2.1 تعارف

جیسا کہ ہم جانتے ہیں، ہم 1، 2، 3، 4،.. کا استعمال کرتے ہیں جب ہم گنتی شروع کرتے ہیں۔ جب ہم گننا شروع کرتے ہیں تو یہ قدرتی طور پر آتے ہیں۔ اس لیے ریاضی دان گنتی کے اعداد کو قدرتی اعداد کہتے ہیں۔

پیشرو اور جانشین

کسی بھی قدرتی عدد کو دیا جائے، آپ اس عدد میں 1 جمع کر سکتے ہیں اور اگلا عدد حاصل کر سکتے ہیں یعنی آپ اس کا جانشین حاصل کرتے ہیں۔

16 کا جانشین $16+1=17$ ہے، 19 کا جانشین $19+1=20$ ہے اور اسی طرح۔

عدد 17 سے پہلے 16 آتا ہے، ہم کہتے ہیں کہ 17 کا پیشرو $17-1=16$ ہے، 20 کا پیشرو $20-1=19$ ہے، اور اسی طرح۔

یہ کریں

1۔ 19؛ 1997؛ 12000؛ 49؛ 100000 کے پیشرو اور جانشین لکھیں۔
2۔ کیا کوئی قدرتی عدد ایسا ہے جس کا کوئی پیشرو نہ ہو؟
3۔ کیا کوئی قدرتی عدد ایسا ہے جس کا کوئی جانشین نہ ہو؟ کیا آخری قدرتی عدد ہے؟

عدد 3 کا ایک پیشرو اور ایک جانشین ہے۔ 2 کا کیا؟ جانشین 3 ہے اور پیشرو 1 ہے۔ کیا 1 کا بھی ایک جانشین اور ایک پیشرو ہے؟

ہم اپنے اسکول میں بچوں کی تعداد گن سکتے ہیں؛ ہم ایک شہر میں لوگوں کی تعداد بھی گن سکتے ہیں؛ ہم ہندوستان میں لوگوں کی تعداد گن سکتے ہیں۔ پوری دنیا میں لوگوں کی تعداد بھی گنی جا سکتی ہے۔ ہم شاید آسمان میں ستاروں کی تعداد یا اپنے سروں پر بالوں کی تعداد نہ گن پائیں لیکن اگر ہم قابل ہوں، تو ان کے لیے بھی ایک عدد ہوگا۔ پھر ہم ایسے عدد میں ایک اور جمع کر سکتے ہیں اور ایک بڑا عدد حاصل کر سکتے ہیں۔ اس صورت میں ہم دو سروں پر مل کر بالوں کی تعداد بھی لکھ سکتے ہیں۔

شاید اب یہ واضح ہے کہ سب سے بڑا عدد کوئی نہیں ہے۔ اوپر شیئر کیے گئے ان سوالات کے علاوہ، بہت سے اور سوالات ہیں جو ہمارے ذہن میں آ سکتے ہیں جب ہم قدرتی اعداد کے ساتھ کام کرتے ہیں۔ آپ ایسے چند سوالات سوچ سکتے ہیں اور ان پر اپنے دوستوں کے ساتھ بحث کر سکتے ہیں۔ ہو سکتا ہے آپ ان میں سے بہت سے کے جوابات واضح طور پر نہ جانتے ہوں!

2.2 مکمل اعداد

ہم نے دیکھا ہے کہ عدد 1 کا قدرتی اعداد میں کوئی پیشرو نہیں ہے۔ قدرتی اعداد کے مجموعہ میں ہم صفر کو 1 کے پیشرو کے طور پر شامل کرتے ہیں۔

قدرتی اعداد کے ساتھ صفر مل کر مکمل اعداد کا مجموعہ بناتے ہیں۔

یہ کریں

1۔ کیا تمام قدرتی اعداد مکمل اعداد بھی ہیں؟
2۔ کیا تمام مکمل اعداد قدرتی اعداد بھی ہیں؟
3۔ سب سے بڑا مکمل عدد کون سا ہے؟

اپنی پچھلی کلاسوں میں آپ نے تمام بنیادی عملیات جیسے جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم اعداد پر انجام دینا سیکھا ہے۔ آپ یہ بھی جانتے ہیں کہ مسائل پر انہیں کیسے لاگو کیا جائے۔ آئیے انہیں عددی خط پر آزما کر دیکھتے ہیں۔ اس سے پہلے کہ ہم آگے بڑھیں، آئیے جان لیں کہ عددی خط کیا ہے!

