2.1 அறிமுகம்

நாம் எண்ணத் தொடங்கும்போது 1, 2, 3, 4,.. ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்துகிறோம் என்பது நமக்குத் தெரியும். நாம் எண்ணத் தொடங்கும்போது அவை இயல்பாகவே வருகின்றன. எனவே, கணிதவியலாளர்கள் எண்ணும் எண்களை இயற்கை எண்கள் என்று அழைக்கிறார்கள்.

முன்னோடி மற்றும் வாரிசு

எந்தவொரு இயற்கை எண்ணையும் கொடுத்தால், அந்த எண்ணுடன் 1ஐக் கூட்டி அடுத்த எண்ணைப் பெறலாம், அதாவது அதன் வாரிசைப் பெறலாம்.

16 இன் வாரிசு $16+1=17$, 19 இன் வாரிசு $19+1=20$ மற்றும் பல.

17 க்கு முன் 16 வருகிறது, 17 இன் முன்னோடி $17-1=16$ என்றும், 20 இன் முன்னோடி $20-1=19$ என்றும் கூறுகிறோம், மற்றும் பல.

முயற்சி செய்க

1. 19; 1997; 12000; 49; 100000 ஆகியவற்றின் முன்னோடி மற்றும் வாரிசை எழுதுக.
2. முன்னோடி இல்லாத இயற்கை எண் ஏதாவது உள்ளதா?
3. வாரிசு இல்லாத இயற்கை எண் ஏதாவது உள்ளதா? கடைசி இயற்கை எண் உள்ளதா?

எண் 3 க்கு ஒரு முன்னோடியும் ஒரு வாரிசும் உள்ளது. 2 பற்றி என்ன? வாரிசு 3 மற்றும் முன்னோடி 1. 1 க்கு வாரிசும் முன்னோடியும் இருக்கிறதா?

நமது பள்ளியில் உள்ள குழந்தைகளின் எண்ணிக்கையை நாம் எண்ணலாம்; ஒரு நகரத்தில் உள்ள மக்களின் எண்ணிக்கையையும் நாம் எண்ணலாம்; இந்தியாவில் உள்ள மக்களின் எண்ணிக்கையையும் நாம் எண்ணலாம். முழு உலகிலும் உள்ள மக்களின் எண்ணிக்கையையும் எண்ணலாம். வானத்தில் உள்ள நட்சத்திரங்களின் எண்ணிக்கையையோ அல்லது நம் தலையில் உள்ள முடிகளின் எண்ணிக்கையையோ நாம் எண்ண முடியாமல் இருக்கலாம், ஆனால் நம்மால் முடிந்தால், அவற்றிற்கும் ஒரு எண் இருக்கும். அப்படிப்பட்ட எண்ணுடன் இன்னும் ஒன்றைக் கூட்டி பெரிய எண்ணைப் பெறலாம். அந்த நிலையில் இரண்டு தலைகளில் உள்ள முடிகளின் எண்ணிக்கையைக் கூட எழுதலாம்.

இப்போது பெரிய எண் எதுவும் இல்லை என்பது வெளிப்படையாக இருக்கலாம். மேலே பகிரப்பட்ட இந்தக் கேள்விகளைத் தவிர, இயற்கை எண்களுடன் பணிபுரியும் போது நம் மனதில் வரக்கூடிய பல கேள்விகள் உள்ளன. நீங்கள் இதுபோன்ற சில கேள்விகளைப் பற்றி சிந்தித்து, உங்கள் நண்பர்களுடன் விவாதிக்கலாம். அவற்றில் பலவற்றிற்கான பதில்களை நீங்கள் தெளிவாகத் தெரிந்து கொள்ளாமல் இருக்கலாம்!

2.2 முழு எண்கள்

இயற்கை எண்களில் 1 க்கு முன்னோடி இல்லை என்பதை நாம் பார்த்துள்ளோம். இயற்கை எண்களின் தொகுப்பில் 1 க்கு முன்னோடியாக பூஜ்ஜியத்தைச் சேர்க்கிறோம்.

