2.1 પ્રસ્તાવના

જેમ આપણે જાણીએ છીએ, જ્યારે આપણે ગણતરી શરૂ કરીએ છીએ ત્યારે આપણે 1, 2, 3, 4,.. નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. જ્યારે આપણે ગણવાનું શરૂ કરીએ છીએ ત્યારે તે સ્વાભાવિક રીતે આવે છે. તેથી, ગણિતશાસ્ત્રીઓ ગણતરીની સંખ્યાઓને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ તરીકે ઓળખે છે.

પૂર્વગામી અને પરવર્તી

કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા આપેલ હોય, તમે તે સંખ્યામાં 1 ઉમેરી શકો છો અને આગળની સંખ્યા મેળવી શકો છો એટલે કે તમે તેનો પરવર્તી મેળવો છો.

16 નો પરવર્તી $16+1=17$ છે, 19 નો પરવર્તી $19+1=20$ છે અને આમ જ.

સંખ્યા 16 એ 17 પહેલાં આવે છે, આપણે કહીએ છીએ કે 17 નો પૂર્વગામી $17-1=16$ છે, 20 નો પૂર્વગામી $20-1=19$ છે, અને આમ જ.

આ પ્રયત્ન કરો

1. 19; 1997; 12000; 49; 100000 ના પૂર્વગામી અને પરવર્તી લખો.
2. શું કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જેનો કોઈ પૂર્વગામી નથી?
3. શું કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જેનો કોઈ પરવર્તી નથી? શું છેલ્લી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે?

સંખ્યા 3 નો એક પૂર્વગામી અને એક પરવર્તી છે. 2 વિશે શું? પરવર્તી 3 છે અને પૂર્વગામી 1 છે. શું 1 નો પરવર્તી અને પૂર્વગામી બંને છે?

આપણે આપણી શાળામાં બાળકોની સંખ્યા ગણી શકીએ છીએ; આપણે એક શહેરમાં લોકોની સંખ્યા પણ ગણી શકીએ છીએ; આપણે ભારતમાં લોકોની સંખ્યા ગણી શકીએ છીએ. સમગ્ર વિશ્વમાં લોકોની સંખ્યા પણ ગણી શકાય છે. આપણે આકાશમાં તારાઓની સંખ્યા અથવા આપણા માથા પરના વાળની સંખ્યા ગણવામાં સમર્થ ન હોઈએ, પરંતુ જો આપણે સમર્થ હોઈએ, તો તેમની માટે પણ એક સંખ્યા હશે. આપણે પછી આવી સંખ્યામાં એક વધુ ઉમેરી શકીએ છીએ અને એક મોટી સંખ્યા મેળવી શકીએ છીએ. તે કિસ્સામાં આપણે બે માથા પર એકસાથેના વાળની સંખ્યા પણ લખી શકીએ છીએ.

હવે કદાચ સ્પષ્ટ છે કે કોઈ સૌથી મોટી સંખ્યા નથી. ઉપર શેર કરેલા આ પ્રશ્નો ઉપરાંત, જ્યારે આપણે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ સાથે કામ કરીએ છીએ ત્યારે આપણા મનમાં ઘણા બધા પ્રશ્નો આવી શકે છે. તમે આવા થોડા પ્રશ્નો વિચારી શકો છો અને તેમની તમારા મિત્રો સાથે ચર્ચા કરી શકો છો. તમે તેમાંના ઘણાના જવાબો સ્પષ્ટ રીતે જાણતા ન પણ હોઈ શકો!

2.2 પૂર્ણ સંખ્યાઓ

આપણે જોયું છે કે સંખ્યા 1 નો પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાં કોઈ પૂર્વગામી નથી. પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સંગ્રહમાં આપણે 1 ના પૂર્વગામી તરીકે શૂન્ય ઉમેરીએ છીએ.

પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ સાથે શૂન્ય મળીને પૂર્ણ સંખ્યાઓનો સંગ્રહ બનાવે છે.

આ પ્રયત્ન કરો

1. શું બધી જ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ પૂર્ણ સંખ્યાઓ પણ છે?
2. શું બધી જ પૂર્ણ સંખ્યાઓ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ પણ છે?
3. સૌથી મોટી પૂર્ણ સંખ્યા કઈ છે?

તમારી પહેલાની કક્ષાઓમાં તમે સંખ્યાઓ પર બધી મૂળભૂત ક્રિયાઓ જેવી કે સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરવાનું શીખ્યા છો. તમે તેમને સમસ્યાઓ પર કેવી રીતે લાગુ કરવા તે પણ જાણો છો. ચાલો તેમને સંખ્યા રેખા પર અજમાવીએ. આપણે આગળ વધતા પહેલા, ચાલો જાણીએ કે સંખ્યા રેખા શું છે!

2.3 સંખ્યા રેખા

એક રેખા દોરો. તેના પર એક બિંદુ ચિહ્નિત કરો. તેને 0 લેબલ કરો. 0 ની જમણી બાજુએ બીજું બિંદુ ચિહ્નિત કરો. તેને 1 લેબલ કરો.

