2.1 ആമുഖം

നമുക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, നമ്മൾ എണ്ണാൻ തുടങ്ങുമ്പോൾ 1, 2, 3, 4,.. എന്നിവ ഉപയോഗിക്കുന്നു. നമ്മൾ എണ്ണാൻ തുടങ്ങുമ്പോൾ അവ സ്വാഭാവികമായി വരുന്നു. അതിനാൽ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ എണ്ണൽ സംഖ്യകളെ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

മുമ്പത്തേതും തുടർന്നുള്ളതും

ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യ നൽകിയാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ആ സംഖ്യയോട് 1 ചേർത്ത് അടുത്ത സംഖ്യ ലഭിക്കും, അതായത് അതിന്റെ തുടർന്നുള്ളത് ലഭിക്കും.

16 ന്റെ തുടർന്നുള്ളത് $16+1=17$ ആണ്, 19 ന്റെ തുടർന്നുള്ളത് $19+1=20$ ആണ്, ഇതുപോലെ തുടരുന്നു.

17 ന് മുമ്പായി 16 വരുന്നു, 17 ന്റെ മുമ്പത്തേത് $17-1=16$ ആണെന്ന് നമ്മൾ പറയുന്നു, 20 ന്റെ മുമ്പത്തേത് $20-1=19$ ആണ്, ഇതുപോലെ തുടരുന്നു.

ഇവ ശ്രമിക്കുക

1. 19; 1997; 12000; 49; 100000 എന്നിവയുടെ മുമ്പത്തേതും തുടർന്നുള്ളതും എഴുതുക.
2. ഒരു മുമ്പത്തേത് ഇല്ലാത്ത സ്വാഭാവിക സംഖ്യ ഉണ്ടോ?
3. ഒരു തുടർന്നുള്ളത് ഇല്ലാത്ത സ്വാഭാവിക സംഖ്യ ഉണ്ടോ? അവസാന സ്വാഭാവിക സംഖ്യ ഉണ്ടോ?

സംഖ്യ 3 ന് ഒരു മുമ്പത്തേതും ഒരു തുടർന്നുള്ളതും ഉണ്ട്. 2 എന്ന സംഖ്യയുടെ കാര്യമോ? തുടർന്നുള്ളത് 3 ഉം മുമ്പത്തേത് 1 ഉം ആണ്. 1 ന് ഒരു തുടർന്നുള്ളതും മുമ്പത്തേതും ഉണ്ടോ?

നമ്മുടെ സ്കൂളിലെ കുട്ടികളുടെ എണ്ണം നമുക്ക് എണ്ണാം; ഒരു നഗരത്തിലെ ആളുകളുടെ എണ്ണവും നമുക്ക് എണ്ണാം; ഇന്ത്യയിലെ ആളുകളുടെ എണ്ണം നമുക്ക് എണ്ണാം. മുഴുവൻ ലോകത്തിലെയും ആളുകളുടെ എണ്ണവും എണ്ണാവുന്നതാണ്. ആകാശത്തെ നക്ഷത്രങ്ങളുടെ എണ്ണമോ തലയിലെ മുടിയുടെ എണ്ണമോ നമുക്ക് എണ്ണാൻ കഴിഞ്ഞേക്കില്ല, പക്ഷേ നമുക്ക് കഴിഞ്ഞാൽ, അവയ്ക്കും ഒരു സംഖ്യ ഉണ്ടാകും. അപ്പോൾ നമുക്ക് അത്തരം ഒരു സംഖ്യയോട് ഒന്ന് കൂടി ചേർത്ത് ഒരു വലിയ സംഖ്യ ലഭിക്കും. അങ്ങനെയെങ്കിൽ രണ്ട് തലകളിലെ മുടിയുടെ എണ്ണം പോലും നമുക്ക് എഴുതാം.

ഇപ്പോൾ ഒരു പക്ഷേ വ്യക്തമാണ്, ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യ ഇല്ല എന്നത്. മുകളിൽ പങ്കിട്ട ഈ ചോദ്യങ്ങൾക്ക് പുറമേ, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുമായി പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ നമ്മുടെ മനസ്സിൽ വരാവുന്ന മറ്റ് പല ചോദ്യങ്ങളും ഉണ്ട്. അത്തരം കുറച്ച് ചോദ്യങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ചിന്തിക്കാനും സുഹൃത്തുക്കളുമായി ചർച്ച ചെയ്യാനും കഴിയും. അവയിൽ പലതിനുമുള്ള ഉത്തരങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് വ്യക്തമായി അറിയില്ലായിരിക്കാം!

2.2 പൂർണ്ണ സംഖ്യകൾ

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളിൽ 1 ന് ഒരു മുമ്പത്തേത് ഇല്ലെന്ന് നമ്മൾ കണ്ടിട്ടുണ്ട്. സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടത്തിലേക്ക് നമ്മൾ പൂജ്യത്തെ 1 ന്റെ മുമ്പത്തേതായി ചേർക്കുന്നു.