2.3 عددی خط

ایک خط کھینچیں۔ اس پر ایک نقطہ نشان زد کریں۔ اسے 0 لیبل کریں۔ 0 کے دائیں طرف دوسرا نقطہ نشان زد کریں۔ اسے 1 لیبل کریں۔

ان نقاط کے درمیان فاصلہ جو 0 اور 1 کے طور پر لیبل کیا گیا ہے، اکائی فاصلہ کہلاتا ہے۔ اس خط پر، 1 کے دائیں طرف اور 1 سے اکائی فاصلے پر ایک نقطہ نشان زد کریں اور اسے 2 لیبل کریں۔ اس طرح خط پر اکائی فاصلوں پر نقاط کو $3,4,5, \ldots$ کے طور پر لیبل کرتے جائیں۔ آپ اس طرح دائیں طرف کسی بھی مکمل عدد تک جا سکتے ہیں۔

یہ مکمل اعداد کے لیے ایک عددی خط ہے۔

نقطہ 2 اور نقطہ 4 کے درمیان فاصلہ کیا ہے؟ یقیناً، یہ 2 اکائیاں ہیں۔ کیا آپ نقطہ 2 اور 6، نقطہ 2 اور 7 کے درمیان فاصلہ بتا سکتے ہیں؟

عددی خط پر آپ دیکھیں گے کہ عدد 7، 4 کے دائیں طرف ہے۔ یہ عدد 7، 4 سے بڑا ہے، یعنی $7>4$۔ عدد 8، 6 کے دائیں طرف ہے اور $8>6$۔ یہ مشاہدات ہمیں یہ کہنے میں مدد دیتے ہیں کہ، کسی بھی دو مکمل اعداد میں سے، دوسرے عدد کے دائیں طرف والا عدد بڑا عدد ہوتا ہے۔ ہم یہ بھی کہہ سکتے ہیں کہ بائیں طرف والا مکمل عدد چھوٹا عدد ہوتا ہے۔

مثال کے طور پر، $4<9 ; 4$، 9 کے بائیں طرف ہے۔ اسی طرح، $12>5 ; 12$، 5 کے دائیں طرف ہے۔

آپ 10 اور 20 کے بارے میں کیا کہہ سکتے ہیں؟

عددی خط پر 30، 12، 18 نشان زد کریں۔ کون سا عدد سب سے زیادہ بائیں طرف ہے؟ کیا آپ 1005 اور 9756 میں سے بتا سکتے ہیں، کون سا عدد دوسرے عدد کے نسبت دائیں طرف ہوگا۔

عددی خط پر 12 کے جانشین اور 7 کے پیشرو کو رکھیں۔

عددی خط پر جمع

مکمل اعداد کی جمع عددی خط پر دکھائی جا سکتی ہے۔ آئیے 3 اور 4 کی جمع دیکھتے ہیں۔

3 سے شروع کریں۔ چونکہ ہم اس عدد میں 4 جمع کر رہے ہیں اس لیے ہم دائیں طرف 4 چھلانگیں لگاتے ہیں؛ 3 سے 4، 4 سے 5، 5 سے 6 اور 6 سے 7 جیسا کہ اوپر دکھایا گیا ہے۔ چوتھی چھلانگ میں آخری تیر کی نوک 7 پر ہے۔

3 اور 4 کا مجموعہ 7 ہے، یعنی $3+4=7$۔

یہ کریں

عددی خط کا استعمال کرتے ہوئے $4+5$؛ $2+6 ; 3+5$ اور $1+6$ معلوم کریں۔

عددی خط پر تفریق

دو مکمل اعداد کی تفریق بھی عددی خط پر دکھائی جا سکتی ہے۔ آئیے $7-5$ معلوم کرتے ہیں۔

7 سے شروع کریں۔ چونکہ 5 منفی کیا جا رہا ہے، اس لیے بائیں طرف 1 اکائی کی 1 چھلانگ کے ساتھ حرکت کریں۔ ایسی 5 چھلانگیں لگائیں۔ ہم نقطہ 2 پر پہنچتے ہیں۔ ہمیں $7-5=2$ ملتا ہے۔

یہ کریں

عددی خط کا استعمال کرتے ہوئے $8-3$؛ $6-2 ; 9-6$ معلوم کریں۔ عددی خط۔

عددی خط پر ضرب

اب ہم عددی خط پر مکمل اعداد کی ضرب دیکھتے ہیں۔

آئیے $4 \times 3$ معلوم کرتے ہیں۔

0 سے شروع کریں، دائیں طرف ایک وقت میں 3 اکائیاں حرکت کریں، ایسی 4 حرکتیں کریں۔ آپ کہاں پہنچتے ہیں؟ آپ 12 پر پہنچیں گے۔ تو، ہم کہتے ہیں، $3 \times 4=12$۔

