২.১ ভূমিকা

আমি জানো, আমি গণনা আৰম্ভ কৰোঁতে ১, ২, ৩, ৪,.. ব্যৱহাৰ কৰোঁ। আমি গণনা আৰম্ভ কৰিলে ই স্বাভাৱিকভাৱে আহে। সেয়েহে গণিতজ্ঞসকলে গণনা কৰা সংখ্যাবোৰক স্বাভাৱিক সংখ্যা বোলে।

পূৰ্বসূৰী আৰু উত্তৰসূৰী

যিকোনো স্বাভাৱিক সংখ্যা দিয়া থাকিলে, সেই সংখ্যাত ১ যোগ কৰিলে পৰৱৰ্তী সংখ্যাটো পোৱা যায় অৰ্থাৎ ইয়াৰ উত্তৰসূৰী পোৱা যায়।

১৬ ৰ উত্তৰসূৰী হৈছে $16+1=17$, ১৯ ৰ উত্তৰসূৰী হৈছে $19+1=20$ ইত্যাদি।

১৭ ৰ আগত ১৬ সংখ্যাটো আহে, আমি কওঁ যে ১৭ ৰ পূৰ্বসূৰী হৈছে $17-1=16$, ২০ ৰ পূৰ্বসূৰী হৈছে $20-1=19$, ইত্যাদি।

চেষ্টা কৰা

১. ১৯; ১৯৯৭; ১২০০০; ৪৯; ১০০০০০ ৰ পূৰ্বসূৰী আৰু উত্তৰসূৰী লিখা।
২. এনে কোনো স্বাভাৱিক সংখ্যা আছে নেকি যাৰ কোনো পূৰ্বসূৰী নাই?
৩. এনে কোনো স্বাভাৱিক সংখ্যা আছে নেকি যাৰ কোনো উত্তৰসূৰী নাই? শেষৰ স্বাভাৱিক সংখ্যা এটা আছে নেকি?

৩ সংখ্যাটোৰ এটা পূৰ্বসূৰী আৰু এটা উত্তৰসূৰী আছে। ২ ৰ কথা কি? উত্তৰসূৰী হৈছে ৩ আৰু পূৰ্বসূৰী হৈছে ১। ১ ৰো এটা উত্তৰসূৰী আৰু এটা পূৰ্বসূৰী আছে নেকি?

আমি আমাৰ বিদ্যালয়ৰ শিশুৰ সংখ্যা গণনা কৰিব পাৰোঁ; আমি এখন চহৰৰ মানুহৰ সংখ্যাও গণনা কৰিব পাৰোঁ; আমি ভাৰতৰ মানুহৰ সংখ্যা গণনা কৰিব পাৰোঁ। গোটেই বিশ্বৰ মানুহৰ সংখ্যাও গণনা কৰিব পাৰি। আমি হয়তো আকাশৰ তৰাৰ সংখ্যা বা আমাৰ মূৰৰ চুলিৰ সংখ্যা গণনা কৰিব নোৱাৰোঁ কিন্তু যদি আমি সক্ষম হওঁ, তেতিয়াও সিহঁতৰ বাবে এটা সংখ্যা থাকিব। তেতিয়া আমি এনে সংখ্যাত আৰু এটা যোগ কৰি ডাঙৰ সংখ্যা এটা পাব পাৰোঁ। তেনে ক্ষেত্ৰত আমি দুটা মূৰৰ চুলিৰ সংখ্যাও একেলগে লিখিব পাৰোঁ।

এতিয়া সম্ভৱতঃ স্পষ্ট যে আটাইতকৈ ডাঙৰ সংখ্যা নাই। ওপৰত ভাগ বতৰা কৰা এই প্ৰশ্নবোৰৰ বাহিৰেও, যেতিয়া আমি স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সৈতে কাম কৰোঁ তেতিয়া আমাৰ মনলৈ আন বহুতো প্ৰশ্ন আহিব পাৰে। তুমি এনে কেইটামান প্ৰশ্নৰ কথা ভাবিব পাৰা আৰু তোমাৰ বন্ধুবৰ্গৰ সৈতে আলোচনা কৰিব পাৰা। ইয়াৰ বহুতোৰ উত্তৰ তুমি স্পষ্টকৈ নাজানিলেও হ’ব পাৰে!