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളോടൊപ്പം പൂജ്യം ചേർന്നതാണ് പൂർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം.

ഇവ ശ്രമിക്കുക

1. എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളും പൂർണ്ണ സംഖ്യകൾ തന്നെയാണോ?
2. എല്ലാ പൂർണ്ണ സംഖ്യകളും സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ തന്നെയാണോ?
3. ഏറ്റവും വലിയ പൂർണ്ണ സംഖ്യ ഏതാണ്?

നിങ്ങളുടെ മുമ്പത്തെ ക്ലാസുകളിൽ സംഖ്യകളിലെ എല്ലാ അടിസ്ഥാന പ്രവർത്തനങ്ങളും, അതായത് സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം, ഹരണം എന്നിവ നടത്താൻ നിങ്ങൾ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. അവ പ്രശ്നങ്ങളിൽ എങ്ങനെ പ്രയോഗിക്കാമെന്നും നിങ്ങൾക്കറിയാം. നമുക്ക് അവ ഒരു സംഖ്യാരേഖയിൽ ശ്രമിച്ചുനോക്കാം. നാം മുന്നോട്ട് പോകുന്നതിന് മുമ്പ്, ഒരു സംഖ്യാരേഖ എന്താണെന്ന് കണ്ടെത്താം!

2.3 സംഖ്യാരേഖ

ഒരു രേഖ വരയ്ക്കുക. അതിൽ ഒരു ബിന്ദു അടയാളപ്പെടുത്തുക. അതിനെ 0 എന്ന് ലേബൽ ചെയ്യുക. 0 ന്റെ വലതുവശത്ത് രണ്ടാമത്തെ ഒരു ബിന്ദു അടയാളപ്പെടുത്തുക. അതിനെ 1 എന്ന് ലേബൽ ചെയ്യുക.

0, 1 എന്നിങ്ങനെ ലേബൽ ചെയ്ത ഈ ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തെ ഏകക ദൂരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ രേഖയിൽ, 1 ന്റെ വലതുവശത്തും 1 ൽ നിന്ന് ഏകക ദൂരത്തിലുമായി ഒരു ബിന്ദു അടയാളപ്പെടുത്തി അതിനെ 2 എന്ന് ലേബൽ ചെയ്യുക. ഈ രീതിയിൽ $3,4,5, \ldots$ എന്നിങ്ങനെ രേഖയിൽ ഏകക ദൂരത്തിൽ ബിന്ദുക്കൾ ലേബൽ ചെയ്യുന്നത് തുടരുക. ഈ രീതിയിൽ നിങ്ങൾക്ക് വലതുവശത്ത് ഏത് പൂർണ്ണ സംഖ്യയിലേക്കും പോകാം.

ഇതാണ് പൂർണ്ണ സംഖ്യകൾക്കുള്ള സംഖ്യാരേഖ.

2, 4 എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം എന്താണ്? തീർച്ചയായും, അത് 2 ഏകകങ്ങളാണ്. 2, 6 എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരവും 2, 7 എന്നിവ തമ്മിലുള്ള ദൂരവും നിങ്ങൾക്ക് പറയാമോ?

സംഖ്യാരേഖയിൽ 7 എന്ന സംഖ്യ 4 ന്റെ വലതുവശത്താണെന്ന് നിങ്ങൾ കാണും. ഈ സംഖ്യ 7, 4 നേക്കാൾ വലുതാണ്, അതായത് $7>4$. സംഖ്യ 8, 6 ന്റെ വലതുവശത്താണ് ഒപ്പം $8>6$. ഈ നിരീക്ഷണങ്ങൾ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പൂർണ്ണ സംഖ്യകളിൽ, മറ്റേ സംഖ്യയുടെ വലതുവശത്തുള്ള സംഖ്യയാണ് വലിയ സംഖ്യ എന്ന് പറയാൻ നമ്മെ സഹായിക്കുന്നു. ഇടതുവശത്തുള്ള പൂർണ്ണ സംഖ്യ ചെറിയ സംഖ്യയാണെന്നും നമുക്ക് പറയാം.

ഉദാഹരണത്തിന്, $4<9 ; 4$ 9 ന്റെ ഇടതുവശത്താണ്. അതുപോലെ, $12>5 ; 12$ 5 ന്റെ വലതുവശത്താണ്.

10 ഉം 20 ഉം കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് എന്ത് പറയാനുണ്ട്?

