২.১ ভূমিকা

আমরা জানি, গণনা শুরু করার সময় আমরা 1, 2, 3, 4,.. ব্যবহার করি। আমরা গণনা শুরু করলে এগুলো স্বাভাবিকভাবেই আসে। তাই গণিতবিদরা গণনা সংখ্যাগুলোকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে থাকেন।

পূর্ববর্তী ও পরবর্তী সংখ্যা

যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা দেওয়া থাকলে, আপনি সেই সংখ্যার সাথে 1 যোগ করে পরবর্তী সংখ্যাটি পেতে পারেন অর্থাৎ আপনি এর পরবর্তী সংখ্যাটি পাবেন।

16-এর পরবর্তী সংখ্যা হল $16+1=17$, 19-এর পরবর্তী সংখ্যা হল $19+1=20$ ইত্যাদি।

17-এর আগে 16 সংখ্যাটি আসে, আমরা বলি যে 17-এর পূর্ববর্তী সংখ্যা হল $17-1=16$, 20-এর পূর্ববর্তী সংখ্যা হল $20-1=19$, ইত্যাদি।

চেষ্টা করো

1. 19; 1997; 12000; 49; 100000 -এর পূর্ববর্তী ও পরবর্তী সংখ্যা লেখো।
2. এমন কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা আছে কি যার কোনো পূর্ববর্তী সংখ্যা নেই?
3. এমন কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা আছে কি যার কোনো পরবর্তী সংখ্যা নেই? শেষ স্বাভাবিক সংখ্যা আছে কি?

3 সংখ্যাটির একটি পূর্ববর্তী ও একটি পরবর্তী সংখ্যা আছে। 2 সংখ্যাটির কী? পরবর্তী সংখ্যা হল 3 এবং পূর্ববর্তী সংখ্যা হল 1। 1 সংখ্যাটির কি একটি পরবর্তী ও একটি পূর্ববর্তী সংখ্যা উভয়ই আছে?

আমরা আমাদের স্কুলের শিশুদের সংখ্যা গণনা করতে পারি; আমরা একটি শহরের মানুষের সংখ্যাও গণনা করতে পারি; আমরা ভারতের মানুষের সংখ্যা গণনা করতে পারি। সমগ্র বিশ্বের মানুষের সংখ্যাও গণনা করা যেতে পারে। আমরা হয়তো আকাশের তারার সংখ্যা বা আমাদের মাথার চুলের সংখ্যা গণনা করতে সক্ষম নাও হতে পারি, কিন্তু যদি আমরা সক্ষম হই, তাহলে তাদের জন্যও একটি সংখ্যা থাকবে। আমরা তখন এমন একটি সংখ্যার সাথে আরও একটি যোগ করে একটি বড় সংখ্যা পেতে পারি। সেক্ষেত্রে আমরা দুটি মাথার চুলের সংখ্যাও একসাথে লিখতে পারি।

এখন সম্ভবত এটি স্পষ্ট যে সবচেয়ে বড় সংখ্যা বলে কিছু নেই। উপরে শেয়ার করা এই প্রশ্নগুলি ছাড়াও, স্বাভাবিক সংখ্যা নিয়ে কাজ করার সময় আমাদের মনে আরও অনেক প্রশ্ন আসতে পারে। আপনি এরকম কয়েকটি প্রশ্ন ভাবতে পারেন এবং আপনার বন্ধুদের সাথে আলোচনা করতে পারেন। তাদের অনেকের উত্তর আপনি স্পষ্টভাবে জানেন না!

২.২ পূর্ণ সংখ্যা

আমরা দেখেছি যে স্বাভাবিক সংখ্যায় 1 সংখ্যাটির কোনো পূর্ববর্তী সংখ্যা নেই। স্বাভাবিক সংখ্যার সংগ্রহে আমরা 1-এর পূর্ববর্তী সংখ্যা হিসাবে শূন্য যোগ করি।

স্বাভাবিক সংখ্যার সাথে শূন্য মিলে পূর্ণ সংখ্যার সংগ্রহ গঠন করে।

চেষ্টা করো

1. সব স্বাভাবিক সংখ্যাই কি পূর্ণ সংখ্যা?
2. সব পূর্ণ সংখ্যাই কি স্বাভাবিক সংখ্যা?
3. সবচেয়ে বড় পূর্ণ সংখ্যা কোনটি?

আপনার আগের ক্লাসে আপনি সংখ্যার উপর সমস্ত মৌলিক ক্রিয়াকলাপ যেমন যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ সম্পাদন করতে শিখেছেন। আপনি কীভাবে সেগুলো সমস্যায় প্রয়োগ করতে হয় তাও জানেন। আসুন সংখ্যারেখায় সেগুলো চেষ্টা করি। আমরা এগোনোর আগে, আসুন জেনে নিই সংখ্যারেখা কী!