یہ کریں

عددی خط کا استعمال کرتے ہوئے $2 \times 6; 3\times3;4 \times 2 $ معلوم کریں۔

مشق 2.1

1۔ 10999 کے بعد آنے والے تین قدرتی اعداد لکھیں۔

2۔ 10001 سے فوراً پہلے آنے والے تین مکمل اعداد لکھیں۔

3۔ سب سے چھوٹا مکمل عدد کون سا ہے؟

4۔ 32 اور 53 کے درمیان کتنے مکمل اعداد ہیں؟

5۔ درج ذیل کے جانشین لکھیں:

(الف) 2440701
(ب) 100199
(ج) 1099999
(د) 2345670

6۔ درج ذیل کے پیشرو لکھیں:

(الف) 94
(ب) 10000
(ج) 208090
(د) 7654321

7۔ درج ذیل عددی جوڑوں میں سے ہر ایک میں، بتائیں کہ عددی خط پر کون سا مکمل عدد دوسرے عدد کے بائیں طرف ہے۔ نیز انہیں درمیان میں مناسب $sign(>,<)$ کے ساتھ لکھیں۔

(الف) 530,503
(ب) 370,307
(ج) 98765,56789
(د) 9830415,10023001

8۔ درج ذیل میں سے کون سے بیانات درست $(T)$ ہیں اور کون سے غلط $(F)$ ہیں؟

(الف) صفر سب سے چھوٹا قدرتی عدد ہے۔
(ب) 400، 399 کا پیشرو ہے۔
(ج) صفر سب سے چھوٹا مکمل عدد ہے۔
(د) 600، 599 کا جانشین ہے۔
(ہ) تمام قدرتی اعداد مکمل اعداد ہیں۔
(و) تمام مکمل اعداد قدرتی اعداد ہیں۔
(ز) دو ہندسوں والے عدد کا پیشرو کبھی بھی ایک ہندسے والا عدد نہیں ہوتا۔
(ح) 1 سب سے چھوٹا مکمل عدد ہے۔
(ط) قدرتی عدد 1 کا کوئی پیشرو نہیں ہے۔
(ی) مکمل عدد 1 کا کوئی پیشرو نہیں ہے۔
(ک) مکمل عدد 13، 11 اور 12 کے درمیان واقع ہے۔
(ل) مکمل عدد 0 کا کوئی پیشرو نہیں ہے۔
(م) دو ہندسوں والے عدد کا جانشین ہمیشہ دو ہندسوں والا عدد ہوتا ہے۔

ہم نے کیا بحث کی؟

1۔ اعداد $1,2,3, \ldots$ جو ہم گنتی کے لیے استعمال کرتے ہیں، قدرتی اعداد کے نام سے جانے جاتے ہیں۔

2۔ اگر آپ ایک قدرتی عدد میں 1 جمع کرتے ہیں، تو ہمیں اس کا جانشین ملتا ہے۔ اگر آپ ایک قدرتی عدد سے 1 منفی کرتے ہیں، تو آپ کو اس کا پیشرو ملتا ہے۔

3۔ ہر قدرتی عدد کا ایک جانشین ہوتا ہے۔ 1 کے علاوہ ہر قدرتی عدد کا ایک پیشرو ہوتا ہے۔

4۔ اگر ہم قدرتی اعداد کے مجموعہ میں عدد صفر شامل کرتے ہیں، تو ہمیں مکمل اعداد کا مجموعہ ملتا ہے۔ اس طرح، اعداد $0,1,2,3, \ldots$ مکمل اعداد کا مجموعہ بناتے ہیں۔

5۔ ہر مکمل عدد کا ایک جانشین ہوتا ہے۔ صفر کے علاوہ ہر مکمل عدد کا ایک پیشرو ہوتا ہے۔

6۔ تمام قدرتی اعداد مکمل اعداد ہیں، لیکن تمام مکمل اعداد قدرتی اعداد نہیں ہیں۔

7۔ ہم ایک خط لیتے ہیں، اس پر ایک نقطہ نشان زد کرتے ہیں اور اسے 0 لیبل کرتے ہیں۔ پھر ہم 0 کے دائیں طرف، برابر وقفوں پر نقاط نشان زد کرتے ہیں۔ انہیں $1,2,3, \ldots$ کے طور پر لیبل کرتے ہیں۔ اس طرح، ہمارے پاس ایک عددی خط ہوتا ہے جس پر مکمل اعداد ظاہر ہوتے ہیں۔ ہم عددی خط پر جمع، تفریق اور ضرب کی عددی عملیات آسانی سے انجام دے سکتے ہیں۔

8۔ جمع عددی خط پر دائیں طرف حرکت کرنے سے مطابقت رکھتی ہے، جبکہ تفریق بائیں طرف حرکت کرنے سے مطابقت رکھتی ہے۔ ضرب صفر سے شروع ہو کر برابر فاصلے کی چھلانگیں لگانے سے مطابقت رکھتی ہے۔