இயற்கை எண்களுடன் பூஜ்ஜியம் சேர்ந்து முழு எண்களின் தொகுப்பை உருவாக்குகிறது.

முயற்சி செய்க

1. அனைத்து இயற்கை எண்களும் முழு எண்களா?
2. அனைத்து முழு எண்களும் இயற்கை எண்களா?
3. மிகப்பெரிய முழு எண் எது?

உங்கள் முந்தைய வகுப்புகளில் அனைத்து அடிப்படை செயல்பாடுகளான கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் ஆகியவற்றை எண்களில் செய்யக் கற்றுக்கொண்டீர்கள். அவற்றைப் பிரச்சனைகளுக்குப் பயன்படுத்துவது எப்படி என்பதும் உங்களுக்குத் தெரியும். அவற்றை எண் கோட்டில் முயற்சிப்போம். நாம் தொடர்வதற்கு முன், எண் கோடு என்றால் என்ன என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்!

2.3 எண் கோடு

ஒரு கோட்டை வரையவும். அதில் ஒரு புள்ளியைக் குறிக்கவும். அதை 0 என லேபிளிடவும். 0 க்கு வலதுபுறம் இரண்டாவது புள்ளியைக் குறிக்கவும். அதை 1 என லேபிளிடவும்.

0 மற்றும் 1 என லேபிளிடப்பட்ட இந்தப் புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம் அலகு தூரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்தக் கோட்டில், 1 க்கு வலதுபுறத்தில் மற்றும் 1 இலிருந்து அலகு தூரத்தில் ஒரு புள்ளியைக் குறித்து அதை 2 என லேபிளிடவும். இந்த வழியில் $3,4,5, \ldots$ போன்ற அலகு தூரங்களில் புள்ளிகளைக் கோட்டில் லேபிளிடுங்கள். இந்த முறையில் நீங்கள் வலதுபுறத்தில் உள்ள எந்த முழு எண்ணுக்கும் செல்லலாம்.

இது முழு எண்களுக்கான எண் கோடு ஆகும்.

2 மற்றும் 4 புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம் என்ன? நிச்சயமாக, அது 2 அலகுகள். 2 மற்றும் 6 புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தையும், 2 மற்றும் 7 புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தையும் சொல்ல முடியுமா?

எண் கோட்டில் 7 என்ற எண் 4 க்கு வலதுபுறத்தில் இருப்பதை நீங்கள் காண்பீர்கள். இந்த எண் 7, 4 ஐ விட பெரியது, அதாவது $7>4$. எண் 8, 6 க்கு வலதுபுறத்தில் உள்ளது மற்றும் $8>6$. இந்த அவதானிப்புகள், எந்த இரண்டு முழு எண்களிலிருந்தும், மற்ற எண்ணின் வலதுபுறத்தில் உள்ள எண்ணே பெரிய எண் என்று சொல்ல உதவுகின்றன. இடதுபுறத்தில் உள்ள முழு எண் சிறிய எண் என்றும் சொல்லலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக, $4<9 ; 4$ என்பது 9 இன் இடதுபுறத்தில் உள்ளது. இதேபோல், $12>5 ; 12$ என்பது 5 இன் வலதுபுறத்தில் உள்ளது.

10 மற்றும் 20 பற்றி நீங்கள் என்ன சொல்ல முடியும்?

எண் கோட்டில் 30, 12, 18 ஆகியவற்றைக் குறிக்கவும். எந்த எண் இடதுபுறத்தில் மிக தொலைவில் உள்ளது? 1005 மற்றும் 9756 இலிருந்து, எந்த எண் மற்ற எண்ணுடன் தொடர்புடையதாக வலதுபுறத்தில் இருக்கும் என்று சொல்ல முடியுமா?

12 இன் வாரிசையும் 7 இன் முன்னோடியையும் எண் கோட்டில் வைக்கவும்.