২.২ পূৰ্ণ সংখ্যা

আমি দেখিছোঁ যে ১ সংখ্যাটোৰ স্বাভাৱিক সংখ্যাত কোনো পূৰ্বসূৰী নাই। স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংগ্ৰহত আমি ১ ৰ পূৰ্বসূৰী হিচাপে শূন্য যোগ কৰোঁ।

স্বাভাৱিক সংখ্যাবোৰৰ লগত শূন্য মিলি পূৰ্ণ সংখ্যাৰ সংগ্ৰহ গঠন কৰে।

চেষ্টা কৰা

১. সকলো স্বাভাৱিক সংখ্যাই পূৰ্ণ সংখ্যা নেকি?
২. সকলো পূৰ্ণ সংখ্যাই স্বাভাৱিক সংখ্যা নেকি?
৩. আটাইতকৈ ডাঙৰ পূৰ্ণ সংখ্যা কোনটো?

তোমাৰ আগৰ শ্ৰেণীবোৰত তুমি সংখ্যাৰ ওপৰত যোগ, বিয়োগ, পূৰণ আৰু হৰণৰ দৰে সকলো মৌলিক ক্ৰিয়া সম্পাদন কৰিবলৈ শিকিছা। তুমি সমস্যাবোৰত সিহঁতক প্ৰয়োগ কৰিবলৈও জানা। সংখ্যা ৰেখাত সিহঁতক চেষ্টা কৰোঁ আহা। আমি আগবাঢ়াৰ আগতে, সংখ্যা ৰেখা কি তাক উলিয়াওঁ আহা!

২.৩ সংখ্যা ৰেখা

এডাল ৰেখা টানা। ইয়াৰ ওপৰত এটা বিন্দু চিহ্নিত কৰা। ইয়াক ০ লেবেল দিয়া। ০ ৰ সোঁফালে দ্বিতীয় বিন্দু এটা চিহ্নিত কৰা। ইয়াক ১ লেবেল দিয়া।

০ আৰু ১ লেবেল দিয়া এই বিন্দু দুটাৰ মাজৰ দূৰত্বক একক দূৰত্ব বোলে। এই ৰেখাত, ১ ৰ সোঁফালে আৰু ১ ৰ পৰা একক দূৰত্বত এটা বিন্দু চিহ্নিত কৰি ইয়াক ২ লেবেল দিয়া। এইদৰে ৰেখাত $3,4,5, \ldots$ হিচাপে একক দূৰত্বত বিন্দুবোৰ লেবেল কৰি যোৱা। তুমি এইদৰে সোঁফালে যিকোনো পূৰ্ণ সংখ্যালৈ যাব পাৰা।

এইটো পূৰ্ণ সংখ্যাবোৰৰ বাবে এটা সংখ্যা ৰেখা।

২ আৰু ৪ বিন্দু দুটাৰ মাজৰ দূৰত্ব কিমান? নিশ্চিতভাৱে, ই ২ একক। তুমি ২ আৰু ৬ বিন্দু দুটাৰ মাজৰ দূৰত্ব, ২ আৰু ৭ ৰ মাজৰ দূৰত্ব ক’ব পাৰা নেকি?

সংখ্যা ৰেখাত তুমি দেখিবা যে ৪ ৰ সোঁফালে ৭ সংখ্যাটো আছে। এই ৭ সংখ্যাটো ৪ তকৈ ডাঙৰ, অৰ্থাৎ $7>4$। ৮ সংখ্যাটো ৬ ৰ সোঁফালে আছে আৰু $8>6$। এই নিৰীক্ষণবোৰে আমাক ক’বলৈ সহায় কৰে যে, যিকোনো দুটা পূৰ্ণ সংখ্যাৰ ভিতৰত, আন সংখ্যাটোৰ সোঁফালৰ সংখ্যাটো ডাঙৰ সংখ্যা। আমি ইয়াকো ক’ব পাৰোঁ যে বাওঁফালৰ পূৰ্ণ সংখ্যাটো সৰু সংখ্যা।

উদাহৰণস্বৰূপে, $4<9 ; 4$ ৯ ৰ বাওঁফালে আছে। একেদৰে, $12>5 ; 12$ ৫ ৰ সোঁফালে আছে।

১০ আৰু ২০ ৰ বিষয়ে তুমি কি ক’ব পাৰা?

সংখ্যা ৰেখাত ৩০, ১২, ১৮ চিহ্নিত কৰা। কোনটো সংখ্যা আটাইতকৈ দূৰৰ বাওঁফালে আছে? ১০০৫ আৰু ৯৭৫৬ ৰ পৰা, আনটোৰ সাপেক্ষে কোনটো সংখ্যা সোঁফালে থাকিব তুমি ক’ব পাৰা নেকি।

১২ ৰ উত্তৰসূৰী আৰু ৭ ৰ পূৰ্বসূৰী সংখ্যা ৰেখাত স্থাপন কৰা।

সংখ্যা ৰেখাত যোগ

পূৰ্ণ সংখ্যাৰ যোগ সংখ্যা ৰেখাত দেখুৱাব পাৰি। ৩ আৰু ৪ ৰ যোগ চাওঁ আহা।

৩ ৰ পৰা আৰম্ভ কৰা। যিহেতু আমি এই সংখ্যাত ৪ যোগ কৰোঁ গতিকে আমি সোঁফাললৈ ৪টা জাঁপ লওঁ; ৩ ৰ পৰা ৪, ৪ ৰ পৰা ৫, ৫ ৰ পৰা ৬ আৰু ৬ ৰ পৰা ৭ লৈ ওপৰত দেখুওৱাৰ দৰে। চতুৰ্থ জাঁপটোৰ শেষৰ \to ৰ আগটো ৭ ত আছে।

৩ আৰু ৪ ৰ যোগফল হৈছে ৭, অৰ্থাৎ $3+4=7$।

চেষ্টা কৰা

সংখ্যা ৰেখা ব্যৱহাৰ কৰি $4+5$; $2+6 ; 3+5$ আৰু $1+6$ নিৰ্ণয় কৰা।

সংখ্যা ৰেখাত বিয়োগ

দুটা পূৰ্ণ সংখ্যাৰ বিয়োগো সংখ্যা ৰেখাত দেখুৱাব পাৰি। $7-5$ উলিয়াওঁ আহা।

৭ ৰ পৰা আৰম্ভ কৰা। যিহেতু ৫ বিয়োগ কৰা হৈছে, গতিকে ১ এককৰ ১টা জাঁপ লৈ বাওঁফাললৈ আগবাঢ়া। এনেধৰণৰ ৫টা জাঁপ লোৱা। আমি ২ বিন্দুত উপনীত হওঁ। আমি $7-5=2$ পাওঁ।

চেষ্টা কৰা

সংখ্যা ৰেখা ব্যৱহাৰ কৰি $8-3$; $6-2 ; 9-6$ নিৰ্ণয় কৰা।

সংখ্যা ৰেখাত পূৰণ

এতিয়া আমি সংখ্যা ৰেখাত পূৰ্ণ সংখ্যাৰ পূৰণ চাওঁ।

$4 \times 3$ উলিয়াওঁ আহা।

০ ৰ পৰা আৰম্ভ কৰা, সোঁফাললৈ একে সময়ত ৩ একক কৰি আগবাঢ়া, এনেধৰণৰ ৪টা জাঁপ লোৱা। তুমি ক’ত উপনীত হোৱা? তুমি ১২ ত উপনীত হ’বা। গতিকে আমি কওঁ, $3 \times 4=12$।

চেষ্টা কৰা

সংখ্যা ৰেখা ব্যৱহাৰ কৰি $2 \times 6; 3\times3;4 \times 2 $ নিৰ্ণয় কৰা।

অনুশীলনী ২.১

১. ১০৯৯৯ ৰ পিছৰ তিনিটা স্বাভাৱিক সংখ্যা লিখা।

২. ১০০০১ ৰ ঠিক আগত থকা তিনিটা পূৰ্ণ সংখ্যা লিখা।

৩. আটাইতকৈ সৰু পূৰ্ণ সংখ্যা কোনটো?

৪. ৩২ আৰু ৫৩ ৰ মাজত কিমানটা পূৰ্ণ সংখ্যা আছে?

৫. উত্তৰসূৰী লিখা :

(ক) ২৪৪০৭০১
(খ) ১০০১৯৯
(গ) ১০৯৯৯৯৯
(ঘ) ২৩৪৫৬৭০

৬. পূৰ্বসূৰী লিখা :

(ক) ৯৪
(খ) ১০০০০
(গ) ২০৮০৯০
(ঘ) ৭৬৫৪৩২১

৭. তলৰ সংখ্যাৰ যোৰবোৰৰ প্ৰতিটোত, সংখ্যা ৰেখাত আন সংখ্যাটোৰ বাওঁফালে কোনটো পূৰ্ণ সংখ্যা আছে ক’বা। লগতে সিহঁতক $sign(>,<)$ ব্যৱহাৰ কৰি লিখা।

(ক) ৫৩০, ৫০৩
(খ) ৩৭০, ৩০৭
(গ) ৯৮৭৬৫, ৫৬৭৮৯
(ঘ) ৯৮৩০৪১৫, ১০০২৩০০১

৮. তলৰ উক্তিবোৰৰ কোনবোৰ সত্য $(T)$ আৰু কোনবোৰ মিছা $(F)$?

(ক) শূন্যেই আটাইতকৈ সৰু স্বাভাৱিক সংখ্যা।
(খ) ৪০০ হৈছে ৩৯৯ ৰ পূৰ্বসূৰী।
(গ) শূন্যেই আটাইতকৈ সৰু পূৰ্ণ সংখ্যা।
(ঘ) ৬০০ হৈছে ৫৯৯ ৰ উত্তৰসূৰী।
(ঙ) সকলো স্বাভাৱিক সংখ্যাই পূৰ্ণ সংখ্যা।
(চ) সকলো পূৰ্ণ সংখ্যাই স্বাভাৱিক সংখ্যা।
(ছ) এটা দুটা অংকৰ সংখ্যাৰ পূৰ্বসূৰী কেতিয়াও এটা অংকৰ সংখ্যা নহয়।
(জ) ১ হৈছে আটাইতকৈ সৰু পূৰ্ণ সংখ্যা।
(ঝ) স্বাভাৱিক সংখ্যা ১ ৰ কোনো পূৰ্বসূৰী নাই।
(ঞ) পূৰ্ণ সংখ্যা ১ ৰ কোনো পূৰ্বসূৰী নাই।
(ট) পূৰ্ণ সংখ্যা ১৩ টো ১১ আৰু ১২ ৰ মাজত থাকে।
(ঠ) পূৰ্ণ সংখ্যা ০ ৰ কোনো পূৰ্বসূৰী নাই।
(ড) এটা দুটা অংকৰ সংখ্যাৰ উত্তৰসূৰী সদায় দুটা অংকৰ সংখ্যা হয়।

আমি কি আলোচনা কৰিলোঁ?

১. $1,2,3, \ldots$ সংখ্যাবোৰ যিবোৰ আমি গণনাৰ বাবে ব্যৱহাৰ কৰোঁ সিহঁতক স্বাভাৱিক সংখ্যা বুলি জনা যায়।

২. যদি তুমি এটা স্বাভাৱিক সংখ্যাত ১ যোগ কৰা, আমি ইয়াৰ উত্তৰসূৰী পাওঁ। যদি তুমি এটা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ পৰা ১ বিয়োগ কৰা, তুমি ইয়াৰ পূৰ্বসূৰী পাওঁ।

৩. প্ৰতিটো স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ এটা উত্তৰসূৰী আছে। ১ বাদে প্ৰতিটো স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ এটা পূৰ্বসূৰী আছে।

৪. যদি আমি স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংগ্ৰহত শূন্য সংখ্যাটো যোগ কৰোঁ, আমি পূৰ্ণ সংখ্যাৰ সংগ্ৰহ পাওঁ। গতিকে, $0,1,2,3, \ldots$ সংখ্যাবোৰে পূৰ্ণ সংখ্যাৰ সংগ্ৰহ গঠন কৰে।

৫. প্ৰতিটো পূৰ্ণ সংখ্যাৰ এটা উত্তৰসূৰী আছে। শূন্য বাদে প্ৰতিটো পূৰ্ণ সংখ্যাৰ এটা পূৰ্বসূৰী আছে।

৬. সকলো স্বাভাৱিক সংখ্যাই পূৰ্ণ সংখ্যা, কিন্তু সকলো পূৰ্ণ সংখ্যাই স্বাভাৱিক সংখ্যা নহয়।

৭. আমি এডাল ৰেখা লওঁ, ইয়াৰ ওপৰত এটা বিন্দু চিহ্নিত কৰোঁ আৰু ইয়াক ০ লেবেল দিওঁ। তাৰ পিছত আমি ০ ৰ সোঁফালে, সমান ব্যৱধানত বিন্দুবোৰ চিহ্নিত কৰোঁ। ইয়াক $1,2,3, \ldots$ হিচাপে লেবেল দিওঁ। এনেদৰে, আমি এটা সংখ্যা ৰেখা পাওঁ য’ত পূৰ্ণ সংখ্যাবোৰ প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হৈছে। আমি সংখ্যা ৰেখাত সহজে যোগ, বিয়োগ আৰু পূৰণৰ সংখ্যা ক্ৰিয়াবোৰ সম্পাদন কৰিব পাৰোঁ।

৮. যোগে সংখ্যা ৰেখাত সোঁফাললৈ যোৱাক সূচায়, আনহাতে বিয়োগে বাওঁফাললৈ যোৱাক সূচায়। পূৰণে শূন্যৰ পৰা আৰম্ভ কৰি সমান দূৰত্বৰ জাঁপ লোৱাক সূচায়।