಾತ್ಮಕ, y ಧನಾತ್ಮಕ
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: II ಚತುರ್ಭಾಗ ಚಿಹ್ನೆ (–,+)
ಟ್ಯಾಗ್: ಚತುರ್ಭಾಗಗಳು
ವೇಗದ ತಂತ್ರಗಳು
| ಪರಿಸ್ಥಿತಿ | ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್ | ಉದಾಹರಣೆ |
|---|---|---|
| ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ ಶೃಂಗಗಳು | ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬದಲಿಗೆ ½×ಪಾದ×ಎತ್ತರ ಬಳಸಿ | (0,0),(a,0),(0,b) ⇒ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ=½ab |
| ಸರಳರೇಖೀಯತೆ ಪರಿಶೀಲನೆ | ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 0 ಅಥವಾ ಇಳಿಜಾರು AB = BC | ಬಿಂದುಗಳು (1,2),(3,4),(5,6) ⇒ ಇಳಿಜಾರು ಯಾವಾಗಲೂ 1 |
| ಕೇಂದ್ರಬಿಂದು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು | “ಕೂಡಿ ಮತ್ತು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ” | (1,1),(4,3),(7,5) ⇒ G=(12/3,9/3)=(4,3) |
| ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೇಖೆಯಿಂದ ಇಳಿಜಾರು | m = –(x ನ ಗುಣಾಂಕ)/(y ನ ಗುಣಾಂಕ) | 2x–5y+7=0 ⇒ m=2/5 |
| ಗ್ರಿಡ್ ಮೇಲೆ ದೂರ | Δx & Δy ಅನ್ನು ಎಣಿಸಿ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ತ್ರಿಪದಿಗಳನ್ನು ನೋಡಿ | (5,1)→(9,4): Δx=4, Δy=3 ⇒ ದೂರ=5 |
ತ್ವರಿತ ಪುನರಾವರ್ತನೆ
| ಬಿಂದು | ವಿವರ |
|---|---|
| 1 | ದೂರ ಸೂತ್ರವು ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯ ನೀಡುತ್ತದೆ—ಚಿಹ್ನೆಮೂಲವನ್ನು ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. |
| 2 | ಮಧ್ಯಬಿಂದು = ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಸರಾಸರಿ. |
| 3 | ಕೇಂದ್ರಬಿಂದು ಮಧ್ಯಗೆರೆಯನ್ನು 2:1 ರಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ; ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸರಳ ಮಧ್ಯಮಾನ. |
| 4 | ಇಳಿಜಾರು tan θ → θ=45° m=1 ನೀಡುತ್ತದೆ; θ=0° m=0 ನೀಡುತ್ತದೆ. |
| 5 | ಸಮತಲ ರೇಖಾ ಸಮೀಕರಣ: y = k; ಲಂಬ: x = k. |
| 6 | ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಸೂತ್ರವು ಚಿಹ್ನಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ—ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ನಿರಪೇಕ್ಷ ಮೌಲ್ಯ ಬಳಸಿ. |
| 7 | ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳು ಸರಳರೇಖೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ⇒ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 0. |
| 8 | x-ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬ: y → –y; y-ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ: x → –x. |
| 9 | ವಿಭಾಗ ಸೂತ್ರವು ಬಾಹ್ಯವಾಗಿಯೂ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ—ಕೇವಲ –m:n ಅನುಪಾತ ಬಳಸಿ. |
| 10 | ಚತುರ್ಭಾಗ, ಇಳಿಜಾರು ಅಥವಾ ಆಕಾರವನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಒರಟು ನಕ್ಷೆ ರಚಿಸಿ. |
BETA