২.৩ সংখ্যারেখা

একটি রেখা আঁকো। তার উপর একটি বিন্দু চিহ্নিত করো। তাকে 0 লেবেল দাও। 0-এর ডানদিকে একটি দ্বিতীয় বিন্দু চিহ্নিত করো। তাকে 1 লেবেল দাও।

0 এবং 1 লেবেলযুক্ত এই বিন্দুগুলোর মধ্যকার দূরত্বকে একক দূরত্ব বলে। এই রেখায়, 1-এর ডানদিকে এবং 1 থেকে একক দূরত্বে একটি বিন্দু চিহ্নিত করে তাকে 2 লেবেল দাও। এইভাবে রেখায় একক দূরত্বে বিন্দুগুলি $3,4,5, \ldots$ হিসাবে লেবেল করতে থাকো। আপনি এইভাবে ডানদিকে যেকোনো পূর্ণ সংখ্যায় যেতে পারবেন।

এটি পূর্ণ সংখ্যার জন্য একটি সংখ্যারেখা।

2 এবং 4 বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব কত? নিশ্চয়ই, এটি 2 একক। আপনি কি 2 এবং 6 বিন্দুর মধ্যে, 2 এবং 7 বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব বলতে পারো?

সংখ্যারেখায় আপনি দেখবেন যে 4-এর ডানদিকে 7 সংখ্যাটি রয়েছে। এই 7 সংখ্যাটি 4-এর চেয়ে বড়, অর্থাৎ $7>4$। 8 সংখ্যাটি 6-এর ডানদিকে অবস্থিত এবং $8>6$। এই পর্যবেক্ষণগুলি আমাদের বলতে সাহায্য করে যে, যেকোনো দুটি পূর্ণ সংখ্যার মধ্যে, অপর সংখ্যার ডানদিকে থাকা সংখ্যাটি বড় সংখ্যা। আমরা এও বলতে পারি যে বামদিকের পূর্ণ সংখ্যাটি ছোট সংখ্যা।

উদাহরণস্বরূপ, $4<9 ; 4$ 9-এর বাম দিকে রয়েছে। একইভাবে, $12>5 ; 12$ 5-এর ডান দিকে রয়েছে।

10 এবং 20 সম্পর্কে আপনি কী বলতে পারেন?

সংখ্যারেখায় 30, 12, 18 চিহ্নিত করো। কোন সংখ্যাটি সবচেয়ে বাম দিকে রয়েছে? 1005 এবং 9756 থেকে, কোন সংখ্যাটি অপর সংখ্যার সাপেক্ষে ডানদিকে থাকবে বলতে পারো?

12-এর পরবর্তী সংখ্যা এবং 7-এর পূর্ববর্তী সংখ্যাটি সংখ্যারেখায় স্থাপন করো।

সংখ্যারেখায় যোগ

পূর্ণ সংখ্যার যোগ সংখ্যারেখায় দেখানো যেতে পারে। আসুন 3 এবং 4-এর যোগ দেখি।

3 থেকে শুরু করো। যেহেতু আমরা এই সংখ্যায় 4 যোগ করছি তাই আমরা ডানদিকে 4টি লাফ দিই; 3 থেকে 4, 4 থেকে 5, 5 থেকে 6 এবং 6 থেকে 7 উপরে দেখানো হয়েছে। চতুর্থ লাফের শেষ তীরের ডগাটি 7-এ রয়েছে।

3 এবং 4-এর যোগফল হল 7, অর্থাৎ $3+4=7$।

চেষ্টা করো

সংখ্যারেখা ব্যবহার করে $4+5$; $2+6 ; 3+5$ এবং $1+6$ নির্ণয় করো।

সংখ্যারেখায় বিয়োগ

দুটি পূর্ণ সংখ্যার বিয়োগও সংখ্যারেখায় দেখানো যেতে পারে। আসুন $7-5$ নির্ণয় করি।

7 থেকে শুরু করো। যেহেতু 5 বিয়োগ করা হচ্ছে, তাই বাম দিকে 1 এককের 1 লাফ দিয়ে এগিয়ে যাও। এরকম 5টি লাফ দাও। আমরা 2 বিন্দুতে পৌঁছাই। আমরা $7-5=2$ পাই।

চেষ্টা করো

সংখ্যারেখা ব্যবহার করে $8-3$; $6-2 ; 9-6$ নির্ণয় করো।

সংখ্যারেখায় গুণ

আমরা এখন সংখ্যারেখায় পূর্ণ সংখ্যার গুণ দেখব।

আসুন $4 \times 3$ নির্ণয় করি।

0 থেকে শুরু করো, ডানদিকে একবারে 3 একক করে সরো, এরকম 4 বার সরো। তুমি কোথায় পৌঁছাও? তুমি 12-এ পৌঁছাবে। সুতরাং, আমরা বলি, $3 \times 4=12$।

চেষ্টা করো

সংখ্যারেখা ব্যবহার করে $2 \times 6; 3\times3;4 \times 2 $ নির্ণয় করো।

অনুশীলনী ২.১

1. 10999-এর পরের তিনটি স্বাভাবিক সংখ্যা লেখো।

2. 10001-এর ঠিক আগে আসা তিনটি পূর্ণ সংখ্যা লেখো।

3. সবচেয়ে ছোট পূর্ণ সংখ্যা কোনটি?

4. 32 এবং 53-এর মধ্যে কতগুলি পূর্ণ সংখ্যা আছে?