எண் கோட்டில் கூட்டல்

முழு எண்களின் கூட்டலை எண் கோட்டில் காட்டலாம். 3 மற்றும் 4 இன் கூட்டலைப் பார்ப்போம்.

3 இலிருந்து தொடங்கவும். இந்த எண்ணுடன் 4 ஐக் கூட்டுவதால், நாம் 4 தாவல்களை வலப்புறம் செய்கிறோம்; 3 முதல் 4,4 முதல் 5,5 முதல் 6 மற்றும் 6 முதல் 7 வரை மேலே காட்டப்பட்டுள்ளது. நான்காவது தாவலில் கடைசி \to இன் நுனி 7 இல் உள்ளது.

3 மற்றும் 4 இன் கூட்டுத்தொகை 7, அதாவது $3+4=7$.

முயற்சி செய்க

எண் கோட்டைப் பயன்படுத்தி $4+5$; $2+6 ; 3+5$ மற்றும் $1+6$ ஐக் கண்டறியவும்.

எண் கோட்டில் கழித்தல்

இரண்டு முழு எண்களின் கழித்தலையும் எண் கோட்டில் காட்டலாம். $7-5$ ஐக் கண்டுபிடிப்போம்.

7 இலிருந்து தொடங்கவும். 5 கழிக்கப்படுவதால், 1 அலகு 1 தாவலுடன் இடதுபுறம் நகரவும். இதுபோன்ற 5 தாவல்களைச் செய்யவும். நாம் புள்ளி 2 ஐ அடைகிறோம். நமக்கு $7-5=2$ கிடைக்கிறது.

முயற்சி செய்க

எண் கோட்டைப் பயன்படுத்தி $8-3$; $6-2 ; 9-6$ ஐக் கண்டறியவும்.

எண் கோட்டில் பெருக்கல்

இப்போது முழு எண்களின் பெருக்கலைப் பார்க்கிறோம்

$4 \times 3$ ஐக் கண்டுபிடிப்போம்.

0 இலிருந்து தொடங்கி, ஒரு நேரத்தில் 3 அலகுகள் வலதுபுறம் நகர்த்தவும், இதுபோன்ற 4 நகர்வுகளைச் செய்யவும். நீங்கள் எங்கு சென்று சேருகிறீர்கள்? நீங்கள் 12 ஐ அடைவீர்கள். எனவே, நாம் சொல்கிறோம், $3 \times 4=12$.

முயற்சி செய்க

எண் கோட்டைப் பயன்படுத்தி $2 \times 6; 3\times3;4 \times 2 $ ஐக் கண்டறியவும்

பயிற்சி 2.1

1. 10999 க்குப் பிறகு வரும் அடுத்த மூன்று இயற்கை எண்களை எழுதுக.

2. 10001 க்கு முன்பு வரும் மூன்று முழு எண்களை எழுதுக.

3. மிகச்சிறிய முழு எண் எது?

4. 32 மற்றும் 53 க்கு இடையில் எத்தனை முழு எண்கள் உள்ளன?

5. பின்வருவனவற்றின் வாரிசை எழுதுக:

(a) 2440701
(b) 100199
(c) 1099999
(d) 2345670

6. பின்வருவனவற்றின் முன்னோடியை எழுதுக:

(a) 94
(b) 10000
(c) 208090
(d) 7654321

7. பின்வரும் ஒவ்வொரு ஜோடி எண்களிலும், எண் கோட்டில் எந்த முழு எண் மற்ற எண்ணின் இடதுபுறத்தில் உள்ளது எனக் கூறுக. மேலும் அவற்றை பொருத்தமான $sign(>,<)$ உடன் எழுதுக.

(a) 530,503
(b) 370,307
(c) 98765,56789
(d) 9830415,10023001

8. பின்வரும் கூற்றுகளில் எது சரி $(T)$ மற்றும் எது தவறு $(F)$?