സംഖ്യാരേഖയിൽ 30, 12, 18 എന്നിവ അടയാളപ്പെടുത്തുക. ഏത് സംഖ്യയാണ് ഏറ്റവും ഇടതുവശത്ത്? 1005 ഉം 9756 ഉം തമ്മിൽ, മറ്റേ സംഖ്യയുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഏത് സംഖ്യയാണ് വലതുവശത്ത് ആയിരിക്കുക എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പറയാമോ.

12 ന്റെ തുടർന്നുള്ളതും 7 ന്റെ മുമ്പത്തേതും സംഖ്യാരേഖയിൽ സ്ഥാപിക്കുക.

സംഖ്യാരേഖയിലെ സങ്കലനം

പൂർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ സങ്കലനം സംഖ്യാരേഖയിൽ കാണിക്കാം. 3 ഉം 4 ഉം ചേർക്കുന്നത് നോക്കാം.

3 ൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുക. ഈ സംഖ്യയോട് 4 ചേർക്കുന്നതിനാൽ നാം 4 ജമ്പുകൾ വലതുവശത്തേക്ക് എടുക്കുന്നു; 3 മുതൽ 4 വരെ, 4 മുതൽ 5 വരെ, 5 മുതൽ 6 വരെ, 6 മുതൽ 7 വരെ മുകളിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ. നാലാമത്തെ ജമ്പിലെ അവസാന \to യുടെ അറ്റം 7 ലാണ്.

3 ഉം 4 ഉം ചേർത്തതിന്റെ ആകെത്തുക 7 ആണ്, അതായത് $3+4=7$.

ഇവ ശ്രമിക്കുക

സംഖ്യാരേഖ ഉപയോഗിച്ച് $4+5$; $2+6 ; 3+5$; $1+6$ എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.

സംഖ്യാരേഖയിലെ വ്യവകലനം

രണ്ട് പൂർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ വ്യവകലനവും സംഖ്യാരേഖയിൽ കാണിക്കാം. $7-5$ കണ്ടെത്താം.

7 ൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുക. 5 കുറയ്ക്കുന്നതിനാൽ, 1 ഏകകത്തിന്റെ 1 ജമ്പ് ഉപയോഗിച്ച് ഇടതുവശത്തേക്ക് നീങ്ങുക. അത്തരം 5 ജമ്പുകൾ എടുക്കുക. നമ്മൾ 2 എന്ന ബിന്ദുവിൽ എത്തുന്നു. നമുക്ക് $7-5=2$ ലഭിക്കുന്നു.

ഇവ ശ്രമിക്കുക

സംഖ്യാരേഖ ഉപയോഗിച്ച് $8-3$; $6-2 ; 9-6$ എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.

സംഖ്യാരേഖയിലെ ഗുണനം

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ പൂർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം സംഖ്യാരേഖയിൽ കാണുന്നു.

$4 \times 3$ കണ്ടെത്താം.

0 ൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച്, ഒരു സമയം 3 ഏകകങ്ങൾ വലതുവശത്തേക്ക് നീങ്ങുക, അത്തരം 4 നീക്കങ്ങൾ ചെയ്യുക. നിങ്ങൾ എവിടെ എത്തുന്നു? നിങ്ങൾ 12 ലെത്തും. അതിനാൽ, നമ്മൾ പറയുന്നു, $3 \times 4=12$.

ഇവ ശ്രമിക്കുക

സംഖ്യാരേഖ ഉപയോഗിച്ച് $2 \times 6; 3\times3;4 \times 2 $ കണ്ടെത്തുക

അഭ്യാസം 2.1

1. 10999 ന് ശേഷമുള്ള അടുത്ത മൂന്ന് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ എഴുതുക.

2. 10001 ന് തൊട്ടുമുമ്പുള്ള മൂന്ന് പൂർണ്ണ സംഖ്യകൾ എഴുതുക.

3. ഏറ്റവും ചെറിയ പൂർണ്ണ സംഖ്യ ഏതാണ്?

4. 32 നും 53 നും ഇടയിൽ എത്ര പൂർണ്ണ സംഖ്യകൾ ഉണ്ട്?

5. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നവയുടെ തുടർന്നുള്ളത് എഴുതുക:

(a) 2440701
(b) 100199
(c) 1099999
(d) 2345670

6. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നവയുടെ മുമ്പത്തേത് എഴുതുക:

(a) 94
(b) 10000
(c) 208090
(d) 7654321

7. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഓരോ ജോഡി സംഖ്യകളിലും, സംഖ്യാരേഖയിൽ ഏത് പൂർണ്ണ സംഖ്യയാണ് മറ്റേ സംഖ്യയുടെ ഇടതുവശത്ത് എന്ന് പറയുക. അവയെ ഉചിതമായ $sign(>,<)$ ഉപയോഗിച്ച് എഴുതുക.

(a) 530,503
(b) 370,307
(c) 98765,56789
(d) 9830415,10023001

8. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന പ്രസ്താവനകളിൽ ഏതൊക്കെ ശരിയാണ് $(T)$, ഏതൊക്കെ തെറ്റാണ് $(F)$?