0 અને 1 તરીકે લેબલ કરેલા આ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર એકમ અંતર કહેવાય છે. આ રેખા પર, 1 ની જમણી બાજુએ અને 1 થી એકમ અંતરે એક બિંદુ ચિહ્નિત કરો અને તેને 2 લેબલ કરો. આ રીતે રેખા પર એકમ અંતરે બિંદુઓને $3,4,5, \ldots$ તરીકે લેબલ કરતા જાઓ. તમે આ રીતે જમણી બાજુએ કોઈપણ પૂર્ણ સંખ્યા પર જઈ શકો છો.

આ પૂર્ણ સંખ્યાઓ માટેની સંખ્યા રેખા છે.

બિંદુઓ 2 અને 4 વચ્ચેનું અંતર શું છે? ચોક્કસ, તે 2 એકમ છે. શું તમે બિંદુઓ 2 અને 6 , 2 અને 7 વચ્ચેનું અંતર કહી શકો છો?

સંખ્યા રેખા પર તમે જોશો કે સંખ્યા 7 એ 4 ની જમણી બાજુએ છે. આ સંખ્યા 7 એ 4 કરતાં મોટી છે, એટલે કે $7>4$. સંખ્યા 8 એ 6 ની જમણી બાજુએ છે અને $8>6$. આ અવલોકનો આપણને કહેવામાં મદદ કરે છે કે, કોઈપણ બે પૂર્ણ સંખ્યાઓમાંથી, બીજી સંખ્યાની જમણી બાજુએની સંખ્યા મોટી સંખ્યા છે. આપણે એ પણ કહી શકીએ કે ડાબી બાજુની પૂર્ણ સંખ્યા નાની સંખ્યા છે.

ઉદાહરણ તરીકે, $4<9 ; 4$ એ 9 ની ડાબી બાજુએ છે. તે જ રીતે, $12>5 ; 12$ એ 5 ની જમણી બાજુએ છે.

10 અને 20 વિશે તમે શું કહી શકો છો?

સંખ્યા રેખા પર 30, 12, 18 ચિહ્નિત કરો. કઈ સંખ્યા સૌથી દૂર ડાબી બાજુએ છે? શું તમે 1005 અને 9756 માંથી, કઈ સંખ્યા બીજી સંખ્યાની સાપેક્ષે જમણી બાજુએ હશે તે કહી શકો છો.

સંખ્યા રેખા પર 12 ના પરવર્તી અને 7 ના પૂર્વગામીને મૂકો.

સંખ્યા રેખા પર સરવાળો

પૂર્ણ સંખ્યાઓનો સરવાળો સંખ્યા રેખા પર બતાવી શકાય છે. ચાલો 3 અને 4 નો સરવાળો જોઈએ.

3 થી શરૂ કરો. કારણ કે આપણે આ સંખ્યામાં 4 ઉમેરીએ છીએ તેથી આપણે જમણી બાજુએ 4 જમ્પ કરીએ છીએ; 3 થી 4, 4 થી 5, 5 થી 6 અને 6 થી 7 જેમ ઉપર બતાવ્યા પ્રમાણે. ચોથી જમ્પમાં છેલ્લા \to ની નોક 7 પર છે.

3 અને 4 નો સરવાળો 7 છે, એટલે કે $3+4=7$.

આ પ્રયત્ન કરો

સંખ્યા રેખાનો ઉપયોગ કરીને $4+5$; $2+6 ; 3+5$ અને $1+6$ શોધો.

સંખ્યા રેખા પર બાદબાકી

બે પૂર્ણ સંખ્યાઓની બાદબાકી પણ સંખ્યા રેખા પર બતાવી શકાય છે. ચાલો $7-5$ શોધીએ.

7 થી શરૂ કરો. કારણ કે 5 બાદ કરવામાં આવી રહ્યું છે, તેથી 1 એકમની 1 જમ્પ સાથે ડાબી બાજુએ આગળ વધો. આવી 5 જમ્પ કરો. આપણે બિંદુ 2 પર પહોંચીએ છીએ. આપણને $7-5=2$ મળે છે.

આ પ્રયત્ન કરો

સંખ્યા રેખાનો ઉપયોગ કરીને $8-3$; $6-2 ; 9-6$ શોધો.

સંખ્યા રેખા પર ગુણાકાર

હવે આપણે સંખ્યા રેખા પર પૂર્ણ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર જોઈએ.

ચાલો $4 \times 3$ શોધીએ.

0 થી શરૂ કરો, એક સમયે 3 એકમ જમણી બાજુએ ખસો, આવી 4 ચાલ ચલાવો. તમે ક્યાં પહોંચો છો? તમે 12 પર પહોંચશો. તેથી, આપણે કહીએ છીએ, $3 \times 4=12$.

આ પ્રયત્ન કરો

સંખ્યા રેખાનો ઉપયોગ કરીને $2 \times 6; 3\times3;4 \times 2 $ શોધો

કસરત 2.1

1. 10999 પછીની ત્રણ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ લખો.