(a) பூஜ்ஜியம் மிகச்சிறிய இயற்கை எண்.
(b) 400 என்பது 399 இன் முன்னோடி.
(c) பூஜ்ஜியம் மிகச்சிறிய முழு எண்.
(d) 600 என்பது 599 இன் வாரிசு.
(e) அனைத்து இயற்கை எண்களும் முழு எண்கள்.
(f) அனைத்து முழு எண்களும் இயற்கை எண்கள்.
(g) இரண்டு இலக்க எண்ணின் முன்னோடி ஒருபோதும் ஒற்றை இலக்க எண்ணாக இருக்காது.
(h) 1 என்பது மிகச்சிறிய முழு எண்.
(i) இயற்கை எண் 1 க்கு முன்னோடி இல்லை.
(j) முழு எண் 1 க்கு முன்னோடி இல்லை.
(k) முழு எண் 13, 11 மற்றும் 12 க்கு இடையில் உள்ளது.
(l) முழு எண் 0 க்கு முன்னோடி இல்லை.
(m) இரண்டு இலக்க எண்ணின் வாரிசு எப்போதும் இரண்டு இலக்க எண்ணாக இருக்கும்.

நாம் என்ன விவாதித்தோம்?

1. $1,2,3, \ldots$ என்ற எண்களை நாம் எண்ணுவதற்குப் பயன்படுத்துகிறோம், அவை இயற்கை எண்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

2. ஒரு இயற்கை எண்ணுடன் 1 ஐக் கூட்டினால், அதன் வாரிசைப் பெறுகிறோம். ஒரு இயற்கை எண்ணிலிருந்து 1 ஐக் கழித்தால், அதன் முன்னோடியைப் பெறுகிறோம்.

3. ஒவ்வொரு இயற்கை எண்ணுக்கும் ஒரு வாரிசு உள்ளது. 1 ஐத் தவிர ஒவ்வொரு இயற்கை எண்ணுக்கும் ஒரு முன்னோடி உள்ளது.

4. இயற்கை எண்களின் தொகுப்பில் பூஜ்ஜிய எண்ணைச் சேர்த்தால், முழு எண்களின் தொகுப்பைப் பெறுகிறோம். இவ்வாறு, $0,1,2,3, \ldots$ என்ற எண்கள் முழு எண்களின் தொகுப்பை உருவாக்குகின்றன.

5. ஒவ்வொரு முழு எண்ணுக்கும் ஒரு வாரிசு உள்ளது. பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர ஒவ்வொரு முழு எண்ணுக்கும் ஒரு முன்னோடி உள்ளது.

6. அனைத்து இயற்கை எண்களும் முழு எண்கள், ஆனால் அனைத்து முழு எண்களும் இயற்கை எண்கள் அல்ல.

7. நாம் ஒரு கோட்டை எடுத்து, அதில் ஒரு புள்ளியைக் குறித்து 0 என லேபிளிடுகிறோம். பின்னர் 0 க்கு வலதுபுறத்தில், சம இடைவெளியில் புள்ளிகளைக் குறிக்கிறோம். அவற்றை $1,2,3, \ldots$ என லேபிளிடுகிறோம். இவ்வாறு, முழு எண்கள் குறிப்பிடப்பட்ட ஒரு எண் கோடு நம்மிடம் உள்ளது. எண் கோட்டில் கூட்டல், கழித்தல் மற்றும் பெருக்கல் ஆகிய எண் செயல்பாடுகளை நாம் எளிதாகச் செய்யலாம்.

8. கூட்டல் என்பது எண் கோட்டில் வலப்புறம் நகர்வதற்கு ஒத்திருக்கிறது, அதேசமயம் கழித்தல் என்பது இடப்புறம் நகர்வதற்கு ஒத்திருக்கிறது. பெருக்கல் என்பது பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து தொடங்கி சம தூரத்தில் தாவல்கள் செய்வதற்கு ஒத்திருக்கிறது.