(a) പൂജ്യമാണ് ഏറ്റവും ചെറിയ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ.
(b) 400 ആണ് 399 ന്റെ മുമ്പത്തേത്.
(c) പൂജ്യമാണ് ഏറ്റവും ചെറിയ പൂർണ്ണ സംഖ്യ.
(d) 600 ആണ് 599 ന്റെ തുടർന്നുള്ളത്.
(e) എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളും പൂർണ്ണ സംഖ്യകളാണ്.
(f) എല്ലാ പൂർണ്ണ സംഖ്യകളും സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാണ്.
(g) രണ്ട് അക്ക സംഖ്യയുടെ മുമ്പത്തേത് ഒരിക്കലും ഒറ്റ അക്ക സംഖ്യയാകില്ല.
(h) 1 ആണ് ഏറ്റവും ചെറിയ പൂർണ്ണ സംഖ്യ.
(i) സ്വാഭാവിക സംഖ്യ 1 ന് മുമ്പത്തേത് ഇല്ല.
(j) പൂർണ്ണ സംഖ്യ 1 ന് മുമ്പത്തേത് ഇല്ല.
(k) പൂർണ്ണ സംഖ്യ 13, 11 നും 12 നും ഇടയിലാണ്.
(l) പൂർണ്ണ സംഖ്യ 0 ന് മുമ്പത്തേത് ഇല്ല.
(m) രണ്ട് അക്ക സംഖ്യയുടെ തുടർന്നുള്ളത് എപ്പോഴും രണ്ട് അക്ക സംഖ്യയായിരിക്കും.

എന്താണ് നമ്മൾ ചർച്ച ചെയ്തത്?

1. $1,2,3, \ldots$ എന്നിവയാണ് നമ്മൾ എണ്ണുന്നതിന് ഉപയോഗിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ, അവ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ എന്നറിയപ്പെടുന്നു.

2. ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയോട് 1 ചേർത്താൽ, അതിന്റെ തുടർന്നുള്ളത് ലഭിക്കും. ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയിൽ നിന്ന് 1 കുറച്ചാൽ, അതിന്റെ മുമ്പത്തേത് ലഭിക്കും.

3. ഓരോ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്ക്കും ഒരു തുടർന്നുള്ളത് ഉണ്ട്. 1 ഒഴികെയുള്ള ഓരോ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്ക്കും ഒരു മുമ്പത്തേത് ഉണ്ട്.

4. സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടത്തിലേക്ക് പൂജ്യം ചേർത്താൽ, നമുക്ക് പൂർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം ലഭിക്കും. അങ്ങനെ, $0,1,2,3, \ldots$ എന്നീ സംഖ്യകൾ പൂർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം രൂപീകരിക്കുന്നു.

5. ഓരോ പൂർണ്ണ സംഖ്യയ്ക്കും ഒരു തുടർന്നുള്ളത് ഉണ്ട്. പൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള ഓരോ പൂർണ്ണ സംഖ്യയ്ക്കും ഒരു മുമ്പത്തേത് ഉണ്ട്.

6. എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളും പൂർണ്ണ സംഖ്യകളാണ്, പക്ഷേ എല്ലാ പൂർണ്ണ സംഖ്യകളും സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളല്ല.

7. നമ്മൾ ഒരു രേഖ എടുത്ത്, അതിൽ ഒരു ബിന്ദു അടയാളപ്പെടുത്തി 0 എന്ന് ലേബൽ ചെയ്യുന്നു. പിന്നെ നമ്മൾ 0 ന്റെ വലതുവശത്ത് തുല്യ ഇടവേളകളിൽ ബിന്ദുക്കൾ അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു. അവയെ $1,2,3, \ldots$ എന്ന് ലേബൽ ചെയ്യുന്നു. അങ്ങനെ, പൂർണ്ണ സംഖ്യകൾ പ്രതിനിധീകരിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യാരേഖ നമുക്കുണ്ട്. സംഖ്യാരേഖയിൽ സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം എന്നീ സംഖ്യാ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നമുക്ക് എളുപ്പത്തിൽ നടത്താം.

8. സങ്കലനം സംഖ്യാരേഖയിൽ വലതുവശത്തേക്ക് നീങ്ങുന്നതിനോട് യോജിക്കുന്നു, അതേസമയം വ്യവകലനം ഇടതുവശത്തേക്ക് നീങ്ങുന്നതിനോട് യോജിക്കുന്നു. ഗുണനം പൂജ്യം മുതൽ ആരംഭിച്ച് തുല്യ ദൂരത്തിലുള്ള ജമ്പുകൾ എടുക്കുന്നതിനോട് യോജിക്കുന്നു.