2. 10001 થી તરત જ પહેલાં આવતી ત્રણ પૂર્ણ સંખ્યાઓ લખો.

3. સૌથી નાની પૂર્ણ સંખ્યા કઈ છે?

4. 32 અને 53 વચ્ચે કેટલી પૂર્ણ સંખ્યાઓ છે?

5. ના પરવર્તી લખો :

(a) 2440701
(b) 100199
(c) 1099999
(d) 2345670

6. ના પૂર્વગામી લખો :

(a) 94
(b) 10000
(c) 208090
(d) 7654321

7. નીચેની સંખ્યાઓની દરેક જોડીમાં, જણાવો કે કઈ પૂર્ણ સંખ્યા સંખ્યા રેખા પર બીજી સંખ્યાની ડાબી બાજુએ છે. તેમને યોગ્ય $sign(>,<)$ સાથે પણ લખો.

(a) 530,503
(b) 370,307
(c) 98765,56789
(d) 9830415,10023001

8. નીચેનામાંથી કયા વિધાનો સાચાં $(T)$ છે અને કયા ખોટાં $(F)$ છે?

(a) શૂન્ય સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.
(b) 400 એ 399 નો પૂર્વગામી છે.
(c) શૂન્ય સૌથી નાની પૂર્ણ સંખ્યા છે.
(d) 600 એ 599 નો પરવર્તી છે.
(e) બધી જ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ પૂર્ણ સંખ્યાઓ છે.
(f) બધી જ પૂર્ણ સંખ્યાઓ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે.
(g) બે અંકની સંખ્યાનો પૂર્વગામી ક્યારેય એક અંકની સંખ્યા નથી.
(h) 1 સૌથી નાની પૂર્ણ સંખ્યા છે.
(i) પ્રાકૃતિક સંખ્યા 1 નો કોઈ પૂર્વગામી નથી.
(j) પૂર્ણ સંખ્યા 1 નો કોઈ પૂર્વગામી નથી.
(k) પૂર્ણ સંખ્યા 13 એ 11 અને 12 ની વચ્ચે આવે છે.
(l) પૂર્ણ સંખ્યા 0 નો કોઈ પૂર્વગામી નથી.
(m) બે અંકની સંખ્યાનો પરવર્તી હંમેશા બે અંકની સંખ્યા હોય છે.

આપણે શું ચર્ચા કરી?

1. $1,2,3, \ldots$ સંખ્યાઓ જેનો આપણે ગણતરી માટે ઉપયોગ કરીએ છીએ તે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ તરીકે ઓળખાય છે.

2. જો તમે પ્રાકૃતિક સંખ્યામાં 1 ઉમેરો છો, તો આપણે તેનો પરવર્તી મેળવીએ છીએ. જો તમે પ્રાકૃતિક સંખ્યામાંથી 1 બાદ કરો છો, તો તમે તેનો પૂર્વગામી મેળવો છો.

3. દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યાનો એક પરવર્તી હોય છે. 1 સિવાયની દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યાનો એક પૂર્વગામી હોય છે.

4. જો આપણે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સંગ્રહમાં શૂન્ય સંખ્યા ઉમેરીએ, તો આપણને પૂર્ણ સંખ્યાઓનો સંગ્રહ મળે છે. આમ, $0,1,2,3, \ldots$ સંખ્યાઓ પૂર્ણ સંખ્યાઓનો સંગ્રહ બનાવે છે.

5. દરેક પૂર્ણ સંખ્યાનો એક પરવર્તી હોય છે. શૂન્ય સિવાયની દરેક પૂર્ણ સંખ્યાનો એક પૂર્વગામી હોય છે.

6. બધી જ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ પૂર્ણ સંખ્યાઓ છે, પરંતુ બધી જ પૂર્ણ સંખ્યાઓ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ નથી.

7. આપણે એક રેખા લઈએ છીએ, તેના પર એક બિંદુ ચિહ્નિત કરીએ છીએ અને તેને 0 લેબલ કરીએ છીએ. પછી આપણે 0 ની જમણી બાજુએ, સમાન અંતરે બિંદુઓ ચિહ્નિત કરીએ છીએ. તેમને $1,2,3, \ldots$ તરીકે લેબલ કરો. આમ, આપણી પાસે એક સંખ્યા રેખા છે જેના પર પૂર્ણ સંખ્યાઓ દર્શાવેલી છે. આપણે સંખ્યા રેખા પર સરવાળો, બાદબાકી અને ગુણાકારની સંખ્યા ક્રિયાઓ સરળતાથી કરી શકીએ છીએ.

8. સરવાળો સંખ્યા રેખા પર જમણી બાજુએ આગળ વધવાને અનુરૂપ છે, જ્યારે બાદબાકી ડાબી બાજુએ આગળ વધવાને અનુરૂપ છે. ગુણાકાર શૂન્યથી શરૂ કરીને સમાન અંતરની જમ્પ કરવાને અનુરૂપ છે.