5. নিচের সংখ্যাগুলোর পরবর্তী সংখ্যা লেখো:

(ক) 2440701
(খ) 100199
(গ) 1099999
(ঘ) 2345670

6. নিচের সংখ্যাগুলোর পূর্ববর্তী সংখ্যা লেখো:

(ক) 94
(খ) 10000
(গ) 208090
(ঘ) 7654321

7. নিচের প্রতিটি জোড়া সংখ্যার মধ্যে, সংখ্যারেখায় কোন পূর্ণ সংখ্যাটি অপর সংখ্যার বাম দিকে অবস্থিত তা উল্লেখ করো। সেগুলোকে উপযুক্ত $sign(>,<)$ চিহ্ন দিয়ে মাঝখানে রেখে লেখো।

(ক) 530,503
(খ) 370,307
(গ) 98765,56789
(ঘ) 9830415,10023001

8. নিচের কোন বিবৃতিগুলো সত্য $(T)$ এবং কোনগুলো মিথ্যা $(F)$?

(ক) শূন্য হল সবচেয়ে ছোট স্বাভাবিক সংখ্যা।
(খ) 400 হল 399-এর পূর্ববর্তী সংখ্যা।
(গ) শূন্য হল সবচেয়ে ছোট পূর্ণ সংখ্যা।
(ঘ) 600 হল 599-এর পরবর্তী সংখ্যা।
(ঙ) সব স্বাভাবিক সংখ্যাই পূর্ণ সংখ্যা।
(চ) সব পূর্ণ সংখ্যাই স্বাভাবিক সংখ্যা।
(ছ) একটি দুই অঙ্কের সংখ্যার পূর্ববর্তী সংখ্যা কখনই এক অঙ্কের সংখ্যা হয় না।
(জ) 1 হল সবচেয়ে ছোট পূর্ণ সংখ্যা।
(ঝ) স্বাভাবিক সংখ্যা 1-এর কোনো পূর্ববর্তী সংখ্যা নেই।
(ঞ) পূর্ণ সংখ্যা 1-এর কোনো পূর্ববর্তী সংখ্যা নেই।
(ট) পূর্ণ সংখ্যা 13, 11 এবং 12-এর মাঝে অবস্থিত।
(ঠ) পূর্ণ সংখ্যা 0-এর কোনো পূর্ববর্তী সংখ্যা নেই।
(ড) একটি দুই অঙ্কের সংখ্যার পরবর্তী সংখ্যা সর্বদা একটি দুই অঙ্কের সংখ্যা হয়।

আলোচ্য বিষয়

1. $1,2,3, \ldots$ সংখ্যাগুলো, যা আমরা গণনার জন্য ব্যবহার করি, স্বাভাবিক সংখ্যা নামে পরিচিত।

2. একটি স্বাভাবিক সংখ্যার সাথে 1 যোগ করলে আমরা তার পরবর্তী সংখ্যা পাই। একটি স্বাভাবিক সংখ্যা থেকে 1 বিয়োগ করলে, আপনি তার পূর্ববর্তী সংখ্যা পাবেন।

3. প্রতিটি স্বাভাবিক সংখ্যার একটি পরবর্তী সংখ্যা আছে। 1 ব্যতীত প্রতিটি স্বাভাবিক সংখ্যার একটি পূর্ববর্তী সংখ্যা আছে।

4. যদি আমরা স্বাভাবিক সংখ্যার সংগ্রহে শূন্য সংখ্যাটি যোগ করি, আমরা পূর্ণ সংখ্যার সংগ্রহ পাই। সুতরাং, $0,1,2,3, \ldots$ সংখ্যাগুলো পূর্ণ সংখ্যার সংগ্রহ গঠন করে।

5. প্রতিটি পূর্ণ সংখ্যার একটি পরবর্তী সংখ্যা আছে। শূন্য ব্যতীত প্রতিটি পূর্ণ সংখ্যার একটি পূর্ববর্তী সংখ্যা আছে।

6. সব স্বাভাবিক সংখ্যাই পূর্ণ সংখ্যা, কিন্তু সব পূর্ণ সংখ্যাই স্বাভাবিক সংখ্যা নয়।

7. আমরা একটি রেখা নেই, তার উপর একটি বিন্দু চিহ্নিত করি এবং তাকে 0 লেবেল দিই। তারপর আমরা 0-এর ডানদিকে সমান ব্যবধানে বিন্দু চিহ্নিত করি। সেগুলোকে $1,2,3, \ldots$ হিসাবে লেবেল করি। এইভাবে, আমাদের একটি সংখ্যারেখা থাকে যাতে পূর্ণ সংখ্যাগুলো উপস্থাপিত আছে। আমরা সহজেই সংখ্যারেখায় যোগ, বিয়োগ এবং গুণের সংখ্যা ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করতে পারি।

8. যোগ সংখ্যারেখায় ডানদিকে সরার সাথে সম্পর্কিত, যেখানে বিয়োগ বাম দিকে সরার সাথে সম্পর্কিত। গুণ শূন্য থেকে শুরু করে সমান দূরত্বের লাফ দেওয়ার সাথে সম্পর্